Корреляция (проективная геометрия) - Correlation (projective geometry)

В проективной геометрии , А корреляции являются преобразованием г - мерного проективного пространства , который отображает подпространства размерности к для подпространств размерности D - K - 1 , реверсивное включение и сохраняющей частоту . Корреляции также называются взаимностью или взаимными преобразованиями .

В двух измерениях

В реальной проективной плоскости точки и прямые двойственны друг другу. По словам Кокстера,

Корреляция - это прямое и двухточечное преобразование, которое сохраняет отношение инцидентности в соответствии с принципом двойственности. Таким образом, он превращает диапазоны в карандаши , карандаши в диапазоны, четырехугольники в четырехугольники и так далее.

Для прямой m и P точка не на m , элементарная корреляция получается следующим образом: для каждого Q на m формируют прямую PQ . В обратной корреляции начинается с карандашом на Р : для любой линии д в этом пучке возьмем точку т ∩ д . Состав двух корреляций , которые разделяют один и тот же карандаш является перспективностью .

В трех измерениях

В трехмерном проективном пространстве корреляция отображает точку на плоскость . Как сказано в одном учебнике:

Если κ является такой корреляцией, каждая точка P преобразуется ею в плоскость π ′ = κP , и, наоборот, каждая точка P возникает из единственной плоскости π ′ посредством обратного преобразования κ ⁻¹ .

Трехмерные корреляции также преобразуют линии в линии, поэтому их можно рассматривать как коллинеации двух пространств.

В высших измерениях

В общем n- мерном проективном пространстве корреляция переводит точку на гиперплоскость . Этот контекст описал Пол Йель:

Корреляция проективного пространства P ( V ) - это перестановка с обращением включения собственных подпространств в P ( V ).

Он доказывает теорему, утверждающую, что корреляция φ меняет местами соединения и пересечения, и для любого проективного подпространства W в P ( V ) размерность образа W при φ равна ( n - 1) - dim W , где n - размерность из векторного пространства V , используемые для получения проективного пространства P ( V ).

Наличие корреляций

Корреляции могут существовать только в том случае, если пространство самодуально. Для размерностей 3 и выше самодуальность легко проверить: существует координационное тело, а самодуальность не работает тогда и только тогда, когда тело не изоморфно своей противоположности.

Особые виды корреляций

Полярность

Если корреляция φ является инволюцией (то есть два применения корреляции равны тождеству: φ ² ( P ) = P для всех точек P ), то это называется полярностью . Полярности проективных пространств приводят к полярным пространствам , которые определяются путем взятия совокупности всех подпространств, содержащихся в их образе под полярностью.

Естественная корреляция

Между проективным пространством P ( V ) и двойственным ему P ( V ^∗ ) существует естественная корреляция, индуцированная естественным спариванием ⟨⋅, ⋅⟩ между лежащими в основе векторными пространствами V и двойственным ему V ^∗ , где каждое подпространство W в V ^∗ отображается в свое ортогональное дополнение W ^⊥ в V , определенное как W ^⊥ = { v ∈ V | ⟨ Ш , V ⟩ = 0, ∀ ш ∈ W }.

Составление этой естественной корреляции с изоморфизмом проективных пространств, индуцированным полулинейным отображением, дает корреляцию P ( V ) с самим собой. Таким образом, каждое невырожденное полулинейное отображение V → V ^∗ индуцирует корреляцию проективного пространства с самим собой.

использованная литература

• Роберт Дж. Бамкрофт (1969), Современная проективная геометрия , Холт, Райнхарт и Уинстон , корреляции в главе 4.5 с. 90
• Роберт А. Розенбаум (1963), Введение в проективную геометрию и современную алгебру , Addison-Wesley , p. 198