Теорема Картана – Дьедонне - Cartan–Dieudonné theorem
В математике , то теорема Картана-Dieudonné , названный в честь Эли Картана и Жана Дьедонне , устанавливает , что каждый ортогональное преобразование в п - мерном симметричная билинейная пространстве можно описать как композиции , самое большее п отражений .
Понятие симметричного билинейного пространства является обобщением евклидова пространства , структура которого определяется симметричной билинейной формой (которая не обязательно должна быть положительно определенной , поэтому не обязательно является внутренним продуктом - например, псевдоевклидово пространство также является симметричным билинейное пространство). Ортогональные преобразования в пространстве - это те автоморфизмы, которые сохраняют значение билинейной формы между каждой парой векторов; в евклидовом пространстве это соответствует сохранению расстояний и углов . Эти ортогональные преобразования образуют группу по композиции, называемую ортогональной группой .
Например, в двумерной евклидовой плоскости каждое ортогональное преобразование является либо отражением поперек линии, проходящей через начало координат, либо вращением вокруг начала координат (что может быть записано как композиция двух отражений). Любую произвольную композицию таких поворотов и отражений можно переписать как композицию не более чем из 2-х отражений. Точно так же в трехмерном евклидовом пространстве каждое ортогональное преобразование можно описать как одиночное отражение, вращение (2 отражения) или неправильное вращение (3 отражения). В четырех измерениях добавлены двойные вращения , которые представляют 4 отражения.
Официальное заявление
Пусть ( V , b ) - n- мерное невырожденное симметричное билинейное пространство над полем с характеристикой, не равной 2. Тогда каждый элемент ортогональной группы O ( V , b ) является композицией не более чем n отражений. .
Смотрите также
Рекомендации
- Галлье, Жан Х. (2001). Геометрические методы и приложения . Тексты по прикладной математике. 38 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-95044-3 . Zbl 1031.53001 .
- Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext. Springer-Verlag . ISBN 3-540-20493-8 . Zbl 1068.53001 .
- Гарлинг, DJH (2011). Алгебры Клиффорда: Введение . Тексты студентов Лондонского математического общества. 78 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-10742219-3 . Zbl 1235.15025 .
- Лам, TY (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2 . Zbl 1068.11023 .
 |
Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |