Кольцо Горенштейна - Gorenstein ring

В коммутативной алгебре , А горенштейны локальное кольцо является коммутативным нётеровым локального кольца R с конечным инъективным размерности как R - модуль. Есть много эквивалентных условий, некоторые из них перечислены ниже, часто утверждая, что кольцо Горенштейна в некотором смысле самодвойственно.

Кольца Горенштейна были введены Гротендиком на его семинаре 1961 года (опубликовано в ( Hartshorne 1967 )). Название происходит от свойства двойственности сингулярных плоских кривых, изученного Горенштейном ( 1952 ) (который любил утверждать, что не понимает определения кольца Горенштейна). Нульмерный случай изучался Маколеем (1934) . Серр (1961) и Басс (1963) опубликовали концепцию колец Горенштейна.

Кольца Фробениуса являются некоммутативными аналогами нульмерных колец Горенштейна. Схемы Горенштейна представляют собой геометрическую версию колец Горенштейна.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсально катенарных кольца ⊃ Коэн-Маколея кольца ⊃ горенштейновых кольца ⊃ полное пересечения кольца ⊃ регулярные локальные кольца

Определения

Горенштейново коммутативное нётерово кольцо таким образом, что каждая локализация в простом идеале это горенштейнов локальное кольцо, как определено выше. Кольцо Горенштейна - это, в частности, Коэна – Маколея .

Одна элементарная характеристики является: нетеры локальное кольцо R из размерности нуля ( что эквивалентно, с R от конечной длины как R - модуль) горенштейнов тогда и только тогда , когда Хомы _R ( K , R ) имеет размерность 1 как к -векторному пространство, где K является полем вычетов из R . Эквивалентно R имеет простой цоколь как R -модуль. В более общем смысле , нетеры локальное кольцо R горенштайново тогда и только тогда , когда существует регулярная последовательность ₁ , ..., _п в максимальном идеале R такой , что фактор - кольцо R / ( ₁ , ..., в _n ) горенштейново размерности нуль.

Например, если R - коммутативная градуированная алгебра над полем k, такая что R имеет конечную размерность как k- векторное пространство, R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , то R горенштейново тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двойственности Пуанкаре , что означает, что верхний градуированный кусок R _m имеет размерность 1, а произведение R _a × R _{m - a} → R _m является идеальным спариванием для любого a .

Другая интерпретация свойства Горенштейна как типа двойственности для необязательно градуированных колец: для поля F коммутативная F -алгебра R конечной размерности как F- векторное пространство (следовательно, размерность ноль как кольцо) является Горенштейна тогда и только тогда, когда существует F- линейное отображение e : R → F такое, что симметричная билинейная форма ( x , y ): = e ( xy ) на R (как F -векторном пространстве) невырождена .

Для коммутативного нётерова локального кольца ( R , m , k ) размерности Крулля n следующие утверждения эквивалентны:

R имеет конечную инъективную размерность как R -модуль;
R имеет инъективную размерность n как R -модуль;
Группа Ext для i ≠ n, пока ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}$
${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ для некоторого i > n ;
${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ для всех i < n и ${\ Displaystyle \ OperatorName {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}$
R - n -мерное кольцо Горенштейна.

Кольцо R (не обязательно коммутативное) называется горенштейновым, если R имеет конечную инъективную размерность и как левый R -модуль, и как правый R- модуль. Если R - локальное кольцо, то R называется локальным кольцом Горенштейна.

Примеры

Каждое локальное полное кольцо пересечений , в частности каждое регулярное локальное кольцо , горенштейново.
Кольцо R = k [ x , y , z ] / ( x ² , y ² , xz , yz , z ² - xy ) является 0-мерным кольцом Горенштейна, которое не является полным кольцом пересечений. Более подробно: базис для R как k- векторного пространства задается следующим образом: R горенштейново, потому что цоколь имеет размерность 1 как k- векторное пространство, натянутое на z ² . В качестве альтернативы можно заметить, что R удовлетворяет двойственности Пуанкаре, если рассматривать его как градуированное кольцо с x , y , z одной степени. Ну наконец то. R не является полным пересечением, потому что у него есть 3 образующих и минимальный набор из 5 (не 3) отношений. ${\ displaystyle \ {1, x, y, z, z ^ {2} \}.}$

Кольцо R = k [ x , y ] / ( x ² , y ² , xy ) является 0-мерным кольцом Коэна – Маколея, которое не является кольцом Горенштейна. Более подробно: базис для R как k- векторного пространства задается следующим образом: R не является горенштейновским, потому что цоколь имеет размерность 2 (а не 1) как k- векторное пространство, натянутое на x и y . ${\ displaystyle \ {1, x, y \}.}$

Характеристики

Нётерово локальное кольцо горенштейново тогда и только тогда, когда его пополнение горенштейново.

Канонический модуль из горенштейновой локального кольца R изоморфно R . С геометрической точки зрения отсюда следует, что стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна X над полем является просто линейным расслоением (рассматриваемым как комплекс в степени −dim ( X )); это линейное расслоение называется каноническое расслоение на X . Используя каноническое расслоение, двойственность Серра для схем Горенштейна принимает тот же вид, что и в гладком случае.

В контексте градуированных колец R канонический модуль кольца Горенштейна R изоморфен R с некоторым сдвигом степени.

Для локального кольца горенштейновом ( R , м , K ) размерности п , Гротендик локальной двойственности принимает следующий вид. Пусть E ( k ) - инъективная оболочка поля вычетов k как R -модуля. Тогда для любого конечно порожденного R - модуля M и целого числа I , то локальная когомология группа двойственна в том смысле , что: ${\ Displaystyle Н_ {м} ^ {я} (М)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R)}$

{\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) \ cong \ operatorname {Hom} _ {R} (\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)) .}

Стэнли показал, что для конечно порожденной коммутативной градуированной алгебры R над полем k такой, что R является областью целостности , свойство Горенштейна зависит только от свойства Коэна – Маколея вместе с рядом Гильберта

{\ displaystyle f (t) = \ sum \ nolimits _ {j} \ dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}

А именно, градуированная область R является горенштейновой тогда и только тогда, когда она является областью Коэна – Маколея и ряд Гильберта симметричен в том смысле, что

{\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}

для некоторых целого числа с , где п есть размерность R .

Пусть ( R , m , k ) - нетерово локальное кольцо коразмерности вложения c , что означает, что c = dim _k ( m / m ² ) - dim ( R ). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. Для c не более 2 Серр показал, что R горенштейново тогда и только тогда, когда оно является полным пересечением . Существует также структурная теорема Бухсбаума и Эйзенбуда для колец Горенштейна коразмерности 3 в терминах пфаффианов кососимметричной матрицы .

Languages

In other projects

Кольцо Горенштейна - Gorenstein ring

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Примеры

Характеристики

Заметки

Рекомендации