Метаматематика - Metamathematics
Метаматематика - это изучение самой математики с использованием математических методов. Это исследование создает метатеории , которые представляют собой математические теории о других математических теориях. Акцент на метаматематике (и , возможно , создание самого термина) должен себя Дэвид Гильберта «s попытку обеспечить самые основы математики в начале 20 - го века. Метаматематика предоставляет «строгую математическую технику для исследования большого разнообразия фундаментальных проблем математики и логики » (Kleene 1952, p. 59). Важной особенностью метаматематики является ее упор на различие между рассуждениями изнутри системы и извне системы. Неформальной иллюстрацией этого является категоризация предложения «2 + 2 = 4» как принадлежащего математике, а утверждение «2 + 2 = 4 'действительно» - как принадлежащее метаматематике.
История
Метаматематические метатеоремы о самой математике были первоначально отделены от обычных математических теорем в 19 веке, чтобы сосредоточиться на том, что тогда называлось фундаментальным кризисом математики . Парадокс Ричарда (Richard 1905) относительно некоторых «определений» действительных чисел в английском языке является примером противоречия, которое может легко возникнуть, если не провести различие между математикой и метаматематикой. Нечто подобное можно сказать и в отношении известного парадокса Рассела (содержит ли себя множество всех тех множеств, которые не содержат самих себя?).
Метаматематика была тесно связана с математической логикой , так что ранние истории этих двух областей, в конце 19-го и начале 20-го веков, во многом пересекались. Совсем недавно, математическая логика часто включал в себя изучение новых чистой математики, таких как теория множеств , теории категорий , теории рекурсии и чистой теории модели , которая непосредственно не связанной с метаматематике.
Серьезные метаматематические размышления начались с работ Готлоба Фреге , особенно его Begriffsschrift , опубликованного в 1879 году.
Дэвид Гильберт был первым, кто регулярно использовал термин «метаматематика» (см . Программу Гильберта ) в начале 20 века. В его руках это означало что-то вроде современной теории доказательств , в которой финитарные методы используются для изучения различных аксиоматизированных математических теорем (Kleene 1952, p. 55).
Среди других видных деятелей в этой области - Бертран Рассел , Торальф Сколем , Эмиль Пост , Алонзо Черч , Алан Тьюринг , Стивен Клини , Уиллард Куайн , Пол Бенасерраф , Хилари Патнэм , Грегори Чейтин , Альфред Тарски и Курт Гедель .
Сегодня металогика и метаматематика во многом пересекаются, и обе они были существенно включены в математическую логику в академических кругах.
Вехи
Открытие гиперболической геометрии
Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия для метаматематики. До его открытия была только одна геометрия и математика; идея существования другой геометрии считалась маловероятной.
Говорят, что когда Гаусс открыл гиперболическую геометрию, он ничего не публиковал из-за страха перед «возмущением беотийцев », которое испортило бы его статус как princeps mathematicorum (лат. «Князь математиков»). «Волнения беотийцев» приходили и уходили, дав толчок метаматематике и значительным улучшениям в математической строгости , аналитической философии и логике .
Begriffsschrift
Begriffsschrift (немецкий язык для, грубо говоря, «концепт-сценарий») представляет собой книгу по логике по Фрегу , опубликованной в 1879 году, и формальную систему , изложенную в этой книге.
Begriffsschrift обычно переводится как написание понятий или обозначение понятий ; полное название книги идентифицирует ее как « язык формул , созданный по образцу арифметики , чистого мышления ». Мотивация Фреге к разработке своего формального подхода к логике напоминала мотивацию Лейбница для его логического вычислителя (несмотря на это, в своем предисловии Фреге четко отрицает, что он достиг этой цели, а также то, что его главной целью будет построение идеального языка, подобного языку Лейбница. Фреге заявляет, что это довольно трудная и идеалистическая, но не невыполнимая задача). Фреге продолжал использовать свое логическое исчисление в своих исследованиях основ математики , которые проводились в течение следующей четверти века.
Принципы математики
Principia Mathematica, или «PM», как ее часто сокращают, была попыткой описать набор аксиом и правил вывода в символической логике, из которых в принципе можно было бы доказать все математические истины. Как таковой, этот амбициозный проект имеет большое значение в истории математики и философии, будучи одним из важнейших продуктов веры в то, что такое начинание возможно. Однако в 1931 году теорема Гёделя о неполноте окончательно доказала, что PM, как и любая другая попытка, никогда не сможет достичь этой цели; то есть для любого набора аксиом и правил вывода, предложенных для инкапсуляции математики, на самом деле были бы некоторые математические истины, которые нельзя было бы из них вывести.
Одним из главных источников вдохновения и мотивации для PM была ранняя работа Готтлоба Фреге по логике, которая, как обнаружил Рассел, позволяла конструировать парадоксальные множества . PM стремился избежать этой проблемы, исключив неограниченное создание произвольных наборов. Это было достигнуто путем замены понятия общего набора понятием иерархии наборов различных « типов », причем набор определенного типа может содержать только наборы строго более низкого типа. Однако современная математика избегает парадоксов, подобных парадоксу Рассела, менее громоздкими способами, такими как система теории множеств Цермело – Френкеля .
Теорема Гёделя о неполноте
Неполноты теоремы Геделя две теоремы о математической логике , устанавливающие ограничения , присущие всех , кроме самых тривиальных систем хрестоматийные , способные делать арифметика . Теоремы, доказанные Куртом Геделем в 1931 году, важны как для математической логики, так и для философии математики . Эти два результата широко, но не повсеместно интерпретируются как показывающие, что программа Гильберта по нахождению полного и непротиворечивого набора аксиом для всей математики невозможна, что дает отрицательный ответ на вторую проблему Гильберта .
Первая теорема о неполноте утверждает, что никакая непротиворечивая система аксиом, чьи теоремы могут быть перечислены с помощью « эффективной процедуры » (например, компьютерной программы, но это может быть любой алгоритм), не способна доказать все истины об отношениях естественного числа ( арифметика ). Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но недоказуемы в рамках системы. Вторая теорема о неполноте, являющаяся расширением первой, показывает, что такая система не может продемонстрировать собственную непротиворечивость.
Определение Тарского теоретико-модельного удовлетворения
T-схема или истина схема (не следует путать с « Конвенцией T ») используется , чтобы дать индуктивное определение истины , которая лежит в основе любой реализации Альфред Тарского «s семантической теории истины . Некоторые авторы называют это «схемой эквивалентности», синонимом, введенным Майклом Даммитом .
T-схема часто выражается на естественном языке , но ее можно формализовать в многоуровневой логике предикатов или модальной логике ; такая формализация называется Т-теорией . Т-теории составляют основу многих фундаментальных работ по философской логике , где они применяются в нескольких важных дискуссиях в аналитической философии .
Как выражено на полуестественном языке (где 'S' - это название предложения, сокращенного до S): 'S' истинно тогда и только тогда, когда S
Пример: «снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый.
Невозможность Entscheidungsproblem
Проблема разрешение ( немецкая для « проблем решения ») является проблема , порождаемая Давида Гильбертом в 1928. проблемы разрешения запрашивает алгоритм , который принимает в качестве входных данных заявления в логике первого порядка (возможно , с конечным числом аксиом вне обычных аксиом логики первого порядка) и отвечает «Да» или «Нет» в зависимости от того, является ли утверждение универсальным , т. е. действительным в каждой структуре, удовлетворяющей аксиомам. Согласно теореме о полноте логики первого порядка , утверждение универсально справедливо тогда и только тогда, когда оно может быть выведено из аксиом, поэтому Entscheidungsproblem также может рассматриваться как запрос алгоритма, чтобы решить, доказуемо ли данное утверждение из аксиом. используя правила логики.
В 1936 году Алонзо Черч и Алан Тьюринг опубликовали независимые статьи, показывающие, что общее решение Entscheidungsproblem невозможно, предполагая, что интуитивное обозначение « эффективно вычислимого» улавливается функциями, вычисляемыми машиной Тьюринга (или, что эквивалентно, теми, которые выражаются в лямбда - исчисление ). Это предположение теперь известно как тезис Черча – Тьюринга .
Смотрите также
использованная литература
дальнейшее чтение
- В. Дж. Блок и Дон Пигоцци, " Работа Альфреда Тарского по общей метаматематике ", Журнал символической логики , т. 53, № 1 (март 1988 г.), стр. 36–50.
- IJ Хорошо. «Заметка о парадоксе Ричарда». Разум , Новая серия, Vol. 75, No. 299 (июль 1966 г.), стр. 431. JStor
- Дуглас Хофштадтер , 1980. Гедель, Эшер, Бах . Винтажные книги. Нацелено на мирян.
- Стивен Коул Клини , 1952. Введение в метаматематику . Северная Голландия. Нацелено на математиков.
- Жюль Ришар, «Принципы математики и проблемы ансамблей» , « Женеральное обозрение чистых и прикладных наук» (1905); переведен в Heijenoort J. van (ed.), Source Book in Mathematical Logic 1879-1931 (Кембридж, Массачусетс, 1964).
- Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел . Principia Mathematica , 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 (том 1), 1927 (тома 2, 3). Сокращено как Principia Mathematica до * 56 , Cambridge University Press, 1962.