Матричное кольцо - Matrix ring

В абстрактной алгебре , А кольцо матриц представляет собой набор матриц с элементами в кольце R , которые образуют кольцо под сложения матриц и умножения матриц ( Lam 1999 ). Множество всех матриц размера n × n с элементами в R представляет собой кольцо матриц, обозначенное M _n ( R ) (альтернативные обозначения: Mat _n ( R ) и R ^{n × n} ). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные кольца матриц . Любое подкольцо кольца матриц является кольцом матриц. По звонку можно формировать матрицу звонков.

Когда R - коммутативное кольцо, кольцо матриц M _n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может быть названо матричной алгеброй . В этом случае, если M - матрица, а r находится в R , то матрица rM - это матрица M, каждый элемент которой умножен на r .

Примеры

• Множество всех матриц размера n × n над R обозначается M _n ( R ). Это иногда называют «полным кольцом п матрицы с размерностью п матриц».
• Множество всех верхних треугольных матриц над R .
• Множество всех нижних треугольных матриц над R .
• Множество всех диагональных матриц над R . Эта подалгебра М _п ( R ) является изоморфной к прямому произведению из п копия R .
• Для любого множества индексов I , кольцо эндоморфизмов правого R - модуля изоморфно кольцу из матриц конечных столбцов , элементы которых индексируются I × I и столбцы которой каждая из которых содержит лишь конечное число ненулевых записей. Кольцо эндоморфизмов М , рассматриваемые как левый R - модуль изоморфно кольцу из строк конечных матриц . ${\ textstyle M = \ bigoplus _ {я \ in I} R}$${\ Displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R)}$${\ Displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)}$
• Если R - банахова алгебра , то условие конечности строки или столбца в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы можно использовать абсолютно сходящиеся ряды вместо конечных сумм. Например, матрицы, суммы столбцов которых являются абсолютно сходящимися последовательностями, образуют кольцо. Аналогично, конечно, матрицы, строчные суммы которых являются абсолютно сходящимися рядами, также образуют кольцо. Эту идею можно использовать, например, для представления операторов в гильбертовых пространствах .
• Пересечение колец конечных по строкам и конечных столбцов матриц образует кольцо . ${\ Displaystyle \ mathbb {RCFM} _ {I} (R)}$
• Если R является коммутативным , то М _п ( Р ) имеет структуру * -алгебры над R , где инволюции * на М _п ( R ) является матрицей транспонирование .
• Если A - C * -алгебра , то M _n ( A ) - другая C * -алгебра. Если A неунитальна, то M _n ( A ) также неунитальна. По теореме Гельфанда-Наймарка существует гильбертово пространство H и изометрический * -изоморфизм из A в замкнутую по норме подалгебру алгебры непрерывных операторов B ( H ); это отождествляет M _n ( A ) с подалгеброй в B ( H ). Для простоты, если мы далее предположим, что H сепарабельна, а A B ( H ) - унитальная C * -алгебра, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C * -алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 -  p ; можно идентифицировать A с помощью , где умножение матриц работает, как задумано, из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с кольцом матриц над C * -алгеброй, нам потребуется, чтобы p и 1 -  p имели одинаковый ″ ранг ″; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 -  p были эквивалентны по Мюррею – фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия u такая, что p = uu * и 1 -  p = u * u . Это легко обобщить на матрицы большего размера. ^{${\ displaystyle \ oplus n}$} ${\ displaystyle \ substeq}$ ${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} pAp & pA (1-p) \\ (1-p) Ap & (1-p) A (1-p) \ end {pmatrix}}}$
• Комплексная матрица алгебры М _п ( С ) являются, до изоморфизма только конечномерные простые ассоциативные алгебры над полем C из комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами, а современные авторы назвали бы тензорами в , которое, как позже было показано, изоморфно M ₂ ( C ). Один базис M ₂ ( C ) состоит из четырех матричных единиц (матриц с одной единицей и всеми другими элементами 0); другой базис дается единичной матрицей и тремя матрицами Паули . ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ otimes _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {H}}$
• Кольцо матриц над полем - это алгебра Фробениуса, форма Фробениуса которого задается следом произведения: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Структура

