Полный однородный симметричный многочлен - Complete homogeneous symmetric polynomial

В математике , особенно в алгебраической комбинаторике и коммутативной алгебре , полные однородные симметрические многочлены представляют собой особый вид симметричных многочленов . Каждый симметричный многочлен может быть выражен как полиномиальное выражение в полных однородных симметричных многочленах.

Определение

Полный однородный симметричный полином степени $к$ в $п$ переменных $X 1, ..., X п$ , написанном $ч к$ для $к = 0, 1, 2, ...$ , является суммой всех одночленов общей степени $к$ по переменным. Формально,

{\ displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} \ leq i_ {2} \ leq \ cdots \ leq i_ {k} \ leq n} X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {k}}.}

Формулу также можно записать как:

{\ displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) = \ sum _ {l_ {1} + l_ {2} + \ cdots + l_ {n} = k \ atop l_ {i} \ geq 0} X_ {1} ^ {l_ {1}} X_ {2} ^ {l_ {2}} \ cdots X_ {n} ^ {l_ {n}}.}

В самом деле, $l p$ - это просто кратность $p$ в последовательности $i k$ .

Первые несколько из этих многочленов

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {0} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = 1, \\ [10px] h_ {1} (X_ {1} , X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j \ leq n} X_ {j}, \\ h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j \ leq k \ leq n} X_ {j} X_ {k}, \\ h_ {3} (X_ {1}, X_ {2} , \ dots, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j \ leq k \ leq l \ leq n} X_ {j} X_ {k} X_ {l}. \ end {align}}}

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа $к$ , существует ровно один полный однородный симметричный полином степени $к$ в $п$ переменных.

Другой способ переписать определение - провести суммирование по всем последовательностям $i k$ без условия упорядочения $i p \leq i p + 1$ :

{\ displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k } \ leq n} {\ frac {m_ {1}! m_ {2}! \ cdots m_ {n}!} {k!}} X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ { i_ {k}},}

здесь $m p$ - кратность числа $p$ в последовательности $i k$ .

Например

{\ displaystyle h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) = {\ frac {2! 0!} {2!}} X_ {1} ^ {2} + {\ frac {1! 1! } {2!}} X_ {1} X_ {2} + {\ frac {1! 1!} {2!}} X_ {2} X_ {1} + {\ frac {0! 2!} {2! }} X_ {2} ^ {2} = X_ {1} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} + X_ {2} ^ {2}.}

Кольцо многочленов , образованное принимать все целые линейные комбинации произведений полных однородных симметрических многочленов коммутативного кольцо.

Примеры

Ниже перечислены $n$ основных (как объяснено ниже) полных однородных симметричных многочленов для первых трех положительных значений $n$ .

Для $n = 1$ :

{\ displaystyle h_ {1} (X_ {1}) = X_ {1} \ ,.}

Для $n = 2$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) & = X_ {1} + X_ {2} \\ h_ {2} (X_ {1}, X_ {2 }) & = X_ {1} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} + X_ {2} ^ {2}. \ End {align}}}

Для $n = 3$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} \\ h_ {2 } (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} + X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} + X_ {1} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} \\ h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} ^ {2} X_ {1} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {3} ^ {2} X_ {1} + X_ {3} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} X_ {3}. \ End {align}}}

Характеристики

Производящая функция

Полные однородные симметрические полиномы характеризуются следующим тождеством формальных степенных рядов по $t$ :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} (X_ {i} t) ^ {j} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {1-X_ { Это}}}

(это называется производящей функцией или производящим рядом для полных однородных симметрических многочленов). Здесь каждая дробь в окончательном выражении является обычным способом представления формального геометрического ряда, который является фактором в среднем выражении. Тождество можно обосновать, рассмотрев, как формируется произведение этих геометрических рядов: каждый множитель в произведении получается путем умножения одного члена, выбранного из каждого геометрического ряда, и каждый моном от переменных $X i$ получается ровно для одного такого выбора. членов и умножается на степень $t,$ равную степени одночлена.

Приведенную выше формулу можно рассматривать как частный случай основной теоремы Мак-Магона . Правую часть можно интерпретировать как где и . В левой части можно идентифицировать полные однородные симметричные полиномы как частные случаи полиномиального коэффициента, который появляется в выражении Мак-Магона. ${\ Displaystyle 1 / \ det (1-тМ)}$ ${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle M = {\ text {diag}} (X_ {1}, \ ldots, X_ {N})}$

Связь с элементарными симметричными многочленами

Между элементарными симметричными многочленами и полными однородными существует фундаментальная связь :

{\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {m} (- 1) ^ {i} e_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) h_ {mi} (X_ {1} , \ ldots, X_ {n}) = 0,}

что справедливо для всех $m > 0$ и любого числа переменных $n$ . Самый простой способ убедиться в его справедливости - это тождество формальных степенных рядов по $t$ для элементарных симметричных многочленов, аналогичное приведенному выше для полных однородных многочленов:

{\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} e_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) (- t) ^ {k} = \ prod _ {я = 1 } ^ {n} (1-X_ {i} t)}

(на самом деле это тождество многочленов от $t$ , потому что после $e n (X 1,\dots, X n)$ элементарные симметричные многочлены становятся равными нулю). Умножая это на производящую функцию для полных однородных симметричных многочленов, мы получаем постоянный ряд 1, а соотношение между элементарными и полными однородными многочленами следует из сравнения коэффициентов $t m$ . Несколько более прямой способ понять это соотношение - рассмотреть вклады в суммирование с участием фиксированного монома $X α$ степени $m$ . Для любого подмножества $S$ переменных, появляющихся с ненулевым показателем в мономе, существует вклад, включающий произведение $X S$ этих переменных как член из $e s (X 1, ..., X n)$ , где $s = # S$ , и одночлен $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} X α/X S$ из $h m - s (X 1,\dots, X n)$ ; этот вклад имеет коэффициент $(-1) s$ . Тогда соотношение следует из того, что

