Полиномы Белла - Bell polynomials

В комбинаторной математике , то полиномы Белла , названные в честь Эрик Темпл Белл , используются при изучении разбиений множества. Они связаны с числами Стирлинга и Белла . Они также встречаются во многих приложениях, например, в формуле Фаа ди Бруно .

Полиномы Белла

Экспоненциальные полиномы Белла

В частичных или неполном экспоненциальных полиномах Беллы являются треугольным массивом полиномов , заданных

${\ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n-k + 1}) = \ сумма {п! \ over j_ {1}! j_ {2}! \ cdots j_ {n-k + 1}!} \ left ({x_ {1} \ over 1!} \ right) ^ {j_ {1}} \ left ( {x_ {2} \ over 2!} \ right) ^ {j_ {2}} \ cdots \ left ({x_ {n-k + 1} \ over (n-k + 1)!} \ right) ^ { j_ {n-k + 1}},}$

где сумма берется по всем последовательностям j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n - k +1} неотрицательных целых чисел, таких, что выполняются эти два условия:

${\ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + \ cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${\ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + \ cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Сумма

${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2} , \ точки, x_ {n-k + 1})}$

называется n- м полным экспоненциальным многочленом Белла .

Обыкновенные полиномы Белла

Точно так же частичный обычный многочлен Белла, в отличие от обычного экспоненциального многочлена Белла, определенного выше, имеет вид

${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) = \ sum {\ frac {k!} { j_ {1}! j_ {2}! \ cdots j_ {n-k + 1}!}} x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} \ cdots x_ {n -k + 1} ^ {j_ {n-k + 1}},}$

где сумма проходит по всем последовательностям j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n - k +1} неотрицательных целых чисел, таких что

${\ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + \ cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${\ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + \ cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Обычные полиномы Белла можно выразить через экспоненциальные полиномы Белла:

${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) = {\ frac {k!} {n! }} B_ {n, k} (1! \ Cdot x_ {1}, 2! \ Cdot x_ {2}, \ ldots, (n-k + 1)! \ Cdot x_ {n-k + 1}). }$

В общем, многочлен Белла относится к экспоненциальному многочлену Белла, если явно не указано иное.

Комбинаторное значение

Экспоненциальный полином Белла кодирует информацию, относящуюся к способам разделения множества. Например, если мы рассмотрим набор {A, B, C}, его можно разделить на два непустых, неперекрывающихся подмножества, которые также называются частями или блоками, тремя разными способами:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Таким образом, мы можем закодировать информацию об этих разделах как

${\ displaystyle B_ {3,2} (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} x_ {2}.}$

Здесь индексы B _3,2 говорят нам, что мы рассматриваем разбиение набора с 3 элементами на 2 блока. Нижний индекс каждого x _i указывает на наличие блока с i элементами (или блока размера i ) в данном разделе. Итак, здесь x ₂ указывает на наличие блока с двумя элементами. Точно так же x ₁ указывает на наличие блока с одним элементом. Показатель степени x _i ^j указывает, что в одном разделе находится j таких блоков размера i . Здесь, поскольку и x _1, и x ₂ имеют показатель степени 1, это указывает на то, что в данном разделе есть только один такой блок. Коэффициент при одночлене показывает, сколько существует таких разбиений. В нашем случае есть 3 раздела набора с 3 элементами на 2 блока, где в каждом разделе элементы разделены на два блока размером 1 и 2.

Поскольку любой набор можно разделить на один блок только одним способом, приведенная выше интерпретация будет означать, что B _{n , 1} = x _n . Точно так же, поскольку существует только один способ разделить набор из n элементов на n одиночных элементов , B _{n , n} = x ₁ ⁿ .

В качестве более сложного примера рассмотрим

${\ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}.}$

Это говорит нам о том, что если набор из 6 элементов разделен на 2 блока, то у нас может быть 6 разделов с блоками размера 1 и 5, 15 разделов с блоками размера 4 и 2 и 10 разделов с 2 блоками размера 3.

Сумма индексов в одночлене равна общему количеству элементов. Таким образом, количество одночленов, которые появляются в частичном многочлене Белла, равно количеству способов, которыми целое число n может быть выражено как сумма k натуральных чисел. Это то же самое , как целый раздел из п в K части. Например, в приведенных выше примерах целое число 3 можно разделить на две части только как 2 + 1. Таким образом, в B _3,2 есть только один моном . Однако целое число 6 можно разделить на две части: 5 + 1, 4 + 2 и 3 + 3. Таким образом, в B _6,2 три одночлена . Действительно, индексы переменных в одночлене такие же, как и в целочисленном разбиении, что указывает на размеры различных блоков. Таким образом, общее количество одночленов, входящих в полный многочлен Белла B _n, равно общему количеству целых разбиений числа  n .

Кроме того, степень каждого монома, которая является суммой показателей каждой переменной в мономе, равна количеству блоков, на которые разделен набор. То есть j ₁ + j ₂ + ... = k . Таким образом, имея полный многочлен Белла B _n , мы можем отделить частичный многочлен Белла B _{n, k} , собрав все эти одночлены степени k .

Наконец, если мы пренебрегаем размерами блоков и положим все x _i = x , то суммирование коэффициентов частичного полинома Белла B _{n , k} даст общее количество способов, которыми набор из n элементов может быть разбит на k блоков, что совпадает с числами Стирлинга второго рода . Кроме того, суммирование всех коэффициентов полного полинома Белла B _n даст нам общее количество способов, которыми набор из n элементов может быть разбит на неперекрывающиеся подмножества, что совпадает с числом Белла.

В общем случае , если число п является распределяло в сумму , в которой появляется «1» ямайские ₁ раз, появляется «2» ямайские ₂ раза, и так далее, то количество разбиений множества размера п , что коллапс в этот раздел целого числа n, когда элементы множества становятся неразличимыми, является соответствующим коэффициентом в полиноме.

Примеры

Например, у нас есть

${\ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}$

потому что способы разбить набор из 6 элементов на 2 блока

6 способов разделить набор из 6 на 5 + 1,

15 способов разделить набор из 6 на 4 + 2 и

10 способов разделить набор из 6 на 3 + 3.

Сходным образом,

${\ displaystyle B_ {6,3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ { 2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}}$

потому что способы разбить набор из 6 элементов на 3 блока

15 способов разбить набор из 6 на 4 + 1 + 1,

60 способов разделить набор из 6 на 3 + 2 + 1, и

15 способов разделить набор из 6 на 2 + 2 + 2.

Характеристики

Производящая функция

Экспоненциальные частичные полиномы Белла могут быть определены двойным разложением его производящей функции в ряд:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (t, u) & = \ exp \ left (u \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} {\ frac {t ^ {j}) } {j!}} \ right) = \ sum _ {n \ geq k \ geq 0} B_ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) {\ frac { t ^ {n}} {n!}} u ^ {k} \\ & = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} u ^ {k} B_ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}). \ end {выравнивается}}}$

Другими словами, тем, что составляет то же самое, разложением в ряд k -й степени:

${\ displaystyle {\ frac {1} {k!}} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} {\ frac {t ^ {j}} {j!}} \ справа) ^ {k} = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} B_ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}, \ qquad k = 0,1,2, \ ldots}$

Полный экспоненциальный полином Белла определяется или другими словами: ${\ Displaystyle \ Phi (т, 1)}$

${\ displaystyle \ Phi (t, 1) = \ exp \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} {\ frac {t ^ {j}} {j!}} \ right ) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Таким образом, n-й полный многочлен Белла имеет вид

${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ left. \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) ^ {n} \ exp \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} {\ frac {t ^ {j}} {j!}} \ right) \ right | _ {t = 0}.}$

Точно так же обычный частичный многочлен Белла может быть определен производящей функцией

${\ displaystyle {\ hat {\ Phi}} (t, u) = \ exp \ left (u \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} t ^ {j} \ right) = \ сумма _ {n \ geq k \ geq 0} {\ hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n} {\ frac {u ^ {k}} {k!}}.}$

Или, что то же самое, разложением в ряд k -й степени:

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j} t ^ {j} \ right) ^ {k} = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} { \ hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n}.}$

См. Также преобразования производящей функции для разложения производящей функции полинома Белла композиций производящих функций и степеней последовательностей , логарифмов и экспонент производящей функции последовательности. Каждая из этих формул цитируется в соответствующих разделах Comtet.

Повторяющиеся отношения

Полные многочлены Белла рекуррентно можно определить как

${\ displaystyle B_ {n + 1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ select i} B_ {ni} (x_ {1}, \ ldots, x_ {ni}) x_ {i + 1}}$

с начальным значением . ${\ displaystyle B_ {0} = 1}$

Частичные полиномы Белла также можно эффективно вычислить с помощью рекуррентного соотношения:

${\ Displaystyle B_ {n, k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-k + 1} {\ binom {n-1} {i-1}} x_ {i} B_ {ni, k- 1},}$

куда

${\ Displaystyle B_ {0,0} = 1;}$

${\ displaystyle B_ {n, 0} = 0 {\ text {for}} n \ geq 1;}$

${\ displaystyle B_ {0, k} = 0 {\ text {for}} k \ geq 1.}$

Полные многочлены Белла также удовлетворяют следующей рекуррентной дифференциальной формуле:

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = {\ frac {1} {n-1}} \ left [\ sum _ {i = 2 } ^ {n} \ right. & \ sum _ {j = 1} ^ {i-1} (i-1) {\ binom {i-2} {j-1}} x_ {j} x_ {ij} {\ frac {\ partial B_ {n-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1})} {\ partial x_ {i-1}}} \\ [5pt] & \ left. { } + \ sum _ {i = 2} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {i-1} {\ frac {x_ {i + 1}} {\ binom {i} {j}}} {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {n-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1})} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {ij}}} \ right . \\ [5pt] & \ left. {} + \ Sum _ {i = 2} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ partial B_ {n-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1})} {\ partial x_ {i-1}}} \ right]. \ end {выравнивается}}}$

Производные

Частные производные частных многочленов Белла задаются формулами

${\ displaystyle {\ frac {\ partial B_ {n, k}} {\ partial x_ {i}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}) = {\ binom {n} {i}} B_ {ni, k-1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {ni-k + 2}).}$

Точно так же частные производные полных многочленов Белла задаются формулами

${\ displaystyle {\ frac {\ partial B_ {n}} {\ partial x_ {i}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = {\ binom {n} {i}} B_ { ni} (x_ {1}, \ ldots, x_ {ni}).}$

Если аргументы полиномов Белла являются одномерными функциями, цепное правило можно использовать для получения полезной формулы.

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (B_ {n, k} (a_ {1} (x), \ cdots, a_ {n-k + 1} (x)) \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n-k + 1} {\ binom {n} {i}} a_ {i} '(x) B_ {ni, k-1} (a_ {1} (x) , \ cdots, a_ {ni-k + 2} (x)).}$

Детерминантные формы

Полный полином Белла можно выразить в виде определителей :

${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {bmatrix} x_ {1} & {n-1 \ choose 1} x_ {2} & {n -1 \ choose 2} x_ {3} & {n-1 \ choose 3} x_ {4} & \ cdots & \ cdots & x_ {n} \\\\ - 1 & x_ {1} & {n-2 \ choose 1 } x_ {2} & {n-2 \ choose 2} x_ {3} & \ cdots & \ cdots & x_ {n-1} \\\\ 0 & -1 & x_ {1} & {n-3 \ choose 1} x_ {2} & \ cdots & \ cdots & x_ {n-2} \\\\ 0 & 0 & -1 & x_ {1} & \ cdots & \ cdots & x_ {n-3} \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & \ cdots & \ cdots & x_ {n-4} \\\\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & -1 & x_ {1} \ end {bmatrix}}}$

а также

${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {x_ {1}} {0!}} & {\ frac {x_ {2}} {1!}} & {\ Frac {x_ {3}} {2!}} & {\ Frac {x_ {4}} {3!}} & \ Cdots & \ cdots & {\ frac { x_ {n}} {(n-1)!}} \\\\ - 1 & {\ frac {x_ {1}} {0!}} & {\ frac {x_ {2}} {1!}} & {\ frac {x_ {3}} {2!}} & \ cdots & \ cdots & {\ frac {x_ {n-1}} {(n-2)!}} \\\\ 0 & -2 & {\ frac {x_ {1}} {0!}} & {\ frac {x_ {2}} {1!}} & \ cdots & \ cdots & {\ frac {x_ {n-2}} {(n-3 )!}} \\\\ 0 & 0 & -3 & {\ frac {x_ {1}} {0!}} & \ Cdots & \ cdots & {\ frac {x_ {n-3}} {(n-4)! }} \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & \ cdots & \ cdots & {\ frac {x_ {n-4}} {(n-5)!}} \\\\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & - (n-1) & {\ frac {x_ {1}} {0!}} \ end {bmatrix}}.}$

