Соединение (расслоенное многообразие) - Connection (fibred manifold)

В дифференциальной геометрии , А расслоенное многообразие есть сюръективны погружение на гладкие многообразия $Y \to X$ . Локально тривиальные расслоенные многообразия являются расслоениями . Таким образом, понятие связности на расслоенных многообразиях дает общий каркас связности на расслоениях.

Формальное определение

Пусть $π$ $:$ $Y$ $\to$ $X$ - расслоенное многообразие. Обобщенный соединение на $Y$ представляет собой сечение $Γ:$ $Y$ $\to J$ $1$ $Y$ , где $J$ $1$ $Y$ представляет собой реактивный коллектор из $Y$ .

Соединение как горизонтальное разделение

С учетом указанных выше многообразия $П$ имеется следующая каноническая короткая точная последовательность из векторных расслоений над $Y$ :

0\to \mathrm {V} Y\to \mathrm {T} Y\to Y\times _{X}\mathrm {T} X\to 0\,,

( 1 )

где $Т У$ и $Т Х$ являются касательные расслоения на $Y$ , соответственно, $V Y$ представляет собой вертикальное касательное расслоение на $Y$ , а $Y \times Х Т Х$ является индуцированное расслоение на $T X$ на $Y$ .

Соединение на расслоенном многообразие $Y \to X$ определен как линейное расслоение морфизм

\Gamma :Y\times _{X}\mathrm {T} X\to \mathrm {T} Y

( 2 )

над $Y,$ что разбивает точную последовательность 1 . Связь существует всегда.

Иногда эту связность $Γ$ называют связностью Эресмана, поскольку она дает горизонтальное распределение

\mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y

из $Т Y$ и его горизонтального разложения $Т Y = V Y \oplus H Y$ .

При этом под связностью Эресмана также понимается следующая конструкция. Любое соединение $Г$ на расслоенном многообразие $Y \to X$ дает горизонтальный лифт $Г \circ т$ из векторного поля $т$ на $X$ на $Y$ , но потребность не определяет подобный подъем пути в $X$ в $Y$ . Позволять

{\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}

- два гладких пути в $X$ и $Y$ соответственно. Тогда $t \to y (t)$ называется горизонтальным подъемом $x (t),$ если

\pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb {R} \,.

Связность $Γ$ называется связностью Эресмана, если для каждого пути $x ([0,1])$ в $X$ существует его горизонтальный подъем через любую точку $y \in π -1 (x ([0,1]))$ . Расслоенное многообразие является расслоением тогда и только тогда, когда оно допускает такую связность Эресмана.

Связность как касательная форма

Учитывая многообразие расслаивается $Y \to X$ , пусть это будет наделено Атласом расслоенных координат $(х μ, у я)$ , и пусть $Γ$ быть связью на $Y \to X$ . Это однозначно дает горизонтальную касательную однозначную форму

\Gamma =dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\left(x^{\nu },y^{j}\right)\partial _{i}\right)

( 3 )

на $Y,$ который проецируется на каноническую касательно-значную форму ( тавтологическая одноформа или припаянная форма )

\theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }

на $X$ , и наоборот . В этой форме горизонтальное разбиение 2 читается как

\Gamma :\partial _{\mu }\to \partial _{\mu }\rfloor \Gamma =\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\,.

В частности, связность $Γ$ в 3 дает горизонтальный подъем любого векторного поля $τ = τ μ \partial μ$ на $X$ до проецируемого векторного поля

\Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y

на $Y$ .

Связь как вертикально-значная форма

Горизонтальное разбиение 2 точной последовательности 1 определяет соответствующее разбиение двойственной точной последовательности

0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,

где $Т * У$ и $Т * Х$ являются кокасательные пучки из $Y$ , соответственно, и $V * Y \to Y$ представляет собой двойное расслоение к $V Y \to Y$ , называется вертикальное кокасательное расслоение. Это расщепление дается вертикально-значной формой

\Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,

который также представляет собой связность на расслоенном многообразии.

Рассматривая связь как вертикально-значную форму, можно прийти к следующей важной конструкции. Учитывая расслаивающееся многообразие $Y \to X$ , пусть $F : X'\to X$ морфизм и $е * Y \to X'$ индуцированное расслоение на $Y$ по $е$ . Тогда любая связность $Γ$ 3 на $Y \to X$ индуцирует обратную связность

f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}

на $f * Y \to X'$ .

Подключение как секция жиклера

Пусть $J 1 Y$ - струйное многообразие сечений расслоенного многообразия $Y \to X$ с координатами $(x μ, y i, y я μ)$ . Благодаря каноническому вложению

\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,

любая связность $Γ$ 3 на расслоенном многообразии $Y \to X$ представляется глобальным сечением

\Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,

струйного пучка $J 1 Y \to Y$ , и наоборот . Это аффинное расслоение, смоделированное на векторном расслоении.

\left(Y\times _{X}T^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\to Y\,.

( 4 )

Из этого факта вытекают следующие следствия.

Связности на расслоенном многообразии

Y \to X

образуют аффинное пространство, моделируемое на векторном пространстве форм пайки.

\sigma =\sigma _{\mu }^{i}dx^{\mu }\otimes \partial _{i}

( 5 )

на

Y \to X

, т. е. на сечениях векторного расслоения 4 .

Коэффициенты связи подчиняются закону преобразования координат
${\Gamma '}_{\lambda }^{i}={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial {x'}^{\lambda }}}\left(\partial _{\mu }{y'}^{i}+\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}{y'}^{i}\right)\,.$
Каждая связность $Γ$ на расслоенном многообразии $Y \to X$ дает дифференциальный оператор первого порядка
$D_{\Gamma }:\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\mathrm {T} ^{*}X\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\,,\qquad D_{\Gamma }=\left(y_{\lambda }^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
на $Y$ называется ковариантным дифференциалом относительно связности $Γ$ . Если $s : X \to Y$ - секция, его ковариантный дифференциал
$\nabla ^{\Gamma }s=\left(\partial _{\lambda }s^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\circ s\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
и ковариантная производная
$\nabla _{\tau }^{\Gamma }s=\tau \rfloor \nabla ^{\Gamma }s$
вдоль векторного поля $т$ на $X$ определены.

Кривизна и кручение

Для связности $Γ$ 3 на расслоенном многообразии $Y \to X$ ее кривизна определяется как дифференциал Нейенхейса

{\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}

Это горизонтальная двумерная форма на $Y$ с вертикальными значениями .

Учитывая соединение $Г$ 3 и форма пайки $сг$ 5 , А кручения из $Г$ относительно $сг$ определяется как

T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.

Связка основных подключений

Пусть $π : P \to M$ является главным расслоением с группой структуры Ли $G$ . Принципиальная схема соединений на $P$ , как правило , описывается алгебры многозначных соединения одной формы на $P$ . В то же время, главная связность на $P$ является глобальной секцией струи расслоения $J 1 P \to P$ , который является эквивариантным относительно канонического правого действия $G$ в $P$ . Следовательно, он представлен глобальным сечением фактор-расслоения $C = J 1 P / G \to M$ , называемым расслоением главных связностей . Это аффинное расслоение, моделируемое на векторном расслоении $V P / G \to M$ , типичным слоем которого является алгебра Ли $g$ структурной группы $G$ , а $G$ действует присоединенным представлением . Существует каноническое вложение $C$ в фактор-расслоение $T P / G,$ которое также называется расслоением главных связностей .

Для базиса ${e m$ } алгебры Ли группы $G$ на расслоении $C$ заданы координаты расслоения $(x μ, a м μ)$ , а его сечения представлены однозначными векторными формами

A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,

куда

a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

являются знакомые местные формы связности на $М$ .

Отметим , что расслоении $J 1 С$ в $С$ является конфигурационным пространством для Янга-Миллса калибровочной теории . Он допускает каноническое разложение

{\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}

куда

F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

называется силовой формой основной связи.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Коларж, Иван; Михор, Питер; Slovák, Ян (1993). Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) . Springer-Verlag. Архивировано из оригинального (PDF) 30 марта 2017 года . Проверено 28 мая 2013 .
Крупка, Деметра; Янишка, Йозеф (1990). Лекции по дифференциальным инвариантам . Univerzita JE Purkyně v Brně. ISBN 80-210-0165-8.
Сондерс, ди-джей (1989). Геометрия струйных пучков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36948-7.
Mangiarotti, L .; Сарданашвили, Г. (2000). Связи в классической и квантовой теории поля . World Scientific. ISBN 981-02-2013-8.
Сарданашвили Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Слои, многообразия струй и лагранжева теория . Lambert Academic Publishing. arXiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7.

Languages

In other projects