Размер покрытия Лебега - Lebesgue covering dimension

В математике , то Размерность Лебега или топологическая размерность в виде топологического пространства является одним из нескольких различных способов определения размерности пространства в топологически инвариантным образом.

Неформальное обсуждение

Для обычных евклидовых пространств размерность покрытия Лебега - это просто обычное евклидово измерение: ноль для точек, один для прямых, два для плоскостей и т. Д. Однако не все топологические пространства имеют такую «очевидную» размерность , поэтому в таких случаях необходимо точное определение. Определение начинается с изучения того, что происходит, когда пространство покрыто открытыми множествами .

В общем, топологическое пространство X может быть покрыто открытыми множествами , поскольку можно найти набор открытых множеств, в котором X лежит внутри их объединения . Размер покрытия - это наименьшее число n такое, что для каждого покрытия существует уточнение, в котором каждая точка в X лежит на пересечении не более чем n + 1 покрывающих множеств. В этом суть приведенного ниже формального определения. Цель определения - предоставить число ( целое число ), которое описывает пространство и не изменяется, поскольку пространство непрерывно деформируется; то есть число, инвариантное относительно гомеоморфизмов .

Общая идея проиллюстрирована на диаграммах ниже, которые показывают покрытие и детали в виде круга и квадрата.

Доработка крышки круга

На левой диаграмме показано уточнение (слева) крышки (справа) круговой линией (черная). Обратите внимание, что в уточнении ни одна точка на линии не содержится более чем в двух наборах. Также обратите внимание, как наборы связываются друг с другом, образуя «цепочку».

Доработка обложки квадрата

Внизу слева - уточнение крышки (вверху) плоской формы (темное), так что все точки в форме содержатся не более чем в трех наборах. Внизу справа - попытка уточнить обложку, чтобы ни одна точка не содержалась более чем в двух наборах. Это не удается при пересечении установленных границ. Таким образом, плоская форма не является «паутиной» или не может быть покрыта «цепями», но в некотором смысле более толстая; т.е. его топологическая размерность должна быть больше единицы.

Формальное определение

Первое формальное определение покрывающей размерности было дано Эдуардом Чехом на основе более раннего результата Анри Лебега .

Современное определение таково. Открытое покрытие топологического пространства X называется семейство открытых множеств , объединение включает в себя X . Слоя или порядок крышки является наименьшим числом п (если она существует) таким образом, что каждая точка пространства принадлежит, в лучшем случае , п множества в крышке. Уточнения из крышки C является еще одной крышкой, каждый из которых множеств является подмножеством множества в C . Размерность покрытия топологического пространства X определяется как минимальное значение n , такое, что каждое открытое покрытие C пространства X (независимо от слоя) имеет открытое измельчение со слоем n + 1 или меньше. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

Как частный случай, топологическое пространство является нульмерным по отношению к размерности покрытия, если каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из непересекающихся открытых множеств, так что любая точка в пространстве содержится ровно в одном открытом множестве этого уточнения. .

Часто удобно говорить, что размерность покрытия пустого множества равна −1.

Примеры

Любое данное открытое покрытие единичной окружности будет иметь уточнение, состоящее из набора открытых дуг. Согласно этому определению, круг имеет размерность один, потому что любое такое покрытие может быть дополнительно уточнено до стадии, когда данная точка x круга содержится не более чем в двух открытых дугах. То есть, какой бы набор дуг мы ни начали, некоторые из них можно отбросить или уменьшить, так что оставшаяся часть по-прежнему покрывает круг, но с простыми перекрытиями.

Точно так же любая открытая крышка единичного диска в двумерной плоскости может быть уточнена так, чтобы любая точка диска содержалась не более чем в трех открытых наборах, а двух, как правило, недостаточно. Таким образом, размер покрытия диска равен двум.

В более общем смысле, n- мерное евклидово пространство имеет покрывающую размерность n . ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Характеристики

Гомеоморфные пространства имеют одинаковую покрывающую размерность. То есть размерность покрытия является топологическим инвариантом .
Размерность покрытия Лебега совпадает с аффинной размерностью конечного симплициального комплекса ; это теорема Лебега о покрытии .
Размер покрытия нормального пространства меньше или равен большой индуктивной размерности .
Размерность покрытия нормального пространства X есть тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества A в X , если оно непрерывно, то существует расширение до . Здесь есть п мерная сфера . ${\ Displaystyle \ Leq п}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow S ^ {n}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g: X \ rightarrow S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$
(Теорема Остранда о цветной размерности.) Нормальное пространство удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда для каждого локально конечного открытого покрытия пространства существует открытое покрытие пространства, которое может быть представлено как объединение семейств , где , такое, что каждое содержит непересекающиеся множества и для каждого и . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq \ тусклый X \ Leq п}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {1}, {\ mathcal {V}} _ {2}, \ dots, {\ mathcal {V}} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {i} = \ {V_ {i, \ alpha} \} _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {я}}$ ${\ Displaystyle V_ {я, \ alpha} \ substeq U _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ alpha}$
Покрывающая размерность паракомпактного хаусдорфового пространства больше или равна его когомологической размерности (в смысле пучков ), то есть для каждого пучка абелевых групп на и каждого больше, чем покрывающая размерность . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Н ^ {я} (Х, А) = 0}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle X}$

Смотрите также

использованная литература

Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR 0345092
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.

дальнейшее чтение

Исторический

Карл Менгер , Общие пространства и декартовы пространства , (1926) Сообщения в Амстердамскую академию наук. Английский перевод перепечатан в Classics on Fractals , Джеральд Эдгар, редактор, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
Карл Менгер , Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Publishers, Лейпциг.
А. Р. Пирс, Теория размерностей общих пространств , (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8

Современное

В. В. Федорчук, Основы теории размерностей , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, Общая топология I , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

внешние ссылки

"Измерение Лебега" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects