Косоэрмитова матрица - Skew-Hermitian matrix
В линейной алгебре , квадратная матрица с комплексными записями называются косоэрмиты или антиэрмиты , если его сопряженное транспонирование является негативом исходной матрицы. То есть матрица косоэрмитова, если она удовлетворяет соотношению
где обозначает сопряженное транспонирование матрицы . В компонентной форме это означает, что
для всех индексов и , где - элемент в -й строке и -м столбце , а верхняя черта обозначает комплексное сопряжение .
Косоэрмитовы матрицы можно понимать как комплексные версии реальных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. Множество всех косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли , которая соответствует группе Ли U ( n ) . Эту концепцию можно обобщить, чтобы включить линейные преобразования любого комплексного векторного пространства с полуторалинейной нормой .
Обратите внимание, что сопряженный оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого на размерном комплексном или реальном пространстве . Если обозначает скалярное произведение на , то сказать кососопряженный означает, что для всех один имеет .
Мнимые числа можно рассматривать как кососопряженные (поскольку они подобны матрицам), тогда как действительные числа соответствуют самосопряженным операторам.
Пример
Например, следующая матрица косоэрмитова
потому что
Характеристики
- Все собственные значения косоэрмитовой матрицы являются чисто мнимыми (и, возможно, нулевыми). Кроме того, косоэрмитовы матрицы нормальны . Следовательно, они диагонализуемы, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональными.
- Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми ; т.е. на мнимой оси (число ноль тоже считается чисто мнимым).
- Если и являются косоэрмитовыми, то косоэрмитовыми для всех действительных скаляров и .
- является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда (или эквивалентно ) эрмитово .
- являются косоэрмитами тогда и только тогда , когда действительная часть является кососимметрична и мнимой частью является симметричной .
- Если косоэрмитово, то является эрмитовым, если является четным целым числом, и косоэрмитовым, если является нечетным целым числом.
- является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда для всех векторов .
- Если это косоэрмиты, то матрица экспоненциальный является унитарным .
- Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли из группы Ли .
Разложение на эрмитово и косоэрмитово
- Сумма квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной эрмитовой матрицы .
- Различие квадратной матрицы и сопряженного к ней транспонирования косоэрмитово. Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов.
- Произвольную квадратную матрицу можно записать как сумму эрмитовой матрицы и косоэрмитовой матрицы :
Смотрите также
Примечания
- ^ Horn & Johnson (1985) , §4.1.1; Мейер (2000) , §3.2
- ^ Horn & Johnson (1985) , §4.1.2
- ^ Horn & Johnson (1985) , §2.5.2, §2.5.4
- ^ Мейер (2000) , упражнение 3.2.5
- ^ a b Хорн и Джонсон (1985) , §4.1.1
использованная литература
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
- Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.