{\ displaystyle \ sum _ {s = 0} ^ {l} {\ binom {l} {s}} (- 1) ^ {s} = (1-1) ^ {l} = 0 \ quad {\ mbox {for}} l> 0,}

по биномиальной формуле , где $l < m$ обозначает количество различных переменных, встречающихся (с ненулевым показателем) в $X α$ . Поскольку $e 0 (X 1,\dots, X n)$ и $h 0 (X 1,\dots, X n)$ оба равны 1, можно выделить из отношения либо первый, либо последний члены суммирования. Первый дает последовательность уравнений:

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\ h_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots , X_ {n}) - e_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\ h_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = h_ { 2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) - h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ { n}) e_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + e_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\\ конец {выровнено}}}

и так далее, что позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметрические многочлены через элементарные симметричные многочлены; последний дает систему уравнений

{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\ e_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots , X_ {n}) - h_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\ e_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = h_ { 1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) - h_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ { n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + h_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \\\ конец {выровнено}}}

и так далее, что позволяет делать обратное. Первые $n$ элементарных и полных однородных симметрических многочленов играют совершенно одинаковые роли в этих отношениях, даже если первые многочлены затем становятся равными нулю, а вторые - нет. Это явление можно понять в контексте кольца симметричных функций . Он имеет кольцевой автоморфизм, который меняет местами последовательности $n$ элементарных и первых $n$ полных однородных симметрических функций .

Множество полных однородных симметрических полиномов степени 1 к $п$ в $п$ переменных формирует на кольцо из симметричных полиномов в $п$ переменных. В частности, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно целочисленному кольцу многочленов

{\ displaystyle \ mathbb {Z} {\ big [} h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \ ldots, h_ {n} (X_ {1}, \ ldots, X_ { n}) {\ big]}.}

Это можно сформулировать, сказав, что

{\ displaystyle h_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \ ldots, h_ {n} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}

образуют базис трансцендентности кольца симметричных многочленов от $X 1,\dots, X n$ с целыми коэффициентами (как и для элементарных симметричных многочленов). То же самое верно с кольцом $ℤ$ целых чисел заменить любым другим коммутативным кольцом . Эти утверждения следуют из аналогичных утверждений для элементарных симметричных многочленов из-за указанной возможности выражения любого вида симметричных многочленов через другой вид.

Связь с числами Стирлинга

Вычисление целых чисел полных однородных многочленов и элементарных симметричных многочленов связано с числами Стирлинга :

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {n} (1,2, \ ldots, k) & = \ left \ {{\ begin {matrix} n + k \\ k \ end {matrix}} \ right \ } \\ e_ {n} (1,2, \ ldots, k) & = \ left [{k + 1 \ atop k + 1-n} \ right] \\\ конец {выровнено}}}

Связь с мономиальными симметричными многочленами

Полином $ч к (Х 1, ..., Х п)$ также сумма всех отдельных мономиальных симметричных полиномов степени $к$ в $X 1, ..., X п$ , например ,

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = m _ {(3)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ { 3}) + m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) + m _ {(1,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) \\ & = \ left (X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3} \ right) + \ left (X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2 } ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} \ right) + (X_ {1} X_ {2} X_ {3}). \\\ конец {выровнено}}}

Связь с суммами мощности

Тождества Ньютона для однородных симметричных многочленов дают простую рекурсивную формулу

{\ displaystyle kh_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} h_ {ki} p_ {i},}

где и p _k - сумма k -й степени: ${\ displaystyle h_ {k} = h_ {k} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x_ {n} ^ {k}.}$

Для маленьких у нас есть ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle {\ begin {align} h_ {1} & = p_ {1}, \\ 2h_ {2} & = h_ {1} p_ {1} + p_ {2}, \\ 3h_ {3} & = h_ {2} p_ {1} + h_ {1} p_ {2} + p_ {3}. \\\ конец {выровнено}}}

Связь с симметричными тензорами

Рассмотрим $n$ -мерное векторное пространство $V$ и линейный оператор $M : V \to V$ с собственными значениями $X 1, X 2,\dots, X n$ . Обозначим через $Sym k (V)$ его $k-$ ю симметричную тензорную степень, а через $M Sym (k)$ - индуцированный оператор $Sym k (V) \to Sym k (V)$ .

Предложение:

{\ displaystyle \ operatorname {Trace} _ {\ operatorname {Sym} ^ {k} (V)} \ left (M ^ {\ operatorname {Sym} (k)} \ right) = h_ {k} (X_ {1 }, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}).}

Доказательство легко: Рассмотрим собственный базис $е я$ для $М$ . Базис в $Sym k (V)$ может быть проиндексирован последовательностями $i 1 \leq i 2 \leq\dots \leq i k$ , действительно, рассмотрим симметризации

{\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ otimes e_ {i_ {2}} \ otimes \ ldots \ otimes e_ {i_ {k}}}

.

Все такие векторы являются собственными векторами для $M Sym (k)$ с собственными значениями

{\ Displaystyle X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {k}},}

следовательно, это предложение верно.

Аналогичным образом можно выразить элементарные симметричные полиномы через следы над антисимметричными тензорными степенями. Оба выражения включены в выражения многочленов Шура как следы над функторами Шура , которые можно рассматривать как формулу характера Вейля для $GL (V)$ .

Смотрите также

использованная литература

Макдональд И.Г. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press.
Макдональд И.Г. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла , второе изд. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998).
Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика , Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1

Languages

In other projects