Распределение (дифференциальная геометрия) - Distribution (differential geometry)

В дифференциальной геометрии , дисциплине в рамках математики , распределение на многообразии - это набор векторных подпространств, удовлетворяющих определенным свойствам. В наиболее распространенных ситуациях распределение просят быть векторным подрасслоением касательного расслоения . ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle х \ mapsto \ Delta _ {x} \ substeq T_ {x} M}$ ${\ displaystyle TM}$

Распределения, удовлетворяющие еще одному условию интегрируемости, порождают слоения , т. Е. Разбиения многообразия на подмногообразия меньшего размера. Эти понятия имеют несколько приложений во многих областях математики, например, интегрируемые системы , геометрия Пуассона , некоммутативная геометрия , субриманова геометрия , дифференциальная топология и т. Д.

Несмотря на то, что они имеют одно и то же имя, представленные в этой статье дистрибутивы не имеют ничего общего с дистрибутивами в смысле анализа.

Определение

Позвольте быть гладким многообразием; (гладкий) распределения присваивает любую точку векторного подпространства в гладком образе. Точнее, состоит из набора векторных подпространств со следующим свойством. Вокруг любого существует окрестность и коллекция векторных полей таким образом , что для любой точки , пролета${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle \ Delta _ {x} \ subset T_ {x} M}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ {\ Delta _ {x} \ subset T_ {x} M \} _ {x \ in M}}$${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ Displaystyle N_ {x} \ подмножество M}$ ${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {k}}$${\ displaystyle y \ in N_ {x}}$${\ displaystyle \ {X_ {1} (y), \ ldots, X_ {k} (y) \} = \ Delta _ {y}.}$

Множество гладких векторных полей также называется локальный базис из . Обратите внимание, что номер может быть разным для разных районов. Обозначение используется для обозначения как присвоения, так и подмножества . ${\ Displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {k} \}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle х \ mapsto \ Delta _ {x}}$${\ displaystyle \ Delta = \ amalg _ {x \ in M} \ Delta _ {x} \ substeq TM}$

Регулярные раздачи

Для целого числа гладкое распределение на называется регулярным ранга, если все подпространства имеют одинаковую размерность. Локально это означает, что каждый локальный базис задан линейно независимыми векторными полями. ${\ Displaystyle п \ Leq м = \ mathrm {тусклый} (М)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Delta _ {x} \ subset T_ {x} M}$${\ displaystyle n}$

Если говорить более компактно, регулярное распределение - это векторное подрасслоение ранга (на самом деле это наиболее часто используемое определение). Распределение рангов иногда называют распределением плоскостей, и когда говорят о распределениях гиперплоскостей . ${\ displaystyle \ Delta \ subset TM}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п = м-1}$

Специальные классы распределений

Если не указано иное, под «распределением» мы понимаем гладкое регулярное распределение (в смысле, объясненном выше).

Инволютивные распределения

Для данного распределения его секции состоят из векторных полей, которые касаются к нему , и они образуют векторное подпространство пространства всех векторных полей на . Распределение называется инволютивно , если также подалгебра Ли : другими словами, для любых двух векторных полей , то скобка Ли принадлежит . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta \ subset TM}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (\ Delta) \ substeq \ Gamma (TM) = {\ mathfrak {X}} (M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ Гамма (\ Дельта) \ substeq {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ Displaystyle X, Y \ in \ Gamma (\ Delta) \ substeq {\ mathfrak {X}} (M)}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$${\ Displaystyle \ Гамма (\ Дельта) \ substeq {\ mathfrak {X}} (М)}$

Локально, это условие означает , что для каждой точки существует локальный базис распределения в окрестностях таких , что для всех , скобка находится в промежутке , то есть является линейной комбинацией из${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я, J \ Leq п}$${\ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}]}$${\ Displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$${\ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}]}$${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}.}$

Инволютивные распределения - фундаментальный ингредиент в изучении интегрируемых систем . Похожая идея возникает в гамильтоновой механике : две функции и на симплектическом многообразии называются находящимися во взаимной инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Интегрируемые распределения и слоения

Интегрируемое многообразие для ранга распределения является подмногообразием размерности такое , что для каждого . Распределение называется интегрируемым, если через любую точку проходит интегрируемое многообразие. Это означает, что это несвязное объединение максимальных связных интегрируемых многообразий, также называемых листами ; определяет поэтому слоение . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle N \ подмножество M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T_ {x} N = \ Delta _ {x}}$${\ displaystyle x \ in N}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$

Локально, интегрируемость означает, что для каждой точки существует такая локальная карта , что для каждой пространство покрыто координатными векторами . Другими словами, каждая точка допускает карту слоения, т. Е. Распределение касается слоев слоения. Более того, эта локальная характеристика совпадает с определением интегрируемости для a -структур , когда - группа вещественных обратимых верхнетреугольных блочных матриц (с и -блоками). ${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle (U, \ {\ чи _ {1}, \ ldots, \ чи _ {п} \})}$${\ displaystyle y \ in U}$${\ displaystyle \ Delta _ {y}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ chi _ {1}}} (y), \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial \ chi _ {n}}} (y)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle (п \ раз п)}$${\ Displaystyle (мин, мин)}$

Легко видеть, что любое интегрируемое распределение автоматически инволютивно. Обратное менее тривиально, но верно по теореме Фробениуса .

Слабо регулярные распределения

Для любого распределения рассмотрите связанный с ним флаг Ли (обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого используют отрицательную убывающую градацию) ${\ Displaystyle \ Delta \ substeq TM}$

${\ Displaystyle \ Delta ^ {(0)} \ substeq \ Delta ^ {(1)} \ substeq \ ldots \ substeq \ Delta ^ {(i)} \ substeq \ Delta ^ {(i + 1)} \ substeq \ ldots}$

где , и . Другими словами, обозначает набор векторных полей, натянутых на -итерированные скобки Ли элементов в . ${\ Displaystyle \ Delta ^ {(0)}: = \ Gamma (\ Delta)}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(1)}: = \ langle [\ Delta ^ {(0)}, \ Delta ^ {(0)}] \ rangle _ {{\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(я + 1)}: = \ langle [\ Delta ^ {(i)}, \ Delta ^ {(0)}] \ rangle _ {{\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(я)} \ substeq {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ Gamma (\ Delta)}$

Тогда называется слабо регулярным (или просто регулярным некоторыми авторами), если существует последовательность вложенных векторных подрасслоений такая, что (следовательно ). Заметим, что в этом случае ассоциированный флаг Ли стабилизируется в определенной точке , так как ранги ограничены сверху величиной . Строка целых чисел затем называется вырастите вектор из . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ {Т ^ {я} М \ substeq TM \} _ {я}}$${\ Displaystyle \ Гамма (Т ^ {я} М) = \ Дельта ^ {(я)}}$${\ displaystyle T ^ {0} M = \ Delta}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle T ^ {i} M}$${\ Displaystyle \ mathrm {ранг} (TM) = \ mathrm {dim} (M)}$${\ displaystyle (\ mathrm {rank} (\ Delta ^ {(0)}), \ mathrm {rank} (\ Delta ^ {(1)}), \ ldots, \ mathrm {rank} (\ Delta ^ {( m)}))}$${\ displaystyle \ Delta}$

С любым слабо регулярным распределением связано градуированное векторное расслоение

Более того, скобка Ли векторных полей для любого опускается до морфизма -линейного расслоения , называемого -кривизной . В частности, -кривизна обращается в нуль тождественно тогда и только тогда, когда распределение инволютивно. ${\ displaystyle i, j = 0, \ ldots, m}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (М)}$${\ displaystyle \ mathrm {gr} _ {i} (TM) \ times \ mathrm {gr} _ {j} (TM) \ to \ mathrm {gr} _ {i + j + 1} (TM)}$${\ displaystyle (я, j)}$${\ displaystyle (0,0)}$

Соединяя вместе кривизны, мы получаем морфизм , также называемый

скобкой Леви , который превращается в пучок нильпотентных алгебр Ли; По этой причине, также называют nilpotentisation из . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: \ mathrm {gr} (TM) \ times \ mathrm {gr} (TM) \ to \ mathrm {gr} (TM)}$${\ Displaystyle \ mathrm {gr} (TM)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {gr} (TM), {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle \ Delta}$

Однако расслоение в общем случае не является локально тривиальным, поскольку алгебры Ли не изоморфны при варьировании точки . В этом случае слабо регулярное распределение также называется

регулярным (или сильно регулярным некоторыми авторами). Обратите внимание, что используемые здесь имена (сильно, слабо) регулярные полностью не связаны с обсуждавшимся выше понятием регулярности (которое всегда предполагается), т. Е. Размерность пространств постоянна. ${\ displaystyle \ mathrm {gr} (TM) \ to M}$${\ displaystyle \ mathrm {gr} _ {i} (T_ {x} M): = T_ {x} ^ {i} M / T_ {x} ^ {i + 1} M}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta _ {x}}$

Распределения, генерирующие скобки

Распределение называется

образующим скобки (или неголономным , или считается, что оно удовлетворяет условию Хёрмандера ), если взятия конечного числа скобок Ли элементов в достаточно для генерации всего пространства векторных полей на . С введенными выше обозначениями такое условие можно записать как наверняка ; тогда говорят также, что скобка формируется поэтапно или имеет глубину . ${\ Displaystyle \ Delta \ substeq TM}$${\ displaystyle \ Gamma (\ Delta)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(м)} = {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle m + 1}$ ${\ displaystyle m + 1}$

Ясно, что ассоциированный флаг Ли порождающего скобки распределения стабилизируется в этой точке . Несмотря на то, что быть слабо регулярным и генерировать скобки - два независимых свойства (см. Примеры ниже), когда распределение удовлетворяет обоим из них, целое число из двух определений, конечно, одинаково. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Благодаря теореме Чоу-Рашевского при заданном образующем скобку распределении на связном многообразии любые две точки в могут быть соединены путем, касательным к распределению. ${\ Displaystyle \ Delta \ substeq TM}$${\ displaystyle M}$

Примеры регулярных распределений

Интегрируемые

• Любое векторное поле на определяет распределение ранга 1, устанавливая , которое автоматически интегрируется: образ любой

интегральной кривой является интегральным многообразием.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Delta _ {x}: = \ langle X_ {x} \ rangle \ substeq T_ {x} M}$ ${\ displaystyle \ gamma: от I \ до M}$

Тривиальное распределение ранга на порождается первыми координатными векторными полями . Оно автоматически интегрируется, а интегральные многообразия определяются уравнениями для любых констант .${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle М = \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}}$${\ displaystyle \ {x_ {i} = c_ {i} \} _ {i = k + 1, \ ldots, n}}$${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R}}$

В общем, любое инволютивное / интегрируемое распределение является слабо регулярным (с для каждого ), но оно никогда не порождает скобки.${\ Displaystyle \ Delta ^ {(я)} = \ Gamma (\ Delta)}$${\ displaystyle i}$

Неинтегрируемые

• Распределение Мартине на дается , для ; эквивалентно, он генерируется векторными полями и . Он является скобочным, поскольку он не является слабо регулярным: имеет ранг 3 везде, кроме поверхности .${\ Displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ Delta = \ ker (\ omega) \ substeq TM}$${\ displaystyle \ omega = dy-z ^ {2} dx \ in \ Omega ^ {1} (M)}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + z ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial y}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(2)} = {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(1)}}$${\ displaystyle z = 0}$
• Распределение контактов на дается , для ; эквивалентно, он генерируется векторными полями и , для . Он слабо регулярный, с растущим вектором и порождающий скобки, с . Можно также определить абстрактные

контактные структуры на многообразии как распределение гиперплоскостей, которое является максимально неинтегрируемым, т.е. оно настолько далеко от инволютивного, насколько это возможно. Аналог теоремы Дарбу показывает, что такая структура имеет единственную локальную модель, описанную выше.${\ Displaystyle М = \ mathbb {R} ^ {2n + 1}}$${\ Displaystyle \ Delta = \ ker (\ omega) \ substeq TM}$${\ displaystyle \ omega = dz + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} dy_ {i} \ in \ Omega ^ {1} (M)}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y_ {i}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} + y_ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$${\ Displaystyle (2n, 2n + 1)}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(1)} = {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ displaystyle M ^ {2n + 1}}$

Распределение Энгеля на дается , для и ; эквивалентно, он генерируется векторными полями и . Он слабо регулярный, с растущим вектором и образующий скобки. Можно также определить абстрактную

