Топологическое тензорное произведение - Topological tensor product

В математике обычно существует множество различных способов построения топологического тензорного произведения двух топологических векторных пространств . Для гильбертовых или ядерных пространств существует простая теория тензорных произведений с хорошим поведением (см. Тензорное произведение гильбертовых пространств ), но для общих банаховых пространств или локально выпуклых топологических векторных пространств теория, как известно, является тонкой.

Мотивация

Одной из первоначальных причин для топологических тензорных произведений является тот факт, что тензорные произведения пространств гладких функций на не ведут себя так, как ожидалось. Есть укол ${\ displaystyle {\ hat {\ otimes}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ иногда C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ hookrightarrow C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n + m})}$

но это не изоморфизм. Например, функция не может быть выражена как конечная линейная комбинация гладких функций в Мы получаем изоморфизм только после построения топологического тензорного произведения; т.е. ${\ Displaystyle е (х, у) = е ^ {ху}}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {x}) \ иногда C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {y}).}$

${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ mathop {\ hat {\ otimes}} C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ cong C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n + m})}$

Эта статья сначала детализирует конструкцию в случае банахова пространства. не является банаховым пространством, и дальнейшие случаи обсуждаются в конце. ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {п})}$

Тензорные произведения гильбертовых пространств

Основная статья: Тензорное произведение гильбертовых пространств

Алгебраическое тензорное произведение двух гильбертовых пространств A и B имеет естественную положительно определенную форму полуторалинейной (скалярное произведение) , индуцированную полуторалинейные формы A и B . Так , в частности , она имеет естественную положительно определенную квадратичную форму , и соответствующее завершение гильбертово ⊗ B , называется (гильбертовым) тензорное произведение A и B .

Если векторы _я и б _J пробегает ортонормированные базисы из A и B , то векторов _я ⊗ б _J образует ортонормированный базис из A ⊗ B .

Кросс-нормы и тензорные произведения банаховых пространств

В этом разделе мы будем использовать обозначения из ( Ryan 2002 ). Очевидный способ определить тензорное произведение двух банаховых пространств и состоит в том, чтобы скопировать метод для гильбертовых пространств: определить норму на алгебраическом тензорном произведении, а затем взять пополнение по этой норме. Проблема в том, что существует более одного естественного способа определить норму тензорного произведения. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Если и банаховы алгебраическое тензорное произведение и означает тензорное произведение из и как векторные пространства и обозначается алгебраического тензорного произведения состоит из всех конечных сумм ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ otimes B.}$${\ displaystyle A \ otimes B}$

где это натуральное число , в зависимости от и и для ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {i} \ in A}$${\ displaystyle b_ {i} \ in B}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п.}$

Когда и являются банаховыми пространствами, a${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ кроснорм (илипоперечная норма )на алгебраическом тензорном произведенииявляется нормой, удовлетворяющей условиям ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A \ otimes B}$

Here и являются элементами топологических двойственных пространств из и соответственно, и является двойной нормой из Термина${\ Displaystyle а ^ {\ прайм}}$${\ displaystyle b ^ {\ prime}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle p ^ {\ prime}}$${\ displaystyle p.}$разумная кросснорма также используется для определения выше.

Существует перекрестная норма, называемая проективной перекрестной нормой, которая задается формулой ${\ displaystyle \ pi}$

куда ${\ displaystyle x \ in A \ otimes B.}$

Оказывается, проективная перекрестная норма согласуется с наибольшей перекрестной нормой (( Ryan 2002 ), предложение 2.1).

Существует перекрестная норма, называемая инъективной перекрестной нормой, которая задается формулой ${\ displaystyle \ varepsilon}$

где Здесь и обозначают топологические двойники к и соответственно. ${\ displaystyle x \ in A \ otimes B.}$${\ displaystyle A ^ {\ prime}}$${\ displaystyle B ^ {\ prime}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$

Обратите внимание, что инъективная кросс-норма только в некотором разумном смысле является «наименьшей».

