Гипотеза Серра II (алгебра) - Serre's conjecture II (algebra)

В математике , Жан-Пьер Серр предположил следующее заявление относительно когомологий Галуа в виде односвязной полупростой алгебраической группы . А именно, он предположил , что если G является такая группа над совершенным полем F из когомологической размерности не более чем 2, то Галуа когомологий множество Н 1 ( F ,  G ) равен нулю.

Верна обратная гипотеза: если поле F совершенно и если множество когомологий H 1 ( F ,  G ) равно нулю для любой полупростой односвязной алгебраической группы G, то p -когомологическая размерность F не превосходит 2 для любого простого числа стр .

Гипотеза верна в случае, когда F - локальное поле (такое как p-адическое поле ) или глобальное поле без реальных вложений (такое как Q ( √ −1 )). Это частный случай принципа Кнезера – Хардера – Черноусова Хассе для алгебраических групп над глобальными полями. (Заметим, что такие поля действительно имеют когомологическую размерность не более 2.) Гипотеза также верна, когда F конечно порождено над комплексными числами и имеет степень трансцендентности не более 2.

Гипотеза Известно также , что удержание для определенных групп  G . Для специальных линейных групп это следствие теоремы Меркурьева – Суслина . Основываясь на этом результате, гипотеза верна, если G - классическая группа . Гипотеза также верна, если G - один из определенных видов исключительных групп .

Рекомендации

  1. ^ Серр, JP. (1962). "Cohomologie galoisienne des groupes algébriques linéaires". Colloque sur la théorie des groupes algébriques : 53–68.
  2. ^ а б Серр, JP. (1964). Cohomologie galoisienne . Конспект лекций по математике. 5 . Springer.
  3. ^ Серр, Жан-Пьер (1995). "Cohomologie galoisienne: progrès et problèmes" . Astérisque . 227 : 229–247. Руководство по ремонту   1321649 . Zbl   0837.12003 - через NUMDAM.
  4. ^ де Йонг, AJ; Он, Сюйхуа; Старр, Джейсон Майкл (2008). «Семейства рационально односвязных многообразий над поверхностями и торсоры для полупростых групп». arXiv : 0809.5224 [ math.AG ].
  5. ^ Merkurjev, AS; Суслин, А.А. (1983). «K-когомологии многообразий Севери-Брауэра и гомоморфизм вычета нормы». Математика. Известия СССР . 21 (2): 307–340. Bibcode : 1983IzMat..21..307M . DOI : 10.1070 / im1983v021n02abeh001793 .
  6. ^ Bayer-Fluckiger, E .; Паримала Р. (1995). «Когомологии Галуа классических групп над полями когомологической размерности ≤ 2». Inventiones Mathematicae . 122 : 195–229. Bibcode : 1995InMat.122..195B . DOI : 10.1007 / BF01231443 . S2CID   124673233 .
  7. Перейти ↑ Gille, P. (2001). «Cohomologie galoisienne des groupes algebriques quasi-déployés sur des corps de Dimension cohomologique ≤ 2» . Compositio Mathematica . 125 (3): 283–325. DOI : 10,1023 / A: 1002473132282 . S2CID   124765999 .

внешние ссылки