Конечность - Cofiniteness

В математике , А коконечно подмножество из множества X является подмножество которого дополнение в X представляет собой конечное множество . Другими словами, A содержит все элементы X, кроме конечного числа . Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество сосчитаемо .

Они возникают естественным образом при обобщении структур на конечных множествах до бесконечных множеств, в частности, на бесконечных произведениях, как в топологии произведения или прямой сумме .

Булевы алгебры

Множество всех конечных или кофинитных подмножеств X образует булеву алгебру , т. Е. Замкнуто относительно операций объединения , пересечения и дополнения. Эта Булева алгебра является конечно-коконечна алгеброй на X . Булева алгебра имеет уникальный неглавный ультрафильтр (т.е. максимального фильтр не порождается одним элементом алгебры) , если и только если существует бесконечное множество Х такие , что изоморфно конечной-коконечна алгебра на X . В этом случае неглавный ультрафильтр - это совокупность всех конфинитных множеств.

Конечная топология

Коконечен топология (иногда называется конечная топология дополнения ) является топология , которая может быть определена на каждом множестве X . Он имеет точно пустое множество и все коконечны подмножества из X в качестве открытых множеств. Как следствие, в коконечене топологии, то только замкнутые подмножества конечные множества, или все X . Символически топологию записывают как

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = \ {A \ substeq X \ mid A = \ varnothing {\ mbox {или}} X \ setminus A {\ mbox {конечно}} \}}

Эта топология естественно возникает в контексте топологии Зарисского . Поскольку многочлены от одной переменной над полем K равны нулю на конечных множествах или на всем K , топология Зарисского на K (рассматриваемая как аффинная прямая ) является кофинитной топологией. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой ; это неверно, например, для XY = 0 на плоскости.

Свойства

Подпространства: каждая топология подпространства конфинитной топологии также является конфинитной топологией.
Компактность: Поскольку каждое открытое множество содержит все , кроме конечного числа точек X , пространство X является компактным и последовательно компактным .
Разделение: кофинитная топология - это грубейшая топология, удовлетворяющая аксиоме T ₁ ; т.е. это наименьшая топология, для которой замкнуто каждое единичное множество . Фактически, произвольная топология на X удовлетворяет аксиоме T ₁ тогда и только тогда, когда она содержит конфинитную топологию. Если X конечно, то конфинитная топология - это просто дискретная топология . Если X не конечно, то эта топология не является T ₂ , регулярной или нормальной , так как никакие два непустых открытых множества не пересекаются (т. Е. Гиперсвязны ).

Двусторонняя кофинитная топология

Топология обоюдоострого коконечена является коконечна топологией с каждой точкой в два раз; то есть это топологическое произведение кофинитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Это не T ₀ или T ₁ , поскольку точки дублета топологически неразличимы . Однако это R _0, поскольку топологически различимые точки отделимы.

Примером счетной двусторонней кофинитной топологии является набор четных и нечетных целых чисел с топологией, которая группирует их вместе. Пусть X множество целых чисел, и пусть О _А подмножество целых чисел, дополнение есть множество . Определите подбазу открытых множеств G _x для любого целого x как G _x = O _{_x_,_x_+1}, если x - четное число , и G _x = O _{_x_-1,_x_}, если x нечетное. Тогда базисные множества X порождаются конечными пересечениями, то есть для конечного A открытые множества топологии равны

{\ Displaystyle U_ {A}: = \ bigcap _ {x \ in A} G_ {x}}

Результирующее пространство не является T ₀ (и, следовательно, не T ₁ ), потому что точки x и x + 1 (для четного x ) топологически неразличимы. Однако это пространство является компактным пространством , поскольку каждое U _A содержит все точки, кроме конечного.

Другие примеры

Топология продукта

Топология произведения на произведение топологических пространств имеет базу , где открыта, и cofinitely много . ${\ displaystyle \ prod X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod U_ {i}}$ ${\ Displaystyle U_ {я} \ substeq X_ {я}}$ ${\ displaystyle U_ {i} = X_ {i}}$

Аналогом (не требующим, чтобы все пространство было бесконечным множеством) является топология коробки .

Прямая сумма

Элементы прямой суммы модулей - это бесконечные последовательности . ${\ displaystyle \ bigoplus M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in M_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ альфа _ {я} = 0}$