Числа Стирлинга и числа Белла

Значение полинома Белла B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ , ...) в последовательности факториалов равно беззнаковому числу Стирлинга первого рода :

${\ Displaystyle B_ {n, k} (0!, 1!, \ точки, (nk)!) = c (n, k) = | s (n, k) | = \ left [{n \ на вершине k} \Правильно].}$

Сумма этих значений дает значение полного полинома Белла на последовательности факториалов:

${\ displaystyle B_ {n} (0!, 1!, \ точки, (n-1)!) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (0!, 1 !, \ точки, (nk)!) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{n \ atop k} \ right] = n !.}$

Значение полинома Белла B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ , ...) на последовательности единиц равно числу Стирлинга второго рода :

${\ Displaystyle B_ {n, k} (1,1, \ точки, 1) = S (n, k) = \ left \ {{n \ atop k} \ right \}.}$

Сумма этих значений дает значение полного полинома Белла от последовательности единиц:

${\ displaystyle B_ {n} (1,1, \ dots, 1) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (1,1, \ dots, 1) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left \ {{n \ atop k} \ right \},}$

который является n- м числом Белла .

Обратные отношения

Если мы определим

${\ displaystyle y_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-k + 1}),}$

тогда у нас есть обратная зависимость

${\ displaystyle x_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (y_ {1}, \ ldots , y_ {n-k + 1}).}$

Полиномы Тушара

Многочлен Тушара может быть выражен как значение полного многочлена Белла для всех аргументов, являющихся x : ${\ displaystyle T_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left \ {{n \ atop k} \ right \} \ cdot x ^ {k}}$

${\ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, \ dots, x).}$

Сверточная идентичность

Для последовательностей x _n , y _n , n = 1, 2, ... определите свертку следующим образом:

${\ displaystyle (x {\ mathbin {\ diamondsuit}} y) _ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {n \ choose j} x_ {j} y_ {nj}.}$

Границы суммирования равны 1 и n  - 1, а не 0 и n .

Пусть будет n- м членом последовательности ${\ Displaystyle х_ {п} ^ {к \ алмазный костюм} \,}$

${\ displaystyle \ displaystyle \ underbrace {x {\ mathbin {\ diamondsuit}} \ cdots {\ mathbin {\ diamondsuit}} x} _ {k {\ text {факторы}}}. \,}$

потом

${\ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, \ dots, x_ {n-k + 1}) = {x_ {n} ^ {k \ diamondsuit} \ over k!}. \,}$

Например, давайте посчитаем . У нас есть ${\ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ Displaystyle х = (x_ {1} \, \ x_ {2} \, \ x_ {3} \, \ x_ {4} \, \ точки)}$

${\ displaystyle x {\ mathbin {\ diamondsuit}} x = (0, \ 2x_ {1} ^ {2} \, \ 6x_ {1} x_ {2} \, \ 8x_ {1} x_ {3} + 6x_ {2} ^ {2} \, \ точки)}$

${\ displaystyle x {\ mathbin {\ diamondsuit}} x {\ mathbin {\ diamondsuit}} x = (0 \, \ 0 \, \ 6x_ {1} ^ {3} \, \ 36x_ {1} ^ {2 } x_ {2} \, \ точки)}$

и поэтому,

${\ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2}) = {\ frac {(x {\ mathbin {\ diamondsuit}} x {\ mathbin {\ diamondsuit}} x) _ {4} } {3!}} = 6x_ {1} ^ {2} x_ {2}.}$

Другие личности

• ${\ displaystyle B_ {n, k} (1!, 2!, \ ldots, (n-k + 1)!) = {\ binom {n-1} {k-1}} {\ frac {n!} {k!}} = L (n, k)}$что дает число Ла .
• ${\ displaystyle B_ {n, k} (1,2,3, \ ldots, n-k + 1) = {\ binom {n} {k}} k ^ {nk}}$что дает идемпотентное число .
• ${\ Displaystyle B_ {n, k} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, \ ldots, (- 1) ^ {nk} x_ {n-k + 1}) = (- 1) ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots, x_ {n-k + 1})}$и .${\ displaystyle B_ {n} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, \ ldots, (- 1) ^ {n-1} x_ {n}) = (- 1) ^ { n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots, x_ {n})}$
• Полные многочлены Белла удовлетворяют соотношению биномиального типа:

