Единое пространство - Uniform space

В математической области топологии , A равномерное пространство представляет собой набор с равномерной структурой . Равномерные пространства - это топологические пространства с дополнительной структурой, которая используется для определения однородных свойств, таких как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость . Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы , но концепция разработана для формулирования самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств в анализе .

Помимо обычных свойств топологической структуры, в однородном пространстве формализуется понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, идеи вроде « x ближе к a, чем y к b » имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения, в общем топологического пространства, данные множества A, B имеет смысл говорить , что точка х является сколь угодно близко к А (то есть, в замыкании А ), или , возможно , что является меньшая окрестность из х , чем B , но понятия близости точек и относительной близости плохо описываются только топологической структурой.

Определение

Есть три эквивалентных определения равномерного пространства. Все они представляют собой пространство, имеющее единую структуру.

Определение антуража

Это определение адаптирует представление топологического пространства в терминах систем соседства . Непустой набор подмножеств - это ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ substeq X \ раз X}$ однородная структура (илиоднородность ), если он удовлетворяет следующим аксиомам:

Если , то где диагональ на . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ substeq U}$ ${\ Displaystyle \ Delta = \ {(x, x): x \ in X \}}$ ${\ Displaystyle X \ раз X}$
Если и , то . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ substeq V \ substeq X \ times X}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$
Если и , то . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ cap V \ in \ Phi}$
Если , то существует такое что , где обозначает соединение с самим собой. (The композит из двух подмножеств и из определяются .) ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ circ V \ substeq U}$ ${\ Displaystyle V \ circ V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X \ раз X}$ ${\ Displaystyle V \ circ U = \ {(x, z): \ существует y \ in X: (x, y) \ in U \ wedge (y, z) \ in V \}}$
Если , то , где есть обратная из U . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {- 1} \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {- 1} = \ {(y, x) :( x, y) \ in U \}}$

Непустота $Ф$ , взятые вместе с (2) и (3) утверждает , что $Φ$ является фильтр на $X \times X$ . Если последнее свойство опущено, мы называем пространство квазиравномерным . Элементы $U$ из $Φ$ называются окрестностями или антуражами от французского слова, обозначающего окружение .

Обычно пишут $U [x] = {y : (x, y) \in U} = pr 2 (U \cap ({x} \times X))$ , где $U \cap ({x} \times X)$ - вертикальное сечение $U$ и $pr 2$ - проекция на вторую координату. На графике типичный антураж изображен как капля, окружающая диагональ « $y = x$ »; все различные $U [x]$ образуют вертикальные сечения. Если $(х, у) \in U$ , то говорят , что х и у являются $U$ -близко . Аналогично, если все пары точек в подмножестве $A$ в $X$ являются $U-$ замкнутыми (т. Е. Если $A \times; A$ содержится в $U$ ), A называется $U$ -малым . Свитой $U$ является симметричным , если $(х, у) \in U$ именно тогда , когда $(у, х) \in U$ . Первая аксиома гласит , что каждая точка $U$ -близки себе для каждого окружения $U$ . Третья аксиома гарантирует, что быть «одновременно $U-$ закрытым и $V-$ закрытым» также является отношением близости в однородности. Четвертая аксиома утверждает, что для каждого антуража $U$ существует антураж $V,$ который «не более чем вдвое меньше». Наконец, последняя аксиома утверждает, что свойство «близость» по отношению к однородной структуре симметрично по x и y .

Базовая или фундаментальная система окружений (или окрестности ) от однородности $Ф$ является любое множество B из окружений из $Ф$ , что каждое окружение $Ф$ содержит множество , принадлежащее B . Таким образом, по свойству 2 выше, фундаментальные системы окружений B достаточно , чтобы указать однородность $Ф$ однозначно: $Φ$ есть множество подмножеств $X \times X$ , которые содержат набор B . Каждое однородное пространство имеет фундаментальную систему антуражей, состоящую из симметричных антуражей.

Интуиция о равномерностях дается на примере метрических пространств : если $(X, d)$ - метрическое пространство, то множества

{\ displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ in X \ times X: d (x, y) \ leq a \} \ quad {\ text {where}} \ quad a> 0}

образуют фундаментальную систему окружений для стандартной однородной структуры X . Тогда x и y являются $U a$ -близкими в точности тогда, когда расстояние между x и y не превосходит a .

Равномерность $Φ$ является более тонким , чем другой однородность $Ф$ на то же множество , если $Ф \supseteq Ф$ ; в этом случае $Ψ$ называется грубее , чем $Ф$ .

Определение псевдометрики

Равномерные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрики , подхода, который особенно полезен в функциональном анализе (с псевдометрикой, предоставляемой полунормами ). Точнее, пусть п : X × X → R быть псевдометрику на множестве X . Можно показать, что прообразы U _a = f ⁻¹ ([0, a ]) для a > 0 образуют фундаментальную систему антуражей однородности. Равномерность, порожденная U _a, - это однородность, определяемая единственной псевдометрикой f . Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах псевдометрических калибровочных пространств .

Для семейства ( f _i ) псевдометрики на X равномерная структура, определяемая этим семейством, является наименьшей верхней границей однородных структур, определяемых отдельными псевдометриками f _i . Фундаментальная система антуражей этой однородности обеспечивается множеством конечных пересечений антуражей однородностей, определяемых отдельными псевдометриками f _i . Если семейство псевдометрики конечно , можно видеть, что одна и та же однородная структура определяется одной псевдометрикой, а именно верхней оболочкой sup f _i семейства.

Менее тривиально можно показать, что однородная структура, допускающая счетную фундаментальную систему окружений (следовательно, в частности, единообразие, определяемое счетным семейством псевдометрик), может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любая однородная структура может быть определена, как указано выше, с помощью (возможно, несчетного) семейства псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология, глава IX, §1, № 4).

Единое определение покрытия

Равномерное пространство ( X , Θ ) представляет собой набор X оборудован с выделенным семейством покрытий & thetas , называется «равномерные покрытия», составленный из множества покрытий из X , которые образуют фильтр , когда по заказу звезды уточнения. Говорят, что покрытие P - это звездное измельчение покрытия Q , обозначаемое P <* Q , если для каждого A ∈ P существует U ∈ Q такое, что если A ∩ B ≠ ø, B ∈ P , то B ⊆ U . Аксиоматически условие быть фильтром сводится к:

{X} - равномерное покрытие (т.е. {X} ∈ Θ ).
Если P <* Q и P - равномерное покрытие, то Q также является равномерным покрытием.
Если P и Q - равномерные покрытия, то существует равномерное покрытие R , улучшающее как P, так и Q звездой .

Учитывая точку x и равномерное покрытие P , можно рассматривать объединение элементов P, которые содержат x, как типичную окрестность x «размера» P , и эта интуитивная мера применяется равномерно в пространстве.

Принимая во внимание равномерного пространства в смысле окружения, определить крышку P , чтобы быть однородными , если есть некоторое окружение U , такие , что для каждого х ∈ Х , существует ∈ P такой , что U [ х ] ⊆ . Эти равномерные покрытия образуют единое пространство, как во втором определении. Наоборот, для данного равномерного пространства в смысле равномерного покрытия надмножества ⋃ { A × A : A ∈ P }, когда P пробегает равномерные покрытия, являются антуражами для равномерного пространства, как в первом определении. Более того, эти два преобразования противоположны друг другу.

Топология равномерных пространств

Каждая равномерное пространство X становится топологическим пространством , определив подмножество O из X , чтобы быть открытым , если и только если для каждого х в О существует окружение V таких , что V [ х ] является подмножеством O . В этой топологии фильтр окрестностей точки x равен { V [ x ]: V ∈ Φ}. Это можно доказать с помощью рекурсивного использования существования антуража «половинного размера». По сравнению с общим топологическим пространством наличие однородной структуры делает возможным сравнение размеров окрестностей: V [ x ] и V [ y ] считаются имеющими «одинаковый размер».

Говорят, что топология, определяемая однородной структурой, индуцирована однородностью . Равномерная структура на топологическом пространстве совместима с топологией, если топология, определяемая равномерной структурой, совпадает с исходной топологией. В общих нескольких различных равномерных структурах могут быть совместимы с заданной топологией на X .

Единообразные пространства

Топологическое пространство называется униформизируемым, если существует согласованная с топологией равномерная структура.

Каждое униформизуемое пространство является вполне регулярным топологическим пространством. Более того, для униформизуемого пространства X следующие условия эквивалентны:

X - пространство Колмогорова
X - хаусдорфово пространство
X - тихоновское пространство
для любой совместимой равномерной структуры пересечение всех антуражей - это диагональ {( x , x ): x в X }.

Некоторые авторы (например, Энгелькинг) добавляют это последнее условие непосредственно в определение униформизируемого пространства.

Топология униформизируемого пространства всегда является симметричной топологией ; то есть пространство является R ₀ -пространством .

И наоборот, каждое вполне регулярное пространство униформизуемо. Равномерность, совместимая с топологией полностью регулярного пространства X, может быть определена как грубейшая равномерность, которая делает все непрерывные вещественнозначные функции на X равномерно непрерывными. Фундаментальная система окружений для этого единообразия обеспечивается всех конечных пересечений множеств ( F × F ) ^-1 ( V ), где F представляет собой непрерывная вещественная функция на X и V представляет собой окружение равномерное пространство R . Эта единообразие определяет топологию, которая явно грубее исходной топологии X ; что это также тоньше , чем исходная топология ( и, следовательно , совпадает с ней) является простым следствием полной регулярности: для любых х ∈ X и окрестности V от х , существует непрерывная вещественная функция е с е ( х ) = 0 и равна 1 в дополнении V .

В частности, компактное хаусдорфово пространство униформизуемо. Фактически, для компактного хаусдорфова пространства X множество всех окрестностей диагонали в X × X образуют единственную равномерность, совместимую с топологией.

Равномерное хаусдорфово пространство метризуемо, если его однородность может быть определена счетным семейством псевдометрик. В самом деле, как обсуждалось выше , такая однородность может быть определена одной псевдометрикой, которая обязательно является метрикой, если пространство хаусдорфово. В частности, если топология векторного пространства хаусдорфова и определима счетным семейством полунорм , то оно метризуемо.

Единая преемственность

Подобно непрерывным функциям между топологическими пространствами , которые сохраняют топологические свойства , являются равномерно непрерывные функции между однородными пространствами, которые сохраняют однородные свойства. Равномерные пространства с равномерными отображениями образуют категорию . Изоморфизм между равномерными пространствами называются однородным изоморфизмом .

Равномерно непрерывная функция определяется как функция, в которой прообразы окружения снова являются антуражами, или, что эквивалентно, функция, в которой прообразы однородных покрытий снова являются однородными покрытиями.

Все равномерно непрерывные функции непрерывны относительно индуцированных топологий.

Полнота

Обобщая понятие полного метрического пространства , можно также определить полноту для равномерных пространств. Вместо работы с последовательностями Коши работают с фильтрами Коши (или сетями Коши ).

А Фильтр Коши (соответственно aКоши предфильтр )Рна однородном пространствеXпредставляет собойфильтр(соотв.Предфильтр)Fтакимчто для каждого окруженияU, существуетA∈FсA×A⊆U. Другими словами, фильтр называется Коши, если он содержит «сколь угодно малые» множества. Из определений следует, что каждый фильтр, который сходится (относительно топологии, определяемой равномерной структурой), является фильтром Коши. Фильтр Коши называетсяминимальным,если он не содержит меньшего (т. Е. Более грубого) фильтра Коши (кроме него самого). Можно показать, что каждый фильтр Коши содержит единственныйминимальный фильтр Коши. Фильтр окрестностей каждой точки (фильтр, состоящий из всех окрестностей точки) является минимальным фильтром Коши.

И наоборот, однородное пространство называется завершено, если сходится каждый фильтр Коши. Любое компактное хаусдорфово пространство является полным равномерным пространством относительно единственной равномерности, согласованным с топологией.

Полные равномерные пространства обладают следующим важным свойством: если f : A → Y - равномерно непрерывная функция из плотного подмножества A равномерного пространства X в полное равномерное пространство Y , то f может быть расширена (однозначно) в равномерно непрерывную функцию на всех X .

Топологическое пространство, которое может быть преобразовано в полное однородное пространство, однородность которого индуцирует исходную топологию, называется полностью униформизуемым пространством .

Хаусдорфово пополнение однородного пространства

Как и в случае с метрическими пространствами, каждое равномерное пространство X имеетХаусдорфово пополнение : то есть существует полное хаусдорфово равномерное пространствоYи равномерно непрерывное отображениеi:X→Yсо следующим свойством:

для любого равномерно непрерывного отображения f пространства X в полное хаусдорфово равномерное пространство Z существует единственное равномерно непрерывное отображение g : Y → Z такое, что f = gi .

Пополнение Хаусдорфа Y единственно с точностью до изоморфизма. В наборе, Y может быть принято состоять из минимальных фильтров Коши на X . Поскольку фильтр окрестности B ( x ) каждой точки x в X является минимальным фильтром Коши, отображение i может быть определено путем отображения x в B ( x ). Определенное таким образом отображение i в общем случае не инъективно; на самом деле график отношения эквивалентности i ( x ) = i ( x ') является пересечением всех окружений X , и поэтому i инъективен именно тогда, когда X хаусдорфово.

Равномерная структура на Y определяется следующим образом: для каждого симметричного окружения V (т. Е. Такого, что ( x , y ) находится в V именно тогда, когда ( y , x ) находится в V ), пусть C ( V ) будет множеством всех пары ( F , G ) минимальных фильтров Коши, которые имеют общий хотя бы один V-малый набор . Можно показать, что множества C ( V ) образуют фундаментальную систему антуражей; Y снабжен определенной таким образом однородной структурой.

Множество я ( X ) затем плотное подмножество Y . Если X хаусдорфово, то i является изоморфизмом на i ( X ), и, таким образом, X можно отождествить с плотным подмножеством его пополнения. Более того, i ( X ) всегда хаусдорфово; это называется хаусдорфову единое пространство , связанное с X . Если R обозначает отношение эквивалентности i ( x ) = i ( x '), то фактор-пространство X / R гомеоморфно i ( X ).

Примеры

Каждое метрическое пространство ( M , d ) можно рассматривать как однородное пространство. В самом деле, поскольку метрика заведомо псевдометрична, псевдометрическое определение наделяет M однородной структурой. Фундаментальную систему антуража этого единообразия составляют наборы
${\ Displaystyle \ qquad U_ {a} \ треугольник d ^ {- 1} ([0, a]) = \ {(m, n) \ in M \ times M: d (m, n) \ leq a \} .}$
Эта единая структура на М порождает обычную метрику топологии пространства на М . Однако разные метрические пространства могут иметь одинаковую однородную структуру (тривиальный пример - постоянное кратное метрики). Эта единообразная структура дает также эквивалентные определения равномерной непрерывности и полноты для метрических пространств .
Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающими топологиями. Например, пусть d ₁ ( x , y ) = | х - у | - обычная метрика на R, и пусть d ₂ ( x , y ) = | е ^х - е ^у |. Тогда обе метрики индуцируют обычную топологию на R , но однородные структуры различны, поскольку {(x, y): | х - у | <1} - это антураж в единой структуре для d _1, но не для d ₂ . Неформально этот пример можно рассматривать как взятие обычного единообразия и искажение его посредством действия непрерывной, но неравномерно непрерывной функции.
Каждая топологическая группа G (в частности, каждое топологическое векторное пространство ) становится однородным пространством, если мы определяем подмножество V в G × G как окружение тогда и только тогда, когда оно содержит множество {( x , y ): x ⋅ y ^{- 1} в U } для некоторых окрестностей U из единичного элемента из G . Эта единая структура на G называется правой равномерности на G , потому что для каждого а в G , то умножение справа х → х ⋅ является равномерно непрерывной относительно этой однородной структуры. Можно также определить левую равномерность на G ; две потребности не совпадают, но оба они порождают данную топологию на G .
Для каждой топологической группы G и ее подгруппы H множество левых смежных классов G / H является равномерным пространством относительно равномерности Φ, определяемой следующим образом. Множества , где U пробегает окрестности единицы в G , образуют фундаментальную систему окружений для равномерности Φ. Соответствующая индуцированная топология на G / H равна фактора - топологию , определяемой естественное отображение G → G / H . ${\ Displaystyle {\ тильда {U}} = \ {(s, t) \ in G / H \ times G / H: \ \ t \ in U \ cdot s \}}$
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .

История

До того, как Андре Вейль дал первое явное определение однородной структуры в 1937 году, единые понятия, такие как полнота, обсуждались с использованием метрических пространств . Николя Бурбаки дал определение единой структуры в терминах антуража в книге Topologie Générale, а Джон Тьюки дал определение единой обложки. Вейль также охарактеризовал равномерные пространства в терминах семейства псевдометрик.

Смотрите также

Грубая структура
Полное метрическое пространство - метрическая геометрия
Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
Полностью униформизируемое пространство
Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Пространство близости - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
Топология равномерной сходимости
Равномерная непрерывность - Равномерное ограничение изменения функций
Равномерный изоморфизм - Равномерно непрерывный гомеоморфизм
Единообразное свойство - объект исследования в категории однородных топологических пространств.
Равномерно связное пространство - Тип однородного пространства

использованная литература

Николас Бурбаки , Общая топология ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1–4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5–10): Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по униформе. структур, в главе IX § 1 рассматриваются псевдометрики, а в главе III § 3 рассматриваются равномерные структуры на топологических группах
Рышард Энгелькинг , Общая топология. Переработанное и дополненное издание , Берлин, 1989 г.
Джон Р. Исбелл , ISBN единообразных пространств 0-8218-1512-1
И. М. Джеймс, Введение в унифицированные пространства ISBN 0-521-38620-9
И. М. Джеймс, Топологические и однородные пространства ISBN 0-387-96466-5
Джон Тьюки , Сходимость и единообразие в топологии ; ISBN 0-691-09568-X
Андре Вейль , Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale , Закон. Sci. Инд. 551 , Париж, 1937 г.

Languages

In other projects