Ротор (математика) - Rotor (mathematics)

Ротора является объектом в геометрической алгебре в виде векторного пространства (также называется алгебра Клиффорда ) , что представляет собой вращение о происхождении . Термин возник от Уильяма Кингдона Клиффорда , когда он показал, что алгебра кватернионов является лишь частным случаем «теории расширения» Германа Грассмана (Ausdehnungslehre). Хестенс определил ротор как любой элемент геометрической алгебры, который может быть записан как произведение четного числа единичных векторов и удовлетворяет , где - «обратная сторона»${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R {\ тильда {R}} = 1}$${\ displaystyle {\ tilde {R}}}$${\ displaystyle R}$- то есть произведение тех же векторов, но в обратном порядке.

Определение

В математике ротор в геометрической алгебре векторного пространства V - это то же самое, что элемент спиновой группы Spin ( V ). Мы определим эту группу ниже.

Пусть V векторное пространство , снабженное положительно определенной квадратичной формы д , и пусть Cl ( V ) будет геометрическая алгебра , ассоциированная с V . Алгебра Cl ( V ) является фактором- тензорной алгебры из V соотношений для всех . (Тензорное произведение в Cl ( V ) - это то, что называется геометрическим произведением в геометрической алгебре и в этой статье обозначается через .) Z -градуировка тензорной алгебры V спускается до Z / 2 Z -градуировки на Cl ( V ), который мы обозначим через${\ Displaystyle v \ cdot v = q (v)}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) = \ operatorname {Cl} ^ {\ text {even}} (V) \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {\ text {odd}} (V).}$

Здесь Cl ^even ( V ) генерируется лезвиями четной степени, а Cl ^odd ( V ) генерируется лезвиями нечетной степени.

Существует уникальный антиавтоморфизм Cl ( V ), который ограничивается тождеством на V : это называется транспонированием, и транспонирование любого мультивектора a обозначается через . На лезвии (т. Е. Простом тензоре) он просто меняет порядок множителей. Спиновая группа Spin ( V ) определяется как подгруппа в Cl ^even ( V ), состоящая из мультивекторов R , то есть она состоит из мультивекторов, которые могут быть записаны как произведение четного числа единичных векторов. ${\ Displaystyle {\ тильда {а}}}$${\ displaystyle R {\ tilde {R}} = 1.}$

Действие как вращение в векторном пространстве

α > θ / 2

α < θ / 2

Поворот вектора a на угол θ , как двойное отражение вдоль двух единичных векторов n и m , разделенных углом θ / 2 (а не только θ ). Каждый штрих на значке обозначает отражение. Плоскость диаграммы - это плоскость вращения.

Отражения вдоль вектора в геометрической алгебре могут быть представлены как (минус) прослоение мультивектора M между ненулевым вектором v, перпендикулярным гиперплоскости отражения, и обратным вектором v ⁻¹ :

${\ displaystyle -vMv ^ {- 1}}$

и имеют ровный класс. При вращении, создаваемом ротором R , общий многовектор M будет двусторонне трансформироваться как

${\ displaystyle RMR ^ {- 1}.}$

Это действие дает сюръективный гомоморфизм, представляющий Spin ( V ) как двойное покрытие SO ( V ). (См. Дополнительную информацию в группе Spin .) ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (V) \ to \ operatorname {SO} (V)}$

Ограниченная альтернативная формулировка

Для евклидова пространства может быть удобно рассмотреть альтернативную формулировку, и некоторые авторы определяют операцию отражения как (за вычетом) слияния единичного (то есть нормализованного) многовекторного:

${\ displaystyle -vMv, \ quad v ^ {2} = 1,}$

формирование роторов, которые автоматически нормализуются:

${\ Displaystyle R {\ тильда {R}} = {\ тильда {R}} R = 1.}$

Производное действие ротора затем выражается как сэндвич-продукт с обратным:

${\ Displaystyle РМ {\ тильда {R}}}$

Для отражения, для которого связанный вектор квадратов к отрицательному скаляру, как может быть в случае с псевдоевклидовым пространством , такой вектор может быть нормализован только до знака его квадрата, и дополнительный учет знака приложения ротор становится необходимым. Состав сэндвич-продукта с обратной стороной, как указано выше, не имеет такого недостатка.

Вращения мультивекторов и спиноров

Однако, хотя мультивекторы также трансформируются двусторонне, роторы можно комбинировать и формировать группу , и поэтому несколько роторов составляют одностороннее. Альтернативная формулировка, приведенная выше, не является самонормализуемой и мотивирует определение спинора в геометрической алгебре как объекта, который трансформируется односторонне, т. Е. Спиноры могут рассматриваться как ненормализованные роторы, в которых обратное, а не обратное, используется в сэндвич-продукт.

Однородные алгебры представлений

В однородных алгебрах представлений, таких как конформная геометрическая алгебра , ротор в пространстве представления соответствует вращению вокруг произвольной точки , сдвигу или, возможно, другому преобразованию в базовом пространстве.

Смотрите также

• Двойное вращение
• Группа Ли
• Формула Эйлера
• Генератор (математика)

использованная литература