Универсальная теорема вложения - Universal embedding theorem

Универсальная теорема вложения , или теорема универсальное вложение Краснера-Калужнина , является теоремой из математической дисциплины теории групп первой опубликованной в 1951 году Марк Краснера и Лев Kaluznin . Теорема утверждает , что любая группа расширение из группы Н по группе А изоморфно подгруппе регулярного сплетения  Wr  H . Теорема называется тот факт , что группа  Wr  H , как говорят, универсальным по отношению ко всем расширениям Н по А .

Заявление

Пусть H и быть группы, пусть K  =  ^H множество всех функций из Н в А , и рассмотрим действие на H на себя правым умножением. Это действие естественно продолжается до действия H на K , определяемого где и г и ч оба в H . Это автоморфизм группы K , поэтому мы можем определить полупрямое произведение K  ⋊  H, которое называется регулярным сплетением , и обозначается A  Wr  H или Группа K  =  A ^H (которая изоморфна ) называется базовой группой сплетения . ${\ Displaystyle \ phi (g) .h = \ phi (gh ^ {- 1}),}$${\ displaystyle \ phi \ in K,}$${\ Displaystyle A \ wr H.}$${\ displaystyle \ {(f_ {x}, 1) \ in A \ wr H: x \ in K \}}$

Краснер-Калужнин универсальной теоремы вложения утверждает , что если G имеет нормальную подгруппу А и Н  =  G / , то существует инъективен гомоморфизм групп таким образом, что отображает сюръективно на Это эквивалентно сплетение  Wr  Н , имеющое подгруппу изоморфна G , где G является любое расширение Н от А .${\ displaystyle \ theta: G \ to A \ wr H}$${\ displaystyle {\ text {im}} (\ theta) \ cap K.}$

Доказательство

Это доказательство принадлежит Диксон-Мортимер.

Определим гомоморфизм , ядро которого является . Выберите набор (правых) представителей смежного класса группы A в G , где Затем для всех x в G , для каждого x в G , мы определяем функцию f _x :  H  → A такую, что Тогда вложение задается формулой ${\ displaystyle \ psi: G \ to H}$${\ displaystyle T = \ {t_ {u}: и \ в H \}}$${\ displaystyle \ psi (t_ {u}) = u.}$ ${\ displaystyle t_ {u} xt_ {u \ psi (x)} ^ {- 1} \ in \ ker \ psi = A.}$${\ displaystyle f_ {x} (u) = t_ {u} xt_ {u \ psi (x)} ^ {- 1}.}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta (x) = (f_ {x}, \ psi (x)) \ in A \ wr H.}$

Теперь докажем, что это гомоморфизм. Если х и у в G , то теперь так и для всех у в Н ,${\ displaystyle \ theta (x) \ theta (y) = (f_ {x} (f_ {y}. \ psi (x) ^ {- 1}), \ psi (xy)).}$${\ displaystyle f_ {y} (u). \ psi (x) ^ {- 1} = f_ {y} (u ​​\ psi (x)),}$

${\ displaystyle f_ {x} (u) (f_ {y} (u). \ psi (x)) = t_ {u} xt_ {u \ psi (x)} ^ {- 1} t_ {u \ psi ( x)} yt_ {u \ psi (x) \ psi (y)} ^ {- 1} = t_ {u} xyt_ {u \ psi (xy)} ^ {- 1},}$

так что f _x   f _y  =  f _xy . Следовательно, это необходимый гомоморфизм. ${\ displaystyle \ theta}$

Гомоморфизм инъективен. Если тогда и f _x ( u ) =  f _y ( u ) (для всех u ), и Then, но мы можем сократить t _u и с обеих сторон, поэтому x  =  y , следовательно , инъективно. Наконец, именно когда, другими словами, когда (как ). ${\ Displaystyle \ тета (х) = \ тета (у),}$${\ Displaystyle \ psi (x) = \ psi (y).}$${\ displaystyle t_ {u} xt_ {u \ psi (x)} ^ {- 1} = t_ {u} yt_ {u \ psi (y)} ^ {- 1},}$${\ Displaystyle т_ {и \ пси (х)} ^ {- 1} = т_ {и \ пси (у)} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ тета (х) \ в К}$${\ Displaystyle \ psi (х) = 1,}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ Displaystyle A = \ ker \ psi}$

Обобщения и связанные результаты

• Теорема Крона – Родса является утверждением, аналогичным универсальной теореме вложения, но для полугрупп . Полугруппы S является делителем полугруппы T , если это изображение из подполугруппы из Т под гомоморфизмом. Теорема утверждает, что каждая конечная полугруппа S является дивизором конечного альтернированного сплетения конечных простых групп (каждая из которых является делителем S ) и конечных апериодических полугрупп .
• Существует альтернативная версия теоремы, для которой требуются только группа G и подгруппа A (не обязательно нормальная). В этом случае G изоморфна подгруппе регулярного сплетения A  Wr ( G / Core ( A )).

Рекомендации

Библиография

• Диксон, Джон; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Springer. ISBN   978-0387945996 .
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951a). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп II" . Acta Sci. Математика. Сегед . 14 : 39–66.
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951b). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп III" . Acta Sci. Математика. Сегед . 14 : 69–82.
• Прегер, Шерил; Шнайдер, Чаба (2018). Группы перестановок и декартовы разложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0521675062 .