Пополнения алгебраического тензорного произведения в этих двух нормах называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются символами и${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ pi} B}$${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ varepsilon} B.}$

Когда и являются гильбертовыми пространствами, норма, используемая для их тензорного произведения в гильбертовом пространстве, в общем случае не равна ни одной из этих норм. Некоторые авторы обозначают его как, поэтому тензорное произведение гильбертова пространства в предыдущем разделе будет${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ sigma,}$${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ sigma} B.}$

А равномерная кросснорма - это присвоение каждой паребанаховых пространств разумной кросснормы натак, что если- произвольные банаховы пространства, то для всех (непрерывных линейных) операторовиоператорнепрерывен, аеслииявляются двумя банаховыми пространствами иявляются равномерной кросс-нормой, тоопределяет разумную перекрестную норму на алгебраическом тензорном произведении. Нормированное линейное пространство, полученное оснащениемэтой нормой, обозначается какЗавершениекоторого является банаховым пространством, обозначается какЗначение нормы, заданноенаи на завершенном тензорном произведениидля элементв(или) обозначается${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle X \ otimes Y}$${\ displaystyle X, W, Y, Z}$${\ displaystyle S: X \ to W}$${\ displaystyle T: Y \ to Z}$${\ displaystyle S \ otimes T: X \ otimes _ {\ alpha} Y \ to W \ otimes _ {\ alpha} Z}$${\ displaystyle \ | S \ otimes T \ | \ leq \ | S \ | \ | T \ |.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A \ otimes B.}$${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ alpha} B.}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ alpha} B,}$${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ alpha} B.}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ alpha} B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ operatorname {\ hat {\ otimes}} _ {\ alpha} B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ alpha} B}$${\ displaystyle \ alpha _ {A, B} (x) {\ text {или}} \ alpha (x).}$

Равномерная кросснорма называется${\ displaystyle \ alpha}$конечно порожденный, если для каждой парыбанаховых пространств и каждого${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle u \ in X \ otimes Y,}$

Равномерная кросснорма - это${\ displaystyle \ alpha}$коконечно порожден, если для каждой парыбанаховых пространств и каждого${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle u \ in X \ otimes Y,}$

А тензорная норма определяется как конечно порожденная равномерная кросснорма. Проективная перекрестная нормаи инъективная перекрестная норма,определенные выше, являются тензорными нормами и называются проективной тензорной нормой и инъективной тензорной нормой соответственно. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Если и - произвольные банаховы пространства и - произвольная равномерная поперечная норма, то ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ alpha}$

Тензорные произведения локально выпуклых топологических векторных пространств

Топологии локально выпуклых топологических векторных пространств и задаются семействами полунорм . Для каждого выбора полунормы дальше и дальше мы можем определить соответствующее семейство перекрестных норм на алгебраическом тензорном произведении, и, выбирая по одной перекрестной норме из каждого семейства, мы получаем некоторые перекрестные нормы при определении топологии. Вообще существует огромное количество способов сделать это. Два наиболее важных способа - это принять все проективные перекрестные нормы или все инъективные перекрестные нормы. Пополнения полученных топологий на называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются и. Существует естественное отображение из в${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ otimes B,}$${\ displaystyle A \ otimes B,}$${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ gamma} B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ lambda} B.}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ gamma} B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ lambda} B.}$

Если или является ядерным пространством, то естественное отображение из в является изоморфизмом . Грубо говоря, это означает, что если или является ядерным, то существует только одно разумное тензорное произведение и . Это свойство характеризует ядерные пространства. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ gamma} B}$${\ displaystyle A \ otimes _ {\ lambda} B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Смотрите также

• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство
• Пространство Фреше  - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Ядро Фредгольма
• Гильбертово пространство  - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения
• Индуктивное тензорное произведение
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Ядерное пространство  - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличных от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение
• Проективная топология
• Тензорное произведение гильбертовых пространств  - пространство тензорного произведения, наделенное специальным внутренним произведением
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

использованная литература

• Райан Р.А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Нью-Йорк: Springer.
• Гротендик А. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Мемуары Американского математического общества , 16.