G -модуль - G-module

Тор может быть абелева группа изоморфна произведению группы окружности . Эта абелева группа является четырехгрупповым -модулем Клейна , в котором группа действует путем отражения в каждом из координатных направлений (здесь изображено красными и синими стрелками, пересекающимися в единичном элементе).

В математике , учитывая группу G , A G - модуль является абелевой группой М , на котором G действует согласованно с абелевой групповой структурой на М . Это широко применимо понятие обобщает понятие представления G . Групповые (ко) гомологии предоставляют важный набор инструментов для изучения общих G -модулей.

Термин G -модуль используется также для более общего понятия R -модуля, на котором G действует линейно (т. Е. Как группа автоморфизмов R -модуля ).

Определение и основы

Пусть G - группа. Влево G - модуль состоит из абелевой группы М вместе с левым действием группы р: G × M → M такие , что

g · ( a + b ) = g · a + g · b

где g · a обозначает ρ ( g , a ). Правой G - модуль определяется аналогично. Для левого G -модуля M его можно превратить в правый G -модуль, определив a · g = g ⁻¹ · a .

Функция F  : M → N называется морфизм G -модули (или G -линейный карту , или G -гомоморфизм ) , если F является как гомоморфизм групп и G - эквивариантная .

Совокупность левых (соответственно правых) G -модулей и их морфизмов образуют абелеву категорию G -Mod (соответственно Mod- G ). Категория G - Mod (соответственно Mod - G ) может быть отождествлена ​​с категорией левых (соответственно правых) ZG-модулей , то есть с модулями над групповым кольцом Z [ G ].

Подмодуль из G - модуля M является подгруппой ⊆ М , которая является стабильной под действием G , то есть г · ∈ для всех г ∈ G и ∈ . Учитывая , подмодуль из М , то фактор - модуль М / является фактор - группа с действием г · ( м + ) = г · м + A .

Примеры

• Для группы G абелева группа Z является G -модулем с тривиальным действием g · a = a .
• Пусть M - множество двоичных квадратичных форм f ( x , y ) = ax ² + 2 bxy + cy ² с целыми числами a , b , c , и пусть G = SL (2, Z ) ( специальная линейная группа 2 × 2 над Z ). Определить

${\ Displaystyle (г \ CDOT е) (х, у) = е ((х, у) г ^ {т}) = е ((х, у) \ cdot {\ begin {bmatrix} \ альфа & \ гамма \ \\ beta & \ delta \ end {bmatrix}}) = f (\ alpha x + \ beta y, \ gamma x + \ delta y),}$

где

${\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} \ alpha & \ beta \\\ gamma & \ delta \ end {bmatrix}}}$

и ( x , y ) g - матричное умножение . Тогда M - G -модуль, изученный Гауссом . Действительно, у нас есть

${\ Displaystyle g (час (е (х, y)) = gf ((x, y) h ^ {t}) = f ((x, y) h ^ {t} g ^ {t}) = f ( (x, y) (gh) ^ {t}) = (gh) f (x, y).}$

• Если V - представление группы G над полем K , то V - G -модуль (это абелева группа относительно сложения).

Топологические группы

Если G является топологической группой , и М является абелевой топологической группой, то топологическое G - модуль является G - модуль , где отображение действия G × M → M является непрерывным (где топология произведения берется на G × M ).

Другими словами, топологический G-модуль - это абелева топологическая группа M вместе с непрерывным отображением G × M → M, удовлетворяющее обычным соотношениям g ( a + a ′ ) = ga + ga ′ , ( gg ′ ) a = g ( g′a ) и 1 a = a .

Заметки

Ссылки

• Глава 6 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .