Неприводимый элемент - Irreducible element

В абстрактной алгебре , A не- ненулевой блок элемента в области целостности называется неприводимым , если он не является произведением двух не- единиц , или , что эквивалентно, если каждый факторинга такого элемента содержит , по меньшей мере , один блок.

Отношения с первоэлементами

Неприводимые элементы не следует путать с простыми элементами . (Ненулевой неединичный элемент в коммутативном кольце называется простым, если, всякий раз, когда для some и в then или ) В области целостности каждый простой элемент неприводим, но в общем случае обратное неверно. Обратное верно для уникальных доменов факторизации (или, в более общем смысле, доменов GCD ). ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a | bc}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle a | b}$${\ displaystyle a | c.}$

Более того, хотя идеал, порожденный простым элементом, является простым идеалом , в общем случае неверно, что идеал, порожденный неприводимым элементом, является неприводимым идеалом . Однако, если является областью НОД и является неприводимым элементом , то, как отмечалось выше, является простым, и поэтому идеал, порожденный элементом , является простым (следовательно, неприводимым) идеалом в . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle D}$

Пример

В квадратичном целочисленном кольце, используя аргументы нормы, можно показать, что число 3 неприводимо. Однако это не первичный элемент в этом кольце, так как, например, ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-5}}],}$

${\ displaystyle 3 \ mid \ left (2 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (2 - {\ sqrt {-5}} \ right) = 9,}$

но 3 не делит ни один из двух факторов.

Смотрите также

• Неприводимый полином

Рекомендации

• Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN   0-521-33718-6 . Zbl   0674.13008 .