Главный элемент - Prime element

В математике , в частности , в абстрактной алгебре , А простой элемент из коммутативного кольца является объект , удовлетворяющий определенные свойства , сходные с простыми числами в целых числах и к неприводимых многочленов . Следует проявлять осторожность, чтобы отличать простые элементы от неприводимых элементов , концепция, которая одинакова в UFD, но не одинакова в целом.

Определение

Элемент $p$ коммутативного кольца $R$ называется простым, если он не является нулевым элементом или единицей, и всякий раз, когда $p$ делит $ab$ на некоторые $a$ и $b$ в $R$ , то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$ . С этим определением лемма Евклида является утверждением, что простые числа являются простыми элементами в кольце целых чисел . Эквивалентно, элемент $p$ является простым тогда и только тогда, когда главный идеал $(p),$ порожденный $p,$ является ненулевым простым идеалом . (Обратите внимание, что в области целостности идеал $(0)$ является простым идеалом , но $0$ является исключением из определения «простого элемента».)

Интерес к простым элементам исходит из фундаментальной теоремы арифметики , которая утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано только одним способом как 1 или −1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальных областей факторизации , которые обобщают то, что только что было проиллюстрировано в целых числах.

Простота зависит от того, в каком кольце считается элемент; например, 2 является простым элементом в $Z,$ но его нет в $Z [i]$ , кольце гауссовских целых чисел , поскольку $2 = (1 + i) (1 - i)$ и 2 не делит никакого множителя справа.

Связь с первостепенными идеалами

Идеал $I$ в кольце $R$ (с единицей) является простым, если фактор-кольцо $R / I$ является областью целостности .

Ненулевой главный идеал является главным тогда и только тогда , когда она порождается простым элементом.

Неприводимые элементы

Основные элементы не следует путать с несократимыми элементами . В области целостности каждое простое число неприводимо, но обратное, вообще говоря, неверно. Однако в уникальных доменах факторизации или, в более общем смысле, в доменах GCD простые и неприводимые числа одинаковы.

Примеры

Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:

Целые числа $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 5$ , $\pm 7$ , $\pm 11$ , ... в кольце целых чисел $Z$
комплексные числа $(1 + i)$ , $19$ и $(2 + 3 i)$ в кольце целых гауссовских чисел $Z [i]$
многочлены $х 2 - 2$ и $х 2 + 1$ в $Z [х]$ , то кольцо многочленов над $Z$ .
2 в факторкольце $Z / 6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ является простым, но не неприводимым в кольце $Q [x] / (x 2 + x)$
В кольце $Z 2$ пар целых чисел $(1, 0)$ простое, но не неприводимое $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
В кольце целых алгебраических чисел элемент $3$ неприводим, но не является простым (as ). ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-5}}],}$ ${\ displaystyle 9 = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}})}$

использованная литература

Примечания

Источники

Раздел III.3 Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 73 (Reprint of 1974 ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1, Руководство по ремонту 0600654
Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, Руководство по ремонту 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, MR 0254021

Languages

In other projects