• Кольцо матриц М _п ( Р ) можно определить с кольцом эндоморфизмов в свободной правой R - модуль ранга п ; то есть M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов.
• Кольцо M _n ( D ) над телом D является артиновым простым кольцом , специальным типом полупростого кольца . Кольца и не являются простыми и не артиновыми, если множество I бесконечно, но они по-прежнему являются полными линейными кольцами . ${\ Displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (D)}$${\ Displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D)}$
• Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению для некоторого неотрицательного целого числа r , натуральных чисел n _i и тел D _i . ${\ textstyle \ prod _ {я = 1} ^ {r} \ operatorname {M} _ {n_ {i}} (D_ {i})}$
• Когда мы рассматриваем M _n ( C ) как кольцо линейных эндоморфизмов C ⁿ , те матрицы, которые обращаются в нуль на данном подпространстве V, образуют левый идеал . Наоборот, для данного левого идеала I матрицы M _n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц в I дает подпространство в C ⁿ . При этой конструкции левые идеалы в M _n ( C ) взаимно однозначно соответствуют подпространствам в C ⁿ .
• Между двусторонними идеалами M _n ( R ) и двусторонними идеалами R существует взаимно однозначное соответствие . А именно, для каждого идеала I кольца R множество всех матриц размера n × n с элементами в I является идеалом матрицы M _n ( R ), и каждый идеал матрицы M _n ( R ) возникает таким образом. Отсюда следует, что M _n ( R ) проста тогда и только тогда, когда R проста. Для п ≥ 2 , не каждый левый идеал или правый идеал М _п ( R ) возникает в предыдущей конструкции из левого идеала или правый идеал в R . Например, набор матриц, столбцы которых с номерами от 2 до n равны нулю, образует левый идеал в M _n ( R ).
• Предыдущее идеальное соответствие фактически возникает из того факта, что кольца R и M _n ( R ) эквивалентны по Морите . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых M _n ( R ) -модулей очень похожи. Вследствие этого существует естественное взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левых M _n ( R ) -модулей, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов M _n ( R ). Идентичные утверждения верны для правых модулей и правых идеалов. Через Морит эквивалентность, M _п ( R ) наследует любой Морит-инвариантные свойства R , такие , как быть простым , артины , нетерово , простыми .

Характеристики

• Если S является Подкольцом из R , то М _п ( S ) является подкольцом М _н ( R ). Например, M _n ( Z ) является подкольцом M _n ( Q ).
• Кольцо матриц М _п ( R ) является коммутативным тогда и только тогда , когда п = 0 , R = 0 или R является коммутативным и п = 1 . Фактически это верно и для подкольца верхнетреугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхнетреугольные матрицы 2 × 2, которые не коммутируют, при условии, что 1 ≠ 0 :

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}}$

  и

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• При n ≥ 2 кольцо матриц M _n ( R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое верно и для кольца верхнетреугольных матриц. Примером в матрицах 2 × 2 будет

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• Центр М _н ( R ) состоит из скалярных кратных единичной матрицы , в которой скалярное принадлежит к центру R .
• Группа единиц M _n ( R ), состоящая из обратимых матриц при умножении, обозначается GL _n ( R ).
• Если F - поле, то для любых двух матриц A и B из M _n ( F ) из равенства AB = 1 следует BA = 1 . Это не верно для любого кольца R , хотя. Кольцо R , все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо ( Лам 1999 , стр. 5).

Матричное полукольцо

Фактически, R должно быть только полукольцом для определения M _n ( R ). В этом случае M _n ( R ) - полукольцо, называемое матричным полукольцом . Аналогично, если R - коммутативное полукольцо, то M _n ( R ) - матричная полуалгебра .

Например, если R - булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R  = {0,1} с 1 + 1 = 1), то M _n ( R ) - полукольцо бинарных отношений на n -элементном множестве с объединение как сложение, композиция отношений как умножение, пустое отношение ( нулевая матрица ) как ноль и тождественное отношение ( единичная матрица ) как единица.

Смотрите также

• Центральная простая алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Универсальное матричное кольцо
• Закон инерции Сильвестра

Рекомендации