  ${\ displaystyle B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n}) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} B_ {ni} (x_ {1}, \ ldots, x_ {ni}) B_ {i} (y_ {1}, \ ldots, y_ {i}),}$

  ${\ displaystyle B_ {n, k} {\ Bigl (} {\ frac {x_ {q + 1}} {\ binom {q + 1} {q}}}, {\ frac {x_ {q + 2}}) {\ binom {q + 2} {q}}}, \ ldots {\ Bigr)} = {\ frac {n! (q!) ^ {k}} {(n + qk)!}} B_ {n + qk, k} (\ ldots, 0,0, x_ {q + 1}, x_ {q + 2}, \ ldots).}$

Это исправляет отсутствие фактора в книге Конте.${\ Displaystyle (д!) ^ {к}}$

• Когда ,${\ Displaystyle 1 \ Leq а <п}$

${\ displaystyle B_ {n, na} (x_ {1}, \ ldots, x_ {a + 1}) = \ sum _ {j = a + 1} ^ {2a} {\ frac {j!} {a! }} {\ binom {n} {j}} (x_ {1}) ^ {nj} B_ {a, ja} {\ Bigl (} {\ frac {x_ {2}} {2}}, {\ frac {x_ {3}} {3}}, \ ldots, {\ frac {x_ {2 (a + 1) -j}} {2 (a + 1) -j}} {\ Bigr)}.}.$

• Частные случаи частичных полиномов Белла:

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n, 1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = {} & x_ {n} \\ [8pt] B_ {n, 2} (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n-1}) = {} & {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} {\ binom {n} {k} } x_ {k} x_ {nk} \\ [8pt] B_ {n, n} (x_ {1}) = {} & (x_ {1}) ^ {n} \\ [8pt] B_ {n, n -1} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & {\ binom {n} {2}} (x_ {1}) ^ {n-2} x_ {2} \\ [8pt] B_ {n, n-2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} & {\ binom {n} {3}} (x_ {1}) ^ {n-3} x_ {3} +3 {\ binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} (x_ {2}) ^ {2} \\ [8pt] B_ {n, n-3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & {\ binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} x_ {4 } +10 {\ binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {2} x_ {3} +15 {\ binom {n} {6}} (x_ {1} ) ^ {n-6} (x_ {2}) ^ {3} \\ [8pt] B_ {n, n-4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} , x_ {5}) = {} & {\ binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {5} +5 {\ binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} {\ bigl [} 3x_ {2} x_ {4} +2 (x_ {3}) ^ {2} {\ bigr]} + 105 {\ binom {n} {7 }} (x_ {1}) ^ {n-7} (x_ {2}) ^ {2} x_ {3} \\ {} & {} + 105 {\ binom {n} {8}} (x_ { 1}) ^ {n-8} (x_ {2}) ^ {4}. \ End {align}}}$

Примеры

Первые несколько полных полиномов Белла:

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {0} = {} & 1, \\ [8pt] B_ {1} (x_ {1}) = {} & x_ {1}, \\ [8pt] B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & x_ {1} ^ {2} + x_ {2}, \\ [8pt] B_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3}) = {} & x_ {1} ^ {3} + 3x_ {1} x_ {2} + x_ {3}, \\ [8pt] B_ {4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & x_ {1} ^ {4} + 6x_ {1} ^ {2} x_ {2} + 4x_ {1} x_ {3} + 3x_ {2} ^ {2 } + x_ {4}, \\ [8pt] B_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} & x_ {1} ^ {5} + 10x_ {2} x_ {1} ^ {3} + 15x_ {2} ^ {2} x_ {1} + 10x_ {3} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} x_ {2 } + 5x_ {4} x_ {1} + x_ {5} \\ [8pt] B_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) = {} & x_ {1} ^ {6} + 15x_ {2} x_ {1} ^ {4} + 20x_ {3} x_ {1} ^ {3} + 45x_ {2} ^ {2 } x_ {1} ^ {2} + 15x_ {2} ^ {3} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} \\ & {} + 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} ^ {2} + 15x_ {4} x_ {2} + 6x_ {5} x_ {1} + x_ {6}, \\ [8pt] B_ {7} (x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {7}) = {} & x_ {1} ^ {7} + 21x_ {1} ^ {5} x_ {2 } + 35x_ {1} ^ {4} x_ {3} + 105x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2} + 35x_ {1} ^ {3} x_ {4} \\ & {} + 210x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + 105x_ {1} x_ {2} ^ {3} + 21x_ {1} ^ {2} x_ {5} + 105x_ {1} x_ {2 } x_ {4} \\ & {} + 70x_ {1} x_ {3} ^ {2} + 105x_ {2} ^ {2} x_ {3} + 7x_ {1} x_ {6} + 21x_ {2} x_ {5} + 35x_ {3} x_ {4} + x_ {7}. \ end {выровнено}}}$

Приложения

Формула Фаа ди Бруно

Формула Фаа ди Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) B_ {n, k} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) \ right).}$

Точно так же версия формулы Фаа ди Бруно в виде степенного ряда может быть сформулирована с использованием полиномов Белла следующим образом. Предполагать

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n} \ qquad {\ text {and}} \ qquad g (x ) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {b_ {n} \ over n!} x ^ {n}.}$

потом

${\ displaystyle g (е (x)) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, \ dots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n}.}$

В частности, полные многочлены Белла появляются в экспоненте формального степенного ряда :

${\ displaystyle \ exp \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {a_ {i} \ over i!} x ^ {i} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} {B_ {n} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ over n!} x ^ {n},}$

который также представляет собой экспоненциальную производящую функцию полных многочленов Белла на фиксированной последовательности аргументов . ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots}$

Реверс серии

Пусть две функции f и g выражены в формальных степенных рядах как

${\ displaystyle f (w) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} f_ {k} {\ frac {w ^ {k}} {k!}}, \ qquad {\ text {и}} \ qquad g (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} g_ {k} {\ frac {z ^ {k}} {k!}},}$

такой, что g является композиционным обратным к f, определяемым формулами g ( f ( w )) = w или f ( g ( z )) = z . Если f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0, то явный вид коэффициентов обратного может быть задан в терминах полиномов Белла как

${\ displaystyle g_ {n} = {\ frac {1} {f_ {1} ^ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} n ^ { \ bar {k}} B_ {n-1, k} ({\ hat {f}} _ {1}, {\ hat {f}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {f}} _ {nk}), \ qquad n \ geq 2,}$

с и - возрастающий факториал, и${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {k} = {\ frac {f_ {k + 1}} {(k + 1) f_ {1}}},}$${\ Displaystyle п ^ {\ бар {к}} = п (п + 1) \ cdots (п + к-1)}$${\ displaystyle g_ {1} = {\ frac {1} {f_ {1}}}.}$

Асимптотическое разложение интегралов типа Лапласа

Рассмотрим интеграл вида

${\ displaystyle I (\ lambda) = \ int _ {a} ^ {b} e ^ {- \ lambda f (x)} g (x) \, \ mathrm {d} x,}$

где ( a , b ) - действительный (конечный или бесконечный) интервал, λ - большой положительный параметр, а функции f и g непрерывны. Пусть f имеет единственный минимум в [ a , b ], который встречается при x  =  a . Предположим , что в качестве х  →  ⁺ ,

${\ displaystyle f (x) \ sim f (a) + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} (xa) ^ {k + \ alpha},}$

${\ displaystyle g (x) \ sim \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} (xa) ^ {k + \ beta -1},}$

при α > 0 Re ( β )> 0; и что расширение f можно почленно дифференцировать. Тогда теорема Лапласа – Эрдейи утверждает, что асимптотическое разложение интеграла I ( λ ) дается выражением

${\ displaystyle I (\ lambda) \ sim e ^ {- \ lambda f (a)} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Gamma {\ Big (} {\ frac {n + \ beta} { \ alpha}} {\ Big)} {\ frac {c_ {n}} {\ lambda ^ {(n + \ beta) / \ alpha}}} \ qquad {\ text {as}} \ quad \ lambda \ rightarrow \ infty,}$

где коэффициенты c _n выражаются через a _n и b _n с использованием частичных обычных многочленов Белла, заданных формулой Кэмпбелла – Фромана – Валлеса – Войдило:

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {\ alpha a_ {0} ^ {(n + \ beta) / \ alpha}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {nk} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ binom {- {\ frac {n + \ beta} {\ alpha}}} {j}} {\ frac {1} {a_ {0} ^ {j} }} {\ hat {B}} _ {k, j} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k-j + 1}).}$

Симметричные многочлены

Элементарный симметричный полином и сумма мощности симметричный полином может быть связаны друг с другом с помощью полиномов Белла , как: ${\ displaystyle e_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} e_ {n} & = {\ frac {1} {n!}} \; B_ {n} (p_ {1}, - 1! p_ {2}, 2! p_ { 3}, - 3! P_ {4}, \ ldots, (- 1) ^ {n-1} (n-1)! P_ {n}) \\ & = {\ frac {(-1) ^ {n }} {n!}} \; B_ {n} (- p_ {1}, - 1! p_ {2}, - 2! p_ {3}, - 3! p_ {4}, \ ldots, - (n -1)! P_ {n}), \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p_ {n} & = {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ sum _ {k = 1} ^ {n } (- 1) ^ {k-1} (k-1)! \; B_ {n, k} (e_ {1}, 2! E_ {2}, 3! E_ {3}, \ ldots, (n -k + 1)! e_ {n-k + 1}) \\ & = (- 1) ^ {n} \; n \; \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \; {\ hat {B}} _ {n, k} (- e_ {1}, \ dots, -e_ {n-k + 1}). \ end {align}}}$

Эти формулы позволяют выразить коэффициенты монических многочленов через многочлены Белла его нулей. Например, вместе с теоремой Кэли – Гамильтона они приводят к выражению определителя квадратной матрицы A размера n × n через следы ее степеней:

${\ displaystyle \ det (A) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} B_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}) , ~ \ qquad {\ text {where}} s_ {k} = - (k-1)! \ operatorname {tr} (A ^ {k}).}$

Индекс цикла симметрических групп

Индекс цикла из симметрической группы может быть выражен в терминах полных полиномов Белла следующим образом : ${\ displaystyle S_ {n}}$

${\ displaystyle Z (S_ {n}) = {\ frac {B_ {n} (0! \, a_ {1}, 1! \, a_ {2}, \ dots, (n-1)! \, a_ {n})} {n!}}.}$

Моменты и кумулянты

Сумма

${\ displaystyle \ mu _ {n} '= B_ {n} (\ kappa _ {1}, \ dots, \ kappa _ {n}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (\ kappa _ {1}, \ dots, \ kappa _ {n-k + 1})}$

является п - й сырого момента из распределения вероятностей которой первые п кумулянты являются κ ₁ , ..., κ _п . Другими словами, n- й момент - это n- й полный полином Белла, вычисленный на первых n кумулянтах. Точно так же n- й кумулянт может быть задан в терминах моментов как

${\ displaystyle \ kappa _ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (\ mu '_ { 1}, \ ldots, \ mu '_ {n-k + 1}).}$

Полиномы Эрмита

Вероятностные полиномы Эрмита могут быть выражены через полиномы Белла как

${\ displaystyle \ operatorname {He} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, \ ldots, 0),}$

где x _i = 0 для всех i > 2; тем самым позволяя комбинаторную интерпретацию коэффициентов многочленов Эрмита. В этом можно убедиться, сравнив производящую функцию многочленов Эрмита

${\ displaystyle \ exp \ left (xt - {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {He} _ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}$

с полиномами Белла.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

Для любой последовательности a ₁ , a ₂ ,…, a _n скаляров пусть

${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (a_ {1}, \ dots, a_ {n-k + 1}) x ^ { k}.}$

Тогда эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип , т.е. удовлетворяет биномиальному тождеству

${\ displaystyle p_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} p_ {k} (x) p_ {nk} (y).}$

Пример: для a ₁ =… = a _n = 1 полиномы представляют полиномы Тушара .${\ Displaystyle p_ {п} (х)}$

В общем, мы имеем такой результат:

Теорема: все полиномиальные последовательности биномиального типа имеют этот вид.

Если мы определим формальный степенной ряд

${\ displaystyle h (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {a_ {k} \ over k!} x ^ {k},}$

тогда для всех n ,

${\ displaystyle h ^ {- 1} \ left ({d \ over dx} \ right) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x).}$

Программное обеспечение

Полиномы Белла реализованы в:

• Математика как BellY
• Клен как IncompleteBellB
• SageMath как bell_polynomial

Смотрите также

• Матрица колокола
• Экспоненциальная формула

Примечания

использованная литература