Алгеброид Ли - Lie algebroid

В математике алгеброидом Ли является векторное расслоение вместе со скобкой Ли на его пространстве сечений и морфизмом векторного расслоения , удовлетворяющее правилу Лейбница. Таким образом, алгеброид Ли можно рассматривать как «многообъектное обобщение» алгебры Ли . ${\ Displaystyle A \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ Gamma (A)}$${\ displaystyle \ rho: A \ rightarrow TM}$

Алгеброиды Ли играют в теории группоидов Ли ту же роль, что и алгебры Ли в теории групп Ли : сводя глобальные проблемы к бесконечно малым. В самом деле, любой группоид Ли порождает алгеброид Ли, который представляет собой вертикальное расслоение исходного отображения, ограниченное в единицах. Однако, в отличие от алгебр Ли, не каждый алгеброид Ли возникает из группоида Ли.

Алгеброиды Ли были введены в 1967 году Жаном Прадинесом.

Определение и основные понятия

Алгеброид это тройка , состоящая из ${\ Displaystyle (А, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$

• векторное расслоение над многообразием${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle M}$
• скобка Ли на ее пространстве сечений${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$${\ displaystyle \ Gamma (A)}$
• морфизм векторных расслоений , называется якорем , где это касательное расслоение из${\ displaystyle \ rho: A \ rightarrow TM}$${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle M}$

такой, что якорь и скобка удовлетворяют следующему правилу Лейбница:

${\ Displaystyle [X, fY] = \ rho (X) f \ cdot Y + f [X, Y]}$

где и является производным от вдоль векторного поля . ${\ Displaystyle X, Y \ in \ Gamma (A), е \ in C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle \ rho (X) f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ rho (X)}$

Часто пишут, когда скобка и якорь ясны из контекста; некоторые авторы обозначают алгеброиды Ли как , предлагая «предел» группоидов Ли, когда стрелки, обозначающие источник и цель, становятся «бесконечно близкими». ${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ Displaystyle A \ Rightarrow M}$

Первые свойства

Из определения следует, что

• для каждого ядро является алгеброй Ли, называемой алгеброй Ли изотропии в${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x} (A) = \ ker (\ rho _ {x})}$${\ displaystyle x}$
• ядро является (не обязательно локально тривиальным) расслоением алгебр Ли, называемым расслоением алгебр Ли изотропии${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} (A) = \ ker (\ rho)}$
• образ является сингулярным распределением, которое является интегрируемым, т. е. допускает максимальные погруженные подмногообразия , называемые орбитами , удовлетворяющие каждому . Эквивалентно, орбиты могут быть явно описаны как наборы точек, которые соединены A-путями , т. Е. Пары путей внутри и внутри, такие что и${\ Displaystyle \ mathrm {Im} (\ rho) \ substeq TM}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \ substeq M}$${\ Displaystyle \ mathrm {Im} (\ rho _ {x}) = T_ {x} {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle (а: я \ к А, \ гамма: я \ к М)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle а (т) \ в А _ {\ гамма (т)}}$${\ Displaystyle \ rho (а (т)) = \ гамма '(т)}$
• карта привязки спускается на карту между секциями, которая является морфизмом алгебры Ли, т. е.${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho: \ Gamma (A) \ rightarrow {\ mathfrak {X}} (M)}$

${\ Displaystyle \ rho ([X, Y]) = [\ rho (X), \ rho (Y)]}$

для всех . ${\ Displaystyle X, Y \ in \ Gamma (A)}$

Свойство, которое индуцирует морфизм алгебр Ли, было взято в качестве аксиомы в исходном определении алгеброида Ли. Такая избыточность, несмотря на то, что она была известна с алгебраической точки зрения еще до определения Прадина, была замечена намного позже. ${\ displaystyle \ rho}$

Подалгеброиды и идеалы

Subalgebroid Ли из алгеброида Ли является вектором подрасслоением сужения таким образом, что принимает значения и является подалгебра Ли . Ясно, что он допускает единственную структуру алгеброида Ли, которая является морфизмом алгебры Ли. На языке, вводимом ниже, включение является морфизмом алгеброидов Ли. ${\ Displaystyle (А, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$${\ displaystyle A '\ to M'}$${\ displaystyle A _ {\ mid M '} \ to M'}$${\ displaystyle \ rho _ {\ mid A '}}$${\ displaystyle TM '}$${\ Displaystyle \ Gamma (A, A '): = \ {\ alpha \ in \ Gamma (A) \ mid \ alpha _ {\ mid M'} \ in \ Gamma (A ') \}}$${\ displaystyle \ Gamma (A)}$${\ displaystyle A '\ to M'}$${\ Displaystyle \ Гамма (А, А ') \ к \ Гамма (А')}$${\ displaystyle A '\ hookrightarrow A}$

Подалгеброид Ли называется широким, если . По аналогии со стандартным определением алгебры Ли идеалом алгеброида Ли является широкий подалгеброид Ли, такой что является идеалом Ли. Такое понятие оказалось очень ограничительным, поскольку оно вынуждено находиться внутри связки изотропии . По этой причине было введено более гибкое понятие бесконечно малой идеальной системы . ${\ displaystyle M '= M}$${\ displaystyle I \ substeq A}$${\ Displaystyle \ Gamma (I) \ substeq \ Gamma (A)}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \ ker (\ rho)}$

Морфизмы

Алгеброид морфизм между двумя алгеброид Ли и с той же базой является векторным расслоением морфизма , который совместит со скобками Ли, то есть для каждого , и с якорями, то есть . ${\ Displaystyle (A_ {1}, [\ cdot, \ cdot] _ {A_ {1}}, \ rho _ {1})}$${\ Displaystyle (A_ {2}, [\ cdot, \ cdot] _ {A_ {2}}, \ rho _ {2})}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ phi: от A_ {1} \ до A_ {2}}$${\ Displaystyle \ фи ([\ альфа, \ бета] _ {А_ {1}}) = [\ фи (\ альфа), \ фи (\ бета)] _ {А_ {2}}}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в \ Gamma (A_ {1})}$${\ Displaystyle \ rho _ {2} \ circ \ phi = \ rho _ {1}}$

Аналогичное понятие можно сформулировать для морфизмов с разными базами, но совместимость со скобками Ли становится более сложной. Эквивалентно, можно спросить, что граф является подалгеброидом прямого произведения (вводится ниже). ${\ displaystyle \ phi: от A_ {1} \ до A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2}}$

Алгеброиды Ли вместе со своими морфизмами образуют категорию .

Примеры

Тривиальные и крайние случаи

• Для любого многообразия его касательный алгеброид Ли является касательным расслоением вместе со скобкой Ли векторных полей и единицей в качестве якоря.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle TM \ to M}$${\ displaystyle TM}$
• Для любого многообразия нулевое векторное расслоение является алгеброидом Ли с нулевой скобкой и якорем.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times 0 \ to M}$
• Алгеброиды Ли над точкой - это то же самое, что алгебры Ли .${\ Displaystyle А \ к \ {* \}}$
• В более общем смысле, любые расслоения алгебр Ли являются алгеброидом Ли с нулевым якорем и скобкой Ли, определенной поточечно.

Примеры из дифференциальной геометрии

• Учитывая слоение на , его алгеброид слоения является ассоциированным инволютивным подрасслоением со скобками и якорем, индуцированными из касательного алгеброида Ли.${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ substeq TM}$
• Учитывая действие алгебры Ли на многообразии , ее алгеброид действия является тривиальным векторным расслоением с якорем, заданным действием алгебры Ли, и скобками, однозначно определяемыми скобкой на постоянных сечениях и тождеством Лейбница.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ раз от M \ до M}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle M \ to {\ mathfrak {g}}}$
• Учитывая главное G -расслоение над многообразием , его алгеброид Атьи является подгонкой алгеброида Ли в следующей короткой точной последовательности : ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A = TP / G}$

  ${\ Displaystyle 0 \ к \ ker (\ rho) \ к TP / G \ xrightarrow {\ rho} TM \ to 0.}$

Пространство сечений алгеброида Атьи является алгеброй Ли -инвариантных векторных полей на , его изотропное расслоение алгебр Ли изоморфно присоединенному векторному расслоению , а правые разбиения указанной выше последовательности являются главными связностями на .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P \ times _ {G} {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle P}$

• Для данного векторного расслоения его общий линейный алгеброид , обозначаемый символом или , является векторным расслоением, сечения которого являются производными от дифференциальных операторов первого порядка, допускающих такое векторное поле , что для каждого . Якорь - это просто присвоение, а скобка Ли задается коммутатором дифференциальных операторов.${\ displaystyle E \ to M}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (E)}$${\ displaystyle \ mathrm {Der} (E)}$${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}$${\ Displaystyle \ rho (D) \ в {\ mathfrak {X}} (М)}$${\ Displaystyle D (е \ сигма) = fD (\ сигма) + \ ро (D) (е) \ сигма}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M), \ sigma \ in \ Gamma (E)}$${\ Displaystyle D \ mapsto \ rho (D)}$
• Для пуассоновского многообразия его кокасательный алгеброид является кокасательным векторным расслоением со скобкой Ли и якорным отображением .${\ Displaystyle (М, \ пи)}$${\ displaystyle A = T ^ {*} M}$${\ displaystyle [\ alpha, \ beta]: = {\ mathcal {L}} _ {\ pi ^ {\ sharp} (\ alpha)} (\ beta) - {\ mathcal {L}} _ {\ pi ^ {\ sharp} (\ beta)} (\ alpha) -d \ pi (\ alpha, \ beta)}$${\ displaystyle \ pi ^ {\ sharp}: T ^ {*} M \ to TM, \ alpha \ mapsto \ pi (\ alpha, \ cdot)}$
• Для данной замкнутой 2-формы векторное расслоение является алгеброидом Ли с привязкой проекции на первую компоненту и скобкой Ли${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {2} (M)}$${\ displaystyle A _ {\ omega}: = TM \ times \ mathbb {R} \ to M}$
  $${\ displaystyle [(X, f), (Y, g)]: = {\ Big (} [X, Y], {\ mathcal {L}} _ {X} (g) - {\ mathcal {L} } _ {Y} (f) - \ omega (X, Y) {\ Big)}.}.$$

  
  Фактически, указанная выше скобка может быть определена для любой 2-формы , но она является алгеброидом Ли тогда и только тогда, когда она замкнута.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle A _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ omega}$

Конструкции из других алгеброидов Ли

• Для любого алгеброида Ли существует алгеброид Ли , называемый его касательным алгеброидом , который получается путем рассмотрения касательного расслоения к и и дифференциала якоря.${\ Displaystyle (от А \ к М, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$${\ displaystyle (TA \ to TM, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$
• При любом алгеброида , есть алгеброид , называется его к-струйный алгеброид , полученный при рассмотрении K-реактивный свертка из , с кронштейном Ли однозначно определяется и якорь .${\ Displaystyle (от А \ к М, [\ cdot, \ cdot] _ {A}, \ rho _ {A})}$${\ Displaystyle (J ^ {k} от А \ к М, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle [j ^ {k} \ alpha, j ^ {k} \ beta]: = j ^ {k} [\ alpha, \ beta] _ {A}}$${\ Displaystyle \ rho (j_ {x} ^ {k} \ alpha): = \ rho _ {A} (\ alpha (x))}$
• Даны два алгеброида Ли и , их прямое произведение является единственным алгеброидом Ли с якорем и таким, что является морфизмом алгебры Ли.${\ displaystyle A_ {1} \ to M_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2} \ to M_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ to M_ {1} \ times M_ {2}}$${\ Displaystyle (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2}) \ mapsto \ rho _ {1} (\ alpha _ {1}) \ oplus \ rho _ {2} (\ alpha _ {2}) \ in TM_ {1} \ oplus TM_ {2} \ cong T (M_ {1} \ times M_ {2}),}$${\ Displaystyle \ Gamma (A_ {1}) \ oplus \ Gamma (A_ {2}) \ to \ Gamma (A_ {1} \ times A_ {2}), \ alpha _ {1} \ oplus \ alpha _ { 2} \ mapsto \ mathrm {pr} _ {M_ {1}} ^ {*} \ alpha _ {1} + \ mathrm {pr} _ {M_ {2}} ^ {*} \ alpha _ {2}}$
• Учитывая алгеброид Ли и отображение , дифференциал которого трансверсален отображению якоря (например, этого достаточно для того, чтобы быть сюръективной субмерсией ), алгеброид обратного вызова является единственным алгеброидом Ли с векторным расслоением обратного отсчета и проекцией на первый компонент, такой, что является морфизмом алгеброидов Ли.${\ Displaystyle (от А \ к М, [\ cdot, \ cdot] _ {A}, \ rho _ {A})}$${\ displaystyle f: M '\ to M}$${\ Displaystyle \ rho: от А \ до ТМ}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {!} от А \ до М '}$${\ displaystyle f ^ {!} A: = TM '\ times _ {TM} от A \ до M'}$${\ displaystyle \ rho _ {е ^ {!} A}: f ^ {!} A \ to TM '}$${\ displaystyle f ^ {!} от A \ до A}$

Важные классы алгеброидов Ли

Совершенно интранзитивные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется полностью интранзитивным, если отображение привязки равно нулю. ${\ Displaystyle \ rho: от А \ до ТМ}$

Связки алгебр Ли (а значит, и алгебры Ли) вполне интранзитивны. Это фактически полностью исчерпывает список полностью интранзитивных алгеброидов Ли: действительно, если он полностью интранзитивен, он должен совпадать со своим изотропным расслоением алгебр Ли. ${\ displaystyle A}$

Транзитивные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется транзитивным, если отображение якоря сюръективно. Как следствие: ${\ Displaystyle \ rho: от А \ до ТМ}$

• есть короткая точная последовательность
  $${\ Displaystyle 0 \ к \ ker (\ rho) \ к A \ xrightarrow {\ rho} TM \ to 0;}$$

  
• правое разделение определяет основную связку соединений на ;${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ ker (\ rho)}$
• расслоение изотропии локально тривиально (как расслоение алгебр Ли);${\ Displaystyle \ ker (\ rho)}$
• откат существуют для каждого .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f: M '\ to M}$

Типичными примерами транзитивных алгеброидов Ли являются алгеброиды Атьи. Например:

• касательные алгеброиды тривиально транзитивны (действительно, они являются алгеброидом Атьи главного -расслоения )${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ {е \}}$${\ displaystyle M \ to M}$
• Алгебры Ли тривиально транзитивны (действительно, они являются алгеброидом Атьи главного -расслоения для интегрирования )${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G \ to *}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$
• общие линейные алгеброиды транзитивны (действительно, они являются алгеброидами Атьи расслоения реперов )${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (E)}$ ${\ displaystyle Fr (E) \ to M}$

По аналогии с алгеброидами Атьи, произвольный транзитивный алгеброид Ли также называется абстрактной последовательностью Атьи , а его расслоение алгебр изотропии также называется присоединенным расслоением . Однако важно подчеркнуть, что не каждый транзитивный алгеброид Ли является алгеброидом Атьи. Например: ${\ Displaystyle \ ker (\ rho)}$

• откаты транзитивных алгеброидов транзитивны
• кокасательные алгеброиды, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями , транзитивны тогда и только тогда, когда пуассонова структура невырождена.${\ displaystyle T ^ {*} M}$${\ Displaystyle (М, \ пи)}$${\ displaystyle \ pi}$
• Алгеброиды Ли, определяемые замкнутыми 2-формами, транзитивны.${\ displaystyle A _ {\ omega}}$

Эти примеры очень важны в теории интегрирования алгеброидов Ли (см. Ниже): хотя любой алгеброид Атьи интегрируем (до калибровочного группоида), не всякий транзитивный алгеброид Ли интегрируем.

Регулярные алгеброиды Ли

Алгеброид Ли называется регулярным, если якорное отображение имеет постоянный ранг. Как следствие ${\ Displaystyle \ rho: от А \ до ТМ}$

• образ определяет регулярное слоение на ;${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle M}$
• ограничение над каждым слоем является транзитивным алгеброидом Ли.${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \ substeq M}$

Например:

• любой транзитивный алгеброид Ли является регулярным (якорь имеет максимальный ранг);
• любые вполне интранзитивные алгеброиды Ли транзитивны (якорь имеет нулевой ранг);
• алгеброиды слоения всегда регулярны;
• кокасательные алгеброиды, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями , регулярны тогда и только тогда, когда структура Пуассона регулярна.${\ displaystyle T ^ {*} M}$${\ Displaystyle (М, \ пи)}$${\ displaystyle \ pi}$

Другие связанные концепции

Действия

Действие алгеброида Ли на многообразии Р вдоль гладкого отображения состоит из алгебры Ли морфизма${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle \ mu: P \ to M}$

так что для каждого ,${\ displaystyle p \ in P, X \ in \ Gamma (A), f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}$Конечно, когда и якорь, и отображение должны быть тривиальными, поэтому оба условия пусты, и мы восстанавливаем стандартное понятие действия алгебры Ли на многообразии. ${\ Displaystyle А = {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle А \ к \ {* \}}$${\ displaystyle P \ to \ {* \}}$

Подключения

Учитывая алгеброид , A-соединение на векторном расслоении состоит из -bilinear карты${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle E \ to M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

который является -линейным по первому множителю и удовлетворяет следующему правилу Лейбница:${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (М)}$для каждого , где обозначает производную Ли по векторному полю .${\ displaystyle \ alpha \ in \ Gamma (A), s \ in \ Gamma (E), f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ rho (\ alpha)}}$${\ Displaystyle \ rho (\ альфа)}$

Кривизны от А-связи является -bilinear карты${\ displaystyle \ nabla}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (М)}$

и называется плоской, если .${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle R _ {\ nabla} = 0}$

Конечно, когда мы восстанавливаем стандартное понятие связности на векторном расслоении , а также понятия кривизны и плоскостности. ${\ displaystyle A = TM}$

Представления

Представление о алгеброида Ли является векторным расслоением с плоской A-соединение . Эквивалентно представление - это морфизм алгеброидов Ли . ${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle E \ to M}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ Displaystyle (Е, \ набла)}$${\ displaystyle A \ to {\ mathfrak {gl}} (E)}$

Множество классов изоморфизма представлений алгеброида Ли имеет естественную структуру полукольца с прямыми суммами и тензорными произведениями векторных расслоений. ${\ Displaystyle \ mathrm {Rep} (А)}$${\ Displaystyle от А \ до М}$

Примеры включают следующее:

• Когда , Н. -связность упрощается линейным отображение и условие плоскостности делает его в алгебре Ли морфизм, поэтому мы возвращаем стандартное понятие представления алгебры Ли .${\ Displaystyle А = {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$
• Когда и является представлением алгебры Ли , тривиальное векторное расслоение автоматически является представлением${\ Displaystyle А = {\ mathfrak {g}} \ раз от M \ до M}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V \ times M \ to M}$${\ displaystyle A}$
• Представления касательного алгеброида - это векторные расслоения, наделенные плоскими связностями${\ displaystyle A = TM}$
• Каждый алгеброид Ли имеет естественное представление на линейном расслоении , т. Е. Тензорное произведение между детерминантными линейными расслоениями из и из . Можно связать класс когомологий в (см. Ниже), известный как модулярный класс алгеброида Ли. Для кокасательного алгеброида, ассоциированного с пуассоновым многообразием, восстанавливается модулярный класс .${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ displaystyle Q_ {A}: = \ wedge ^ {top} A \ otimes \ wedge ^ {top} T ^ {*} M \ to M}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle T ^ {*} M}$${\ displaystyle H ^ {1} (A, Q_ {A})}$${\ displaystyle T ^ {*} от M \ до M}$${\ Displaystyle (М, \ пи)}$${\ displaystyle \ pi}$

Заметим, что там произвольный группоид Ли не имеет канонического представления на своем алгеброиде Ли, играя роль присоединенного представления групп Ли на их алгебрах Ли. Однако это становится возможным, если допустить более общее понятие представления с точностью до гомотопии .

Когомологии алгеброидов Ли

Рассмотрим алгеброид Ли и представление . Обозначая пространство - дифференциальных форм на со значениями в векторном расслоении , можно определить дифференциал со следующим кошу типа формулы:${\ Displaystyle от А \ до М}$${\ Displaystyle (Е, \ набла)}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {n} (A, E): = \ Gamma (\ wedge ^ {n} A ^ {*} \ otimes E)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle d ^ {n}: \ Omega ^ {n} (A, E) \ to \ Omega ^ {n + 1} (A, E)}$

Благодаря плоскостности , становится коцепной комплекс и его когомологии, обозначаемый , называется алгеброид когомологий из с коэффициентами в представлении . ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle (\ Omega ^ {n} (A, E), d ^ {n})}$${\ Displaystyle Н ^ {*} (А, Е)}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (Е, \ набла)}$

Это общее определение восстанавливает хорошо известные теории когомологий:

• КОГОМОЛОГИИ алгеброида совпадает с

когомологиями Шевалье-Эйленбергом в качестве алгебры Ли.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to \ {* \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Когомологии касательного алгеброида совпадает с

когомологий де Рама из .${\ displaystyle TM \ to M}$${\ displaystyle M}$

Когомологии алгеброида Ли слоения совпадают с послойными когомологиями слоения .${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to M}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Когомологии кокасательного алгеброида Ли, ассоциированные с пуассоновой структурой, совпадают с когомологиями Пуассона алгебры

.${\ displaystyle T ^ {*} M}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Группоид Ли - алгеброидное соответствие

Стандартная конструкция, которая связывает алгебру Ли с группой Ли, обобщает эту ситуацию: каждому группоиду Ли можно канонически сопоставить алгеброид Ли, определенный следующим образом: ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle \ mathrm {Lie} (G)}$

• вектор расслоение , где является вертикальным расслоением исходного волокна и является группоидом блок карты;${\ displaystyle \ mathrm {Lie} (G) = A: = u ^ {*} T ^ {s} G}$${\ displaystyle T ^ {s} G \ substeq TG}$${\ displaystyle s: G \ to M}$${\ displaystyle u: от M \ до G}$
• секции отождествляются с правоинвариантными векторными полями на , так что наследуется скобка Ли;${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma (A)}$
• карта привязки - это дифференциал целевой карты .${\ displaystyle \ rho: = dt _ {\ mid A}: от A \ до TM}$${\ displaystyle t: G \ to M}$

Конечно, симметричная конструкция возникает при смене ролей исходного и целевого карт и замене правых на левоинвариантные векторные поля; изоморфизм между двумя результирующими алгеброидами Ли будет дан дифференциалом обратного отображения . ${\ displaystyle i: G \ to G}$

Поток из секции является 1-параметр бисекция , определяется , где это поток соответствующего правоинвариантного векторного поля . Это позволяет определить аналог экспоненциального отображения для групп Ли как . ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ Гамма (А)}$${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} \ in \ mathrm {Bis} (G)}$${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} (x): = \ phi _ {\ tilde {\ alpha}} ^ {\ epsilon} (1_ {x})}$${\ displaystyle \ phi _ {\ tilde {\ alpha}} ^ {\ epsilon} \ in \ mathrm {Diff} (G)}$${\ Displaystyle {\ тильда {\ альфа}} \ in {\ mathfrak {X}} (G)}$${\ displaystyle \ exp: \ Gamma (A) \ to \ mathrm {Bis} (G), \ exp (\ alpha) (x): = \ phi _ {\ alpha} ^ {1} (x)}$

Функтор лжи

Отображение, переводящее группоид Ли в алгеброид Ли, на самом деле является частью категориальной конструкции. В самом деле, любой морфизм группоидов Ли можно дифференцировать до морфизма между ассоциированными алгеброидами Ли. ${\ Displaystyle G \ mapsto \ mathrm {Lie} (G)}$${\ displaystyle \ phi: G_ {1} \ to G_ {2}}$ ${\ displaystyle d \ phi _ {\ mid \ mathrm {Lie} (G_ {1})}: \ mathrm {Lie} (G_ {1}) \ to \ mathrm {Lie} (G_ {2})}$

Эта конструкция определяет функтор из категории группоидов Ли и их морфизмов в категорию алгеброидов Ли и их морфизмов, называемый функтором Ли .

Структуры и свойства, индуцированные от группоидов к алгеброидам

Пусть - группоид Ли и связанный с ним алгеброид Ли. потом ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle (от А \ к М, [\ cdot, \ cdot], \ rho)}$

• Алгебры изотропии - это алгебры Ли групп изотропии${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x} (А)}$${\ displaystyle G_ {x}}$
• Орбиты совпадает с орбитами${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$
• ${\ displaystyle G}$транзитивен и является субмерсией тогда и только тогда, когда он транзитивен${\ Displaystyle (s, t): от G \ до M \ times M}$${\ displaystyle A}$
• действие из по индуцируешь действие из (называется бесконечно малое действие ), определяется${\ displaystyle m: G \ times _ {M} P \ to P}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P \ to M}$${\ displaystyle a: \ Gamma (A) \ to {\ mathfrak {X}} (P)}$${\ displaystyle A}$
  $${\ displaystyle a (\ alpha) _ {p}: = d_ {1 _ {\ mu (p)}} m (\ cdot, p) (\ alpha _ {\ mu (p)}) = d _ {(1_ { \ mu (p)}, p)} m (\ alpha _ {\ mu (p)}, 0)}$$

  
• представление на векторном расслоении индуцирует представление о на , определяемое${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E \ to M}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E \ to M}$
  $${\ displaystyle \ nabla _ {\ alpha} \ sigma (x): = {\ frac {d} {d \ epsilon}} _ {\ mid \ epsilon = 0} {\ Big (} \ phi _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} (x) {\ Big)} ^ {- 1} \ cdot \ sigma {\ Big (} t (\ phi _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} (x)) {\ Big)} }$$

  
  Более того, существует морфизм полуколец , который становится изоморфизмом, если он исходно односвязен.${\ Displaystyle \ mathrm {Rep} (G) \ to \ mathrm {Rep} (A)}$${\ displaystyle G}$
• существует морфизм , называемый морфизмом Ван Эста, от дифференцируемых когомологий с коэффициентами в некотором представлении на когомологиях с коэффициентами в индуцированном представлении на . Кроме того, если -fibres из являются гомологически связным , то есть изоморфизм для и инъективна для .${\ displaystyle VE ^ {k}: H_ {d} ^ {k} (G, E) \ to H ^ {k} (A, E)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle VE ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ Leq п}$${\ Displaystyle к = п + 1}$

Примеры

• Алгеброидом группы Ли называется алгебра Ли${\ Displaystyle G \ rightrightarrows \ {* \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to \ {* \}}$
• Алгеброид Ли парного группоида и фундаментального группоида - это касательный алгеброид${\ displaystyle M \ times M \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (М) \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle TM \ to M}$
• Алгеброид Ли единичного группоида - это нулевой алгеброид${\ Displaystyle и (М) \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle M \ times 0 \ to M}$
• Алгеброидом расслоения групп Ли называется расслоение алгебр Ли${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle от А \ до М}$
• Алгеброидом Ли группоида действий называется алгеброид действия${\ displaystyle G \ times M \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ раз от M \ до M}$
• Алгеброидом Ли калибровочного группоида является алгеброид Атьи${\ displaystyle (P \ times P) / G \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle TP / G \ to M}$
• Алгеброидом Ли общего линейного группоида является общий линейный алгеброид${\ Displaystyle GL (E) \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (E) \ to M}$
• Алгеброидом Ли как группоида голономии, так и группоида монодромии является алгеброид слоения${\ displaystyle \ mathrm {Hol} ({\ mathcal {F}}) \ rightrightarrows M}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ({\ mathcal {F}}) \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ to M}$
• Алгеброид Ли касательного группоида является касательным алгеброидом для${\ displaystyle TG \ rightrightarrows TM}$${\ displaystyle TA \ to TM}$${\ Displaystyle A = \ mathrm {Lie} (G)}$
• Алгеброидом Ли струйного группоида является струйный алгеброид , при${\ displaystyle J ^ {k} G \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle J ^ {k} от A \ до M}$${\ Displaystyle A = \ mathrm {Lie} (G)}$

Подробный пример 1

Опишем алгеброид Ли, ассоциированный с парным группоидом . Поскольку исходная карта имеет вид , -волокна такого типа , так что вертикальное пространство равно . Используя единичную карту , можно получить векторное расслоение . ${\ displaystyle G: = M \ times M}$${\ Displaystyle s: G \ к M: (p, q) \ mapsto q}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle М \ раз \ {д \}}$${\ displaystyle T ^ {s} G = \ bigcup _ {q \ in M} TM \ times \ {q \} \ subset TM \ times TM}$${\ Displaystyle и: M \ к G: q \ mapsto (q, q)}$${\ displaystyle A: = u ^ {*} T ^ {s} G = \ bigcup _ {q \ in M} T_ {q} M = TM}$

Расширение сечений на правоинвариантные векторные поля происходит просто, а расширение гладкой функции от до правоинвариантной функции на есть . Следовательно, скобка на - это просто скобка Ли касательных векторных полей, а привязка - это просто тождество. ${\ Displaystyle X \ in \ Gamma (A)}$${\ Displaystyle {\ тильда {X}} \ in {\ mathfrak {X}} (G)}$${\ Displaystyle {\ тильда {X}} (p, q) = X (p) \ oplus 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ тильда {f}} (p, q) = f (q)}$${\ displaystyle A}$

Подробный пример 2

Рассмотрим группоид Ли (действия)

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ times U (1) \ rightrightarrows \ mathbb {R} ^ {2}}$

где целевая карта (т.е. правильное действие включения ) является ${\ Displaystyle U (1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle ((x, y), e ^ {i \ theta}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & - \ sin (\ theta) \\\ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}$

-Fibre над точкой являются все копии , так что это тривиальное векторное расслоение . ${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle р = (х, у)}$${\ Displaystyle U (1)}$${\ Displaystyle и ^ {*} (T ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {2} \ times U (1)))}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ times U (1) \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

Поскольку его якорное отображение задается дифференциалом целевого отображения, есть два случая для изотропных алгебр Ли, соответствующих слоям : ${\ displaystyle \ rho: \ mathbb {R} ^ {2} \ times U (1) \ to T \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle Т ^ {т} (\ mathbb {R} ^ {2} \ раз U (1))}$

${\ displaystyle {\ begin {align} t ^ {- 1} (0) \ cong & U (1) \\ t ^ {- 1} (p) \ cong & \ {(a, u) \ in \ mathbb { R} ^ {2} \ times U (1): ua = p \} \ end {выровнено}}}$

Это показывает, что изотропия по началу координат равна , в то время как во всем остальном она равна нулю. ${\ Displaystyle U (1)}$

Интегрирование алгеброида Ли.

Теоремы Ли

Алгеброид Ли называется интегрируемым, если он изоморфен некоторому группоиду Ли . Аналог классической теоремы Ли I утверждает, что:${\ displaystyle \ mathrm {Lie} (G)}$ ${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$

если - интегрируемый алгеброид Ли, то существует единственное (с точностью до изоморфизма) -простосвязное интегрирующее группоид Ли .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$

Точно так же морфизм между интегрируемыми алгеброидами Ли называется интегрируемым, если он является дифференциалом некоторого морфизма между двумя интегрированиями и . Аналог классической теоремы Ли II утверждает, что:${\ displaystyle F: A_ {1} \ to A_ {2}}$${\ Displaystyle F = d \ phi _ {\ mid A}}$${\ displaystyle \ phi: G_ {1} \ to G_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$

если является морфизмом интегрируемых алгеброидов Ли и является -простым связным, то существует единственный морфизм интегрирующих группоидов Ли .${\ Displaystyle F: \ mathrm {Lie} (G_ {1}) \ to \ mathrm {Lie} (G_ {2})}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ phi: G_ {1} \ to G_ {2}}$${\ displaystyle F}$

В частности, из выбора в качестве общего линейного группоида векторного расслоения следует, что любое представление интегрируемого алгеброида Ли интегрируется с представлением его -простосвязного интегрирующего группоида Ли. ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle GL (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle s}$

С другой стороны, не существует аналога классической теоремы Ли III , т.е. возврат от любого алгеброида Ли к группоиду Ли не всегда возможен. Прадинес утверждал, что такое утверждение справедливо, и первый явный пример неинтегрируемых алгеброидов Ли, исходящий, например, из теории слоения, появился только несколько лет спустя. Несмотря на несколько частичных результатов, включая полное решение в транзитивном случае, общие препятствия для интегрируемости произвольного алгеброида Ли были обнаружены только в 2003 г. Крейником и Фернандесом . Принимая более общий подход, можно увидеть, что каждый алгеброид Ли интегрируется в стековый группоид Ли.

Группоид Вайнштейна

Для любого алгеброида Ли естественным кандидатом на интеграцию является группоид Вайнштейна , где обозначает пространство -путь и отношение -гомотопии между ними. В самом деле, можно показать, что это -простосвязный топологический группоид с умножением, индуцированным конкатенацией путей. Более того, если интегрируемо, допускает такую ​​гладкую структуру, что совпадает с единственным -простым интегрирующим группоидом Ли . ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle G (A): = P (A) / \ sim}$${\ Displaystyle P (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle G (A)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle G (A)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle A}$

Соответственно, единственное препятствие к интегрируемости заключается в гладкости . Этот подход привел к введению объектов, называемых группами монодромии , связанных с любым алгеброидом Ли, и к следующему фундаментальному результату:${\ Displaystyle G (A)}$

Алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда его группы монодромии равномерно дискретны.

В переходном случае такая инструкция упрощается:

Транзитивный алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда его группы монодромии дискретны.

Приведенные выше результаты также показывают, что каждый алгеброид Ли допускает интегрирование с локальным группоидом Ли (грубо говоря, группоидом Ли, в котором умножение определено только в окрестности единичных элементов).

Интегрируемые примеры

• Алгебры Ли всегда интегрируемы (по теореме Ли III)
• Алгеброиды Атьи главного расслоения всегда интегрируемы (калибровочному группоиду этого главного расслоения)
• Алгеброиды Ли с инъективным якорем (следовательно, алгеброиды слоения) всегда интегрируемы (по теореме Фробениуса )
• Расслоение алгебр Ли всегда интегрируемо
• Алгеброиды Ли действия всегда интегрируемы (но интегрирование не обязательно является группоидом Ли действия)
• Любой подалгеброид Ли интегрируемого алгеброида Ли интегрируем.

Неинтегрируемый пример

Рассмотрим алгеброида , связанный с замкнутой 2-формы и группы сферических периодов , связанных с , т.е. изображения следующей группы гомоморфизм из второй гомотопической группы из${\ displaystyle A _ {\ omega} = TM \ times \ mathbb {R} \ to M}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {2} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ Lambda: = \ mathrm {Im} (\ Phi) \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle M}$

Поскольку он транзитивен, он интегрируем тогда и только тогда, когда он является алгеброидом Атья некоторого главного расслоения; тщательный анализ показывает, что это происходит тогда и только тогда, когда подгруппа является решеткой , т. е. дискретной. Явный пример, когда такое условие не выполняется, дается путем взятия и для формы площади. Вот и оказывается , что плотно во . ${\ displaystyle A _ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ Lambda \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle M = S ^ {2} \ times S ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega = \ mathrm {pr} _ {1} ^ {*} \ sigma + {\ sqrt {2}} \ mathrm {pr} _ {2} ^ {*} \ sigma \ in \ Omega ^ { 2} (M)}$${\ displaystyle \ sigma \ in \ Omega ^ {2} (S ^ {2})}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + {\ sqrt {2}} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Смотрите также

• R-алгеброид
• Биалгеброид Ли

использованная литература

Книги и конспекты лекций

• Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, AMS Notices , 43 (1996), 744-752. Также доступно на arXiv: math / 9602220 .
• Кирилл Маккензи, Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , Cambridge U. Press, 1987.
• Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли , Cambridge U. Press, 2005.
• Мариус Крайник, Руи Лоха Фернандес, Лекции по интегрируемости скобок Ли , Монографии по геометрии и топологии 17 (2011) 1–107, доступно на arXiv: math / 0611259 .
• Экхард Майнренкен, Конспекты лекций по группоидам Ли и алгеброидам Ли , доступны по адресу http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_LieGroupoids/Groupoids.pdf .
• Ике Мурдейк, Янез Мрчун, Введение в слоения и группоиды Ли , Cambridge U. Press, 2010.