Спинорное поле - Spinor field

В дифференциальной геометрии , учитывая спиновую структуру на п - мерного ориентируемого риманова многообразия ( М, д ), А сечение на спинором расслоения S называется спинорное поле . Спиновое расслоение - это комплексное векторное расслоение, ассоциированное с соответствующим главным расслоением спиновых систем отсчета над M через спинорное представление его структурной группы Spin ( n ) на пространстве спиноров ∆ _n . ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}}: {\ mathbf {S}} \ to M \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {P}}: {\ mathbf {P}} \ to M \,}$

В физике элементарных частиц частицы со спином s описываются 2s- мерным спинорным полем, где s - целое или полуцелое число. Фермионы описываются спинорным полем, а бозоны - тензорным полем.

Формальное определение

Пусть ( P , F _P ) - спиновая структура на римановом многообразии ( M, g ), т. Е. Эквивариантный подъем ориентированного ортонормированного расслоения реперов относительно двойного накрытия ${\ Displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ to M}$ ${\ displaystyle \ rho: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n) \ ,.}$

Обычно спинорное расслоение определяется как комплексное векторное расслоение ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}}: {\ mathbf {S}} \ to M \,}$

{\ displaystyle {\ mathbf {S}} = {\ mathbf {P}} \ times _ {\ kappa} \ Delta _ {n} \,}

связанный с спиновой структуры Р через спин представления , где U ( W ) обозначает группу из унитарных операторов , действующих на гильбертовом пространстве W . ${\ displaystyle \ kappa: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {U}} (\ Delta _ {n}), \,}$

Спинорное поле определяется как сечение спинором расслоения S , т.е. гладкое отображение такое , что тождественное отображение идентификатор _М из М . ${\ displaystyle \ psi: M \ to {\ mathbf {S}} \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}} \ circ \ psi: M \ to M \,}$