Золотая спираль - Golden spiral

Золотые спирали самоподобны . Форма бесконечно повторяется при увеличении.

В геометрии , А золотая спираль является логарифмическая спираль , рост которой фактор $φ$ , то золотое сечение . То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего источника) в $φ$ раз на каждую четверть оборота.

Приближения золотой спирали

Приблизительные и истинные золотые спирали: зеленая спираль состоит из четверти окружностей, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль - это золотая спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом . Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении . Для квадрата с длиной стороны 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1 / φ . Следующая ширина - 1 / φ² , затем 1 / φ³ и так далее.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приблизительно равны золотой спирали, но не равны ей.

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, для которого соотношение между его длиной и шириной является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный прямоугольник, и этот прямоугольник затем можно разделить таким же образом. После продолжения этого процесса для произвольного количества шагов результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертью окружностей. Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью, очень похож на золотую спираль.

Другое приближение - спираль Фибоначчи , построенная несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом шаге к прямоугольнику добавляется квадрат, равный длине самой длинной стороны прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению, когда числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится все более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на изображении.

Спирали в природе

Приблизительные логарифмические спирали могут встречаться в природе, например рукава спиральных галактик - золотые спирали являются частным случаем этих логарифмических спиралей, хотя нет никаких доказательств того, что существует какая-либо общая тенденция к появлению этого случая. Филлотаксис связан с золотым сечением, потому что он включает в себя следующие друг за другом листья или лепестки, разделенные золотым углом ; это также приводит к появлению спиралей, хотя опять же ни одна из них (обязательно) не является золотой спиралью. Иногда утверждают, что спиральные галактики и оболочки наутилуса становятся шире в форме золотой спирали и, следовательно, связаны как с $φ, так$ и с рядами Фибоначчи. По правде говоря, спиральные галактики и оболочки наутилусов (и многие раковины моллюсков ) демонстрируют рост по логарифмической спирали, но под разными углами, обычно заметно отличающимися от угла золотой спирали. Такой рисунок позволяет организму расти, не меняя формы.

Математика

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с использованием дуг четверти круга, вписанных в квадраты, полученные из последовательности Фибоначчи .

Золотая спираль с начальным радиусом 1 - геометрическое место точек полярных координат, удовлетворяющих ${\ Displaystyle (г, \ тета)}$

{\ Displaystyle г = \ varphi ^ {2 \ theta / \ pi}}

Полярное уравнение для золотой спирали такой же , как и для других логарифмических спиралей , но с особым значением фактора роста $Ь$ :

{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}

или

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}

где

e

- основание натурального логарифма ,

a

- начальный радиус спирали, а

b -

такое, что когда

θ

является прямым углом (четверть оборота в любом направлении):

{\ displaystyle e ^ {b \ theta _ {\ mathrm {right}}} = \ varphi.}

Следовательно, $b$ определяется выражением

{\ displaystyle b = {\ ln {\ varphi} \ over \ theta _ {\ mathrm {right}}}.}

Лукас спиральный приближается золотой спирали , когда ее члены являются большими , но не тогда , когда они маленькие. Включены 10 членов, от 2 до 76.

Числовое значение $b$ зависит от того, измеряется ли прямой угол в 90 градусах или в радианах; и поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения (то есть $b$ также может быть отрицательным для этого значения): ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ более 90} \ doteq 0,0053468}

для

θ

в градусах, или

{\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2} \ doteq 0.3063489}

для

θ

в радианах.

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали:

{\ displaystyle r = ac ^ {\ theta}}

где постоянная

c

определяется выражением:

{\ displaystyle c = e ^ {b}}

что для золотой спирали дает значения

c

:

{\ displaystyle c = \ varphi ^ {\ frac {1} {90}} \ doteq 1.0053611}

если

θ

измеряется в градусах, и

{\ displaystyle c = \ varphi ^ {\ frac {2} {\ pi}} \ doteq 1.358456}

если

θ

измеряется в радианах.

Что касается логарифмических спиралей золотой спирали имеет отличительное свойство , что в течение четырех коллинеарных спиральных точек А, В, С, D , принадлежащий к аргументам $thetas$ ; , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π$ точка С является гармонической четвёркой из B по отношению к A, D, то есть поперечное отношение (A, D; B, C) имеет сингулярное значение -1. Золотая спираль - единственная логарифмическая спираль с (A, D; B, C) = (A, D; C, B).

Полярный склон

Определение угла наклона и сектора

В полярном уравнении для логарифмической спирали :

{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}

параметр

b

связан с углом наклона полярной оси :

{\ displaystyle \ alpha}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = b.}

В золотой спирали, будучи постоянным и равным (для $θ$ в радианах, как определено выше), угол наклона равен: ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$