Диагональ - Diagonal

Диагонали куба с длиной стороны 1. AC '(показано синим) - это диагональ пространства с длиной , а AC (показано красным) - диагональ грани и имеет длину .${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

В геометрии , A диагонали является отрезок , соединяющий две вершины из более многоугольника или многогранника , когда эти вершины не находятся на одной и той же кромке . Неформально любую наклонную линию называют диагональной. Слово диагональные происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , «от угла до угла» (от διά- диа- , «через», «через» и γωνία Gonia , «угол», связанное с gony «колено»); он использовался и Страбоном, и Евклидом для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , а позже был принят на латыни как диагонус («наклонная линия»).

В матричной алгебре диагональ квадратной матрицы - это набор элементов, простирающихся от одного угла до самого дальнего угла.

Есть и другие нематематические применения.

Нематематическое использование

Стенд основных строительных лесов на строительной площадке дома с диагональными распорками для сохранения конструкции.

В инженерии диагональная скоба - это балка, используемая для крепления прямоугольной конструкции (например, строительных лесов ), чтобы выдерживать сильные силы, проталкиваемые в нее; хотя диагональные скобы и называются диагональными, из практических соображений они часто не соединяются с углами прямоугольника.

Диагональные плоскогубцы - это кусачки, режущие кромки челюстей которых пересекают стыковочную заклепку под углом или «по диагонали», отсюда и название.

Диагонали присоединительный представляет собой тип присоединительного используется для связывания лонжеронов или полюсов вместе наносит таким образом , чтобы пересечь найтовы полюсов под углом.

В футболе , то диагональная система управления является метод судьей и помощники судей использовать , чтобы позиционировать себя в одном из четырех квадрантов поля.

Диагональ - это обычное измерение размера дисплея .

Полигоны

Применительно к многоугольнику диагональ - это отрезок прямой, соединяющий любые две непоследовательные вершины. Следовательно, у четырехугольника две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для повторно входящих многоугольников некоторые диагонали находятся за пределами многоугольника.

Любой n- сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет диагонали, так как каждая вершина имеет диагонали ко всем остальным вершинам, кроме себя и двух соседних вершин, или n  - 3 диагонали, и каждая диагональ делится на две вершины. ${\ Displaystyle {\ tfrac {п (п-3)} {2}}}$

Области, образованные диагоналями

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не совпадают в одной точке внутри, количество областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется как

${\ Displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}$

Для n -угольников с n = 3, 4, ... количество областей равно

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 ...

Это последовательность OEIS A006522.

Пересечения диагоналей

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не совпадают во внутренней точке, количество внутренних пересечений диагоналей равно . Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя конечными точками двух пересекающихся диагоналей: количество пересечений, таким образом, является количеством комбинаций из n вершин по четыре за раз. ${\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}$

Правильные многоугольники

У треугольника нет диагоналей.

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1,414.}$

У правильного пятиугольника пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне - это золотое сечение ,${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ примерно 1,618.}$

У правильного шестиугольника девять диагоналей: шесть более коротких равны друг другу по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне . ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$

У правильного семиугольника 14 диагоналей. Семь более коротких равны друг другу, а семь более длинных равны друг другу. Обратная сторона равна сумме обратных величин короткой и длинной диагонали.

В любом правильном n -угольнике с четным n все длинные диагонали пересекаются друг с другом в центре многоугольника.

Многогранники

Полиэдр (а твердый объект в трехмерном пространстве , ограниченный двумерный грани ) может иметь два различные типа диагоналей: лицевые диагонали на различных гранях, соединяющий несмежные вершины на одной грани; и диагонали пространства , полностью внутри многогранника (за исключением концов на вершинах).

Как у треугольника нет диагоналей, так и у тетраэдра (с четырьмя треугольными гранями) нет диагоналей граней и диагоналей пространства.

Кубовидной имеет две диагонали на каждой из шести граней и четырех пространственных диагоналей.

Матрицы

В случае квадратной матрицы , то основная или главная диагональ диагональной линии записей , идущих от верхнего левого угла в нижнем правом углу. Для матрицы с индексом строки, заданным с помощью, и индексом столбца, указанным с помощью , это будут записи с . Например, единичная матрица может быть определена как имеющая элементы 1 на главной диагонали и нули в другом месте: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle i = j}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Диагональ от верхнего правого до нижнего левого угла иногда называют малой диагональю или антидиагональю . В Недиагональные записи являются те , которые не на главной диагонали. Диагональная матрица является тот , чьи отходящие диагональные элементы равны нулю.

От диагонали записи является тот , который находится непосредственно выше и справа от главной диагонали. Так же , как диагональные элементы являются те , с , в наддиагональных записях являются те , с . Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат в наддиагонали: ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle j = i}$${\ displaystyle j = я + 1}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Точно так же поддиагональная запись - это запись, которая находится непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть запись со значком . Диагонали общей матрицы могут быть заданы индексом, измеряемым относительно главной диагонали: главная диагональ имеет ; супердиагональ имеет ; поддиагональ имеет ; и вообще -диагональ состоит из элементов с . ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle j = i-1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = -1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ Displaystyle j = я + к}$

Геометрия

По аналогии, подмножество в декартово произведение X × X любого множества X с самим собой, состоящей из всех пар (х, х), называется диагональной, и является графиком из равенства отношения на X или , что эквивалентно график , из тождественная функция от X до x . Это играет важную роль в геометрии; например, фиксированные точки из А отображения F из X в себе могут быть получены при пересечении графика F с диагональю.

В геометрических исследованиях распространена идея пересечения диагонали с самой собой , причем не напрямую, а путем возмущения ее в пределах класса эквивалентности . На глубоком уровне это связано с эйлеровой характеристикой и нулями векторных полей . Например, окружность S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0 и, следовательно, характеристику Эйлера 0. Геометрический способ выразить это - взглянуть на диагональ на двумерном торе S ¹ xS ¹ и заметить, что он может отодвинуться от себя небольшим движением (θ, θ) к (θ, θ + ε). В общем, число пересечения графика функции с диагональю может быть вычислено с использованием гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

Смотрите также

• Нормальная форма Джордана
• Главная диагональ
• Диагональный функтор

Примечания

использованная литература

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

внешние ссылки

• Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
• Диагональ многоугольника из MathWorld .
• Диагональ матрицы из MathWorld .