структуру Энгеля на многообразии как слабо регулярное распределение ранга 2, такое как ранг 3 и ранг 4; Энгель доказал, что такая структура имеет уникальную локальную модель, описанную выше.${\ Displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ Delta = \ ker (\ omega _ {1}) \ cap \ ker (\ omega _ {2}) \ substeq TM}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} = dz-wdx \ in \ Omega ^ {1} (M)}$${\ Displaystyle \ omega _ {2} = dy-zdx \ in \ Omega ^ {1} (M)}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + z {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial w}}}$${\ Displaystyle (2,3,4)}$${\ displaystyle M ^ {4}}$${\ Displaystyle \ Delta \ substeq TM}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(1)}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {(2)}}$

В общем случае структура Гурса на многообразии представляет собой распределение ранга 2, которое является слабо регулярным и порождающим скобки с вектором роста . Для и восстанавливаются контактные распределения на трехмерных многообразиях и распределения Энгеля соответственно. Гурс структура локально диффеоморфны

распределения Картанны из реактивных пучков .${\ displaystyle M ^ {k + 2}}$${\ Displaystyle (2, 3, \ ldots, к + 1, к + 2)}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$ ${\ Displaystyle J ^ {к} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$

Особые распределения

Не путать с дистрибутивом Singular .

Сингулярное распределение , обобщенное распределение , или распределение Стефана-Sussmann , является плавным распределением , которое не является регулярным. Это означает, что подпространства могут иметь разные размеры, и поэтому подмножество больше не является гладким подгруппой . ${\ displaystyle \ Delta _ {x} \ subset T_ {x} M}$${\ displaystyle \ Delta \ subset TM}$

В частности, количество элементов в локальном базисном покрытии изменится с , и эти векторные поля больше не будут линейно независимыми везде. Не трудно видеть , что размерность является

полунепрерывна снизу , так что в особых точках измерения ниже , чем в соседних точках. ${\ displaystyle \ Delta _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Delta _ {x}}$

Интегрируемость и особые слоения

Приведенные выше определения интегральных многообразий и интегрируемости применимы также к особому случаю (устраняя требование фиксированной размерности). Однако теорема Фробениуса в этом контексте не выполняется, и инволютивности в общем случае недостаточно для интегрируемости (существуют контрпримеры в малых размерностях).

После нескольких частичных результатов проблема интегрируемости для особых распределений была полностью решена с помощью теоремы, независимо доказанной Стефаном и Сассманном. Он утверждает, что сингулярное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда выполняются следующие два свойства: ${\ displaystyle \ Delta}$

• ${\ displaystyle \ Delta}$порождается семейством векторных полей;${\ Displaystyle F \ substeq {\ mathfrak {X}} (М)}$
• ${\ displaystyle \ Delta}$инвариантно относительно каждый , то есть , где является

потоком из , и .${\ displaystyle X \ in F}$${\ displaystyle (\ phi _ {X} ^ {t}) _ {*} (\ Delta _ {y}) \ substeq \ Delta _ {\ phi _ {X} ^ {t} (y)}}$${\ displaystyle \ phi _ {X} ^ {t}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle у \ в \ mathrm {dom} (X)}$

Подобно регулярному случаю, интегрируемое сингулярное распределение определяет сингулярное слоение , которое интуитивно состоит в разбиении на подмногообразия (максимальные интегральные многообразия ) различных размерностей. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Delta}$

Определение сингулярного слоения можно уточнить несколькими эквивалентными способами. На самом деле, в литературе существует множество вариаций, переформулировок и обобщений теоремы Стефана-Сассмана с использованием различных понятий сингуарных слоений, в соответствии с которыми мы имеем в виду приложения, например, геометрия Пуассона или некоммутативная геометрия .

Примеры

• Учитывая действие группы Ли группы Ли на многообразии , ее инфинитезимальные образующие покрывают сингулярное распределение, которое всегда интегрируемо; слои ассоциированного сингулярного слоения - это в точности

орбиты действия группы. Распределение / слоение является правильным тогда и только тогда, когда действие является бесплатным.${\ displaystyle M}$

Для пуассоновского многообразия образ является сингулярным распределением, которое всегда интегрируемо; слои ассоциированного сингулярного слоения являются в точности симплектическими слоями . Распределение / слоение регулярно тогда и только тогда, когда пуассоново многообразие регулярно.${\ Displaystyle (М, \ пи)}$${\ displaystyle \ pi ^ {\ sharp} = \ iota _ {\ pi}: T ^ {*} M \ to TM}$${\ Displaystyle (М, \ пи)}$

