Многогранник Шёнхардта - Schönhardt polyhedron

Многогранник Шёнхардта.
3D модель многогранника Шёнхардта

В геометрии , то многогранник Schönhardt является простейшие невыпуклой многогранник , который не может быть триангулирован в тетраэдры без добавления новых вершин. Он назван в честь немецкого математика Эриха Шёнхардта , который описал его в 1928 году. Те же самые многогранники также изучались в связи с теоремой Коши о жесткости в качестве примера, где многогранники двух разных форм имеют грани одинаковой формы.

строительство

Schönhardt многогранник может быть образован двумя конгруэнтных равносторонних треугольников в двух параллельных плоскостях, таким образом, что линия , проходящая через центры треугольников перпендикулярно плоскостям. Два треугольника должны быть скручены относительно друг друга, чтобы они не были ни перемещениями друг друга, ни отражениями друг друга на 180 градусов.

Выпуклая оболочка этих двух треугольников образует выпуклый многогранник , что комбинаторно эквивалентно правильного октаэдра ; Наряду с ребрами треугольника он имеет шесть ребер, соединяющих два треугольника друг с другом, с двумя разными длинами и тремя внутренними диагоналями . Многогранник Шёнхардта образуется удалением трех самых длинных соединительных ребер и заменой их тремя диагоналями выпуклой оболочки. Эквивалентная процедура - начать с правильного октаэдра и скрутить одну грань в его плоскости, не ломая ребер. При повороте на 60 ° образуется треугольная призма; при повороте на 120 ° два тетраэдра разделяют центральную вершину; любое отклонение между этими двумя случаями дает многогранник Шёнхардта.

В качестве альтернативы многогранник Шёнхардта может быть сформирован путем удаления трех непересекающихся тетраэдров из этой выпуклой оболочки: каждый из удаленных тетраэдров представляет собой выпуклую оболочку из четырех вершин из двух треугольников, по две из каждого треугольника. Это удаление приводит к замене более длинного из трех соединительных ребер тремя новыми ребрами с вогнутыми двугранными углами , образуя невыпуклый многогранник.

Свойства

Многогранник Шёнхардта комбинаторно эквивалентен правильному октаэдру : его вершины, ребра и грани могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие с особенностями правильного октаэдра. Однако, в отличие от правильного октаэдра, три его ребра имеют вогнутые двугранные углы , и эти три ребра образуют идеальное совпадение графика октаэдра; этого факта достаточно, чтобы показать, что его нельзя триангулировать.

Шесть вершин многогранника Шёнхардта можно использовать для образования пятнадцати неупорядоченных пар вершин. Двенадцать из этих пятнадцати пар образуют ребра многогранника: в двух гранях равностороннего треугольника шесть ребер и шесть ребер, соединяющих два треугольника. Остальные три ребра образуют диагонали многогранника, но целиком лежат вне многогранника.

Невозможность триангуляции

Многогранник Шёнхардта невозможно разбить на тетраэдры , вершины которых являются вершинами многогранника. Более того, не существует тетраэдра, который целиком лежит внутри многогранника Шенхардта и имеет вершины многогранника в качестве четырех его вершин. Ведь среди любых четырех вершин многогранника Шёнхардта хотя бы одна пара вершин из этих четырех вершин должна быть диагональю многогранника, лежащего целиком вне многогранника.

Прыгающий многогранник

В связи с теорией изгибаемых многогранников , примеры многогранника Шёнхардта образуют «прыгающий многогранник»: многогранник, который имеет два различных жестких состояния, оба имеют одинаковые формы граней и одинаковую ориентацию (выпуклую или вогнутую) каждого ребра. Модель, поверхность которой сделана из жесткого, но несколько деформируемого материала, такого как картон, может «прыгать» между двумя формами, хотя твердотельная модель или модель, сделанная из более жесткого материала, такого как стекло, не может изменять форму в сюда. Это контрастирует с теоремой Коши о жесткости , согласно которой для каждого выпуклого многогранника нет другого многогранника с такой же формой граней и ориентацией ребер ( Грюнбаум, 1975 ).

Связанные конструкции

Рамбау (2005) показал, что многогранник Шёнхардта может быть обобщен на другие многогранники, комбинаторно эквивалентные антипризмам , которые нельзя триангулировать. Эти многогранники образованы соединением правильных k -угольников в двух параллельных плоскостях, закрученных друг относительно друга, таким образом, что k из 2 k ребер, соединяющих два k -угольника, имеют вогнутые двугранники. Другой многогранник, который нельзя триангулировать, - это икосаэдр Джессена , комбинаторно эквивалентный правильному икосаэдру .

В другом направлении Багемиль (1948) построил многогранник, который разделяет с многогранником Шёнхардта то свойство, что он не имеет внутренних диагоналей . Тетраэдра и многогранник Császár нет диагоналей на всех: каждая пара вершин этих многогранников образует ребро. Остается открытым вопрос, существуют ли какие-либо другие многогранники (с краем многообразия ) без диагоналей ( Ziegler, 2008 ), хотя существуют неоднородные поверхности без диагоналей и с любым числом вершин больше пяти (Szabó  1984 , 2009 ).

Приложения

Ruppert & Seidel (1992) использовали многогранник Шёнхардта в качестве основы для доказательства того, что он NP-полон, чтобы определить, можно ли триангулировать невыпуклый многогранник.

Ссылки

  • Bagemihl, F. (1948), "О неразложимых многогранников", American Mathematical Monthly , 55 (7): 411-413, DOI : 10,2307 / 2306130 , JSTOR  2306130
  • Грюнбаум, Бранко (1975), Лекции по утраченной математике (PDF) , стр. 41–42.
  • Рамбау, Дж. (2005), "Об одном обобщении многогранника Шёнхардта" (PDF) , в Goodman, Jacob E .; Пах, Янош ; Вельцль, Эмо (ред.), Комбинаторная и вычислительная геометрия , Публикации ИИГС, 52 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 501–516
  • Ruppert, J .; Сейдел, Р. (1992), "О сложности триангуляции трехмерных невыпуклых многогранников", Дискретная & Вычислительная геометрия , 7 : 227-253, DOI : 10.1007 / BF02187840
  • Schönhardt, Е. (1928), "Убер умереть Zerlegung фон Dreieckspolyedern в Tetraeder" , Mathematische Annalen , 98 : 309-312, DOI : 10.1007 / BF01451597
  • Сабо, Шандор (1984), "Многогранники без диагоналей", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41-49, DOI : 10.1007 / BF02109370
  • Сабо, Шандор (2009), «Многогранники без диагоналей II», Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, DOI : 10.1007 / s10998-009-10181-x
  • Циглер, Гюнтер М. (2008), "Многогранные поверхности высокого рода", в Бобенко, AI; Schröder, P .; Салливан, JM ; и другие. (ред.), Дискретная дифференциальная геометрия , семинары в Обервольфахе, 38 , Springer-Verlag, стр. 191–213, arXiv : math / 0412093 , doi : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7, math.MG/0412093

внешние ссылки