В более общем смысле, образ якорного отображения любого

алгеброида Ли определяет сингулярное распределение, которое автоматически интегрируется, а слои ассоциированного сингулярного слоения в точности являются слоями алгеброида Ли. Распределение / слоение является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет постоянный ранг, т. Е. Алгеброид Ли регулярен. Рассматривая, соответственно, алгеброид Ли действия и кокасательный алгеброид Ли , можно восстановить два приведенных выше примера.${\ Displaystyle \ rho: от А \ до ТМ}$ ${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle M \ times {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle T ^ {*} M}$

В динамических системах сингулярное распределение возникает из набора векторных полей, которые коммутируют с данным полем.

Есть также примеры и приложения в теории управления , где обобщенное распределение представляет бесконечно малые ограничения системы.

использованная литература

1. ^ ^{a b} Танака, Нобору (01.01.1970). «О дифференциальных системах, градуированных алгебрах Ли и псевдогруппах» . Киотский математический журнал . 10 (1). DOI : 10.1215 / KJM / 1250523814 . ISSN  2156-2261 .
2. ^ Чоу, Вэй Лян (1940-12-01). "Über Systeme von liearren partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung" . Mathematische Annalen (на немецком языке). 117 (1): 98–105. DOI : 10.1007 / BF01450011 . ISSN  1432-1807 .
3. ↑ Рашевский, ПК (1938). «Любые две точки вполне неголономного пространства можно соединить допустимой прямой». Уч. Зап. Пед. Inst. я. Либкнехта, сер. Phys. Математика. (по-русски). 2 : 83–94.
4. ^ Энгель, Фридрих (1889). "Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen". Лейпц. Бер. (на немецком). 41 : 157–176.
5. ^ Lavau, Сильвен (2018-12-01). «Краткое руководство по теоремам интегрирования обобщенных распределений» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 61 : 42–58. DOI : 10.1016 / j.difgeo.2018.07.005 . ISSN  0926-2245 .
6. ^ Стефан, П. (1974). «Доступность и слоения с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 80 (6): 1142–1145. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN  0002-9904 .
7. ^ Стефан, П. (1974). «Доступные множества, орбиты и слоения с особенностями» . Труды Лондонского математического общества . s3-29 (4): 699–713. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-29.4.699 . ISSN  1460-244X .
8. ^ Sussmann, Гектор J. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость систем с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 79 (1): 197–199. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN  0002-9904 .
9. ^ Sussmann, Эктор J. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений» . Труды Американского математического общества . 180 : 171–188. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1973-0321133-2 . ISSN  0002-9947 .
10. ^ Androulidakis, Iakovos; Замбон, Марко (28 апреля 2016 г.). «Особые слоения Стефана – Зусмана, особые подалгеброиды и их ассоциированные пучки» . Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (Приложение 1): 1641001. doi : 10.1142 / S0219887816410012 . ISSN  0219-8878 .
11. ^ Лоран-Gengoux, Камилла; Лавау, Сильвен; Штробль, Томас (2020). «Универсальный ∞-алгеброид Ли особого слоения» . eLibM - Док. Математика . 25 : 1571–1652. DOI : 10,25537 / dm.2020v25.1571-1652 .
12. ^ Дебор, Клэр (2001-07-01). "Группоиды голономии особых слоений" . Журнал дифференциальной геометрии . 58 (3). DOI : 10.4310 / JDG / 1090348356 . ISSN  0022-040X .
13. ^ Androulidakis, Iakovos; Скандалис, Жорж (01.01.2009). «Группоид голономии особого слоения» . 2009 (626): 1–37. DOI : 10,1515 / CRELLE.2009.001 . ISSN  1435-5345 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Книги, конспекты лекций и внешние ссылки

• Уильям М. Бутби. Раздел IV. 8 в Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию , Academic Press, Сан-Диего, Калифорния, 2003.
• Джон М. Ли, Глава 19 во Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag, 2003.
• Ричард Монтгомери, главы 2, 4 и 6 в «Путешествие по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям» . Математические обзоры и монографии 91 . Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.
• Альваро дель Пино, Топологические аспекты изучения касательных распределений. Textos de Matemática. Сери Б , 48 . Университет Коимбры, 2019.

• "Инволютивное распределение" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

В эту статью включены материалы из Распространения на PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .