Нейтральная к риску мера - Risk-neutral measure

В математических финансах нейтральная к риску мера (также называемая мерой равновесия или эквивалентной мерой мартингала ) является мерой вероятности, так что цена каждой акции в точности равна дисконтированному ожиданию цены акции в соответствии с этой мерой. Это широко используется при ценообразовании производных финансовых инструментов из-за фундаментальной теоремы о ценообразовании активов , которая подразумевает, что на полном рынке цена производного инструмента представляет собой дисконтированную ожидаемую стоимость будущей выплаты в соответствии с уникальной мерой, нейтральной к риску. Такая мера существует тогда и только тогда, когда на рынке нет арбитража.

Самый простой способ запомнить, что такое нейтральная к риску мера, или объяснить ее специалисту по теории вероятностей, который, возможно, не очень разбирается в финансах, - это осознать, что это:

Вероятностная мера преобразованной случайной величины. Обычно это преобразование представляет собой функцию полезности выплаты. Нейтральная к риску мера была бы мерой, соответствующей ожиданию выплаты при линейной полезности.
Подразумеваемая вероятностная мера, то есть один подразумеваемая от текущего наблюдаемого / Послано / торговала цены соответствующих инструментов. Релевантные означает те инструменты, которые причинно связаны с событиями в рассматриваемом вероятностном пространстве (т. Е. Базовые цены плюс производные финансовые инструменты), и
Это подразумеваемая вероятностная мера (решающая своего рода обратную задачу), которая определяется с использованием линейной (нейтральной к риску) полезности в выигрыше, предполагая некоторую известную модель для выигрыша. Это означает, что вы пытаетесь найти нейтральную с точки зрения риска меру, решая уравнение, в котором текущие цены представляют собой ожидаемую приведенную стоимость будущих выплат в соответствии с нейтральной с точки зрения риска мерой. Концепция уникальной нейтральной по отношению к риску меры наиболее полезна, когда кто-то представляет себе определение цен по ряду деривативов, которые будут представлять собой уникальную нейтральную с точки зрения риска меру, поскольку она подразумевает своего рода согласованность гипотетических неторгуемых цен и теоретически указывает на возможности арбитража на рынках, где видны цены покупки и продажи.

Также стоит отметить, что в большинстве вводных приложений в области финансов рассматриваемые выплаты являются детерминированными при условии знания цен на каком-либо терминале или в будущий момент времени. Для использования этих методов не обязательно.

Мотивация использования нейтральных к риску мер

Цены на активы в решающей степени зависят от их риска, поскольку инвесторы обычно требуют большей прибыли, чтобы нести больший риск. Таким образом, сегодняшняя цена требования по рисковой сумме, реализованной завтра, обычно будет отличаться от ее ожидаемой стоимости. Чаще всего инвесторы не склонны к риску, и сегодняшняя цена ниже ожиданий, вознаграждая тех, кто несет риск (по крайней мере, на крупных финансовых рынках ; примерами рынков, стремящихся к риску, являются казино и лотереи ).

Следовательно, чтобы оценить активы , рассчитанные ожидаемые значения должны быть скорректированы с учетом предпочтений инвестора в отношении риска (см. Также коэффициент Шарпа ). К сожалению, ставки дисконтирования будут варьироваться между инвесторами, и индивидуальное предпочтение риска трудно определить количественно.

Оказывается, что в полном рынке с не арбитражными возможностей есть альтернативный способ сделать этот расчет: Вместо первого приема ожидания , а затем корректировки на предпочтения риска инвестора, можно регулировать, раз и навсегда, вероятности будущего такие результаты, что они включают все премии за риск инвесторов, а затем принимают ожидания в соответствии с этим новым распределением вероятностей, нейтральной по отношению к риску мерой . Основное преимущество заключается в том, что после обнаружения нейтральных к риску вероятностей каждый актив можно оценить, просто взяв текущую стоимость его ожидаемой выплаты. Обратите внимание: если бы мы использовали фактические вероятности реального мира, для каждой ценной бумаги потребовалась бы другая корректировка (поскольку они различаются по степени риска).

Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования меры, нейтральной к риску. Фактически, согласно фундаментальной теореме ценообразования активов , условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию меры, нейтральной к риску. Полнота рынка также важна, потому что на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным параметрам, нейтральным к риску. Обычно утверждают, что рыночная эффективность предполагает наличие только одной цены (« закон одной цены »); правильная нейтральная к риску мера цены, которая должна быть выбрана с использованием экономических, а не чисто математических аргументов.

Распространенная ошибка - путать построенное распределение вероятностей с реальной вероятностью. Они будут разными, потому что в реальном мире инвесторы требуют премии за риск, тогда как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую норму доходности, безрисковую ставку (или короткую ставку ) и, следовательно, не включайте такие премии. Метод ценообразования без учета риска следует рассматривать, как и многие другие полезные вычислительные инструменты - удобные и мощные, даже если они кажутся искусственными.

Происхождение нейтральной по отношению к риску меры (ценные бумаги Arrow)

Естественно спросить, как появляется нейтральная к риску мера на рынке, свободном от арбитража. Каким-то образом цены на все активы будут определять вероятностную меру. Одно объяснение дается с использованием защиты Arrow . Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир только с одним временным горизонтом будущего. Другими словами, есть настоящее (время 0) и будущее (время 1), а в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Ценная бумага Arrow, соответствующая состоянию n , A _n , - это ценная бумага , которая платит 1 доллар в момент времени 1 в состоянии n и 0 долларов в любом из других состояний мира.

Какова цена А _п сейчас? Он должен быть положительным, так как есть шанс выиграть 1 доллар; он должен быть меньше 1 доллара, так как это максимально возможный выигрыш. Таким образом, цена каждого A _n , который мы обозначим через A _n (0) , находится строго между 0 и 1.

Фактически, сумма всех цен на ценные бумаги должна быть равна приведенной стоимости в 1 доллар, потому что владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Arrow, приведет к определенной выплате в 1 доллар. Рассмотрим розыгрыш, в котором один билет выигрывает приз из всех вступительных взносов: если приз составляет 1 доллар, вступительный взнос будет равен 1 / количество билетов. Для простоты мы будем считать, что процентная ставка равна 0, так что приведенная стоимость 1 доллара равна 1 доллару.

Таким образом, A _n (0) удовлетворяют аксиомам вероятностного распределения. Каждый из них неотрицателен, и их сумма равна 1. Это мера, нейтральная к риску! Теперь осталось показать, что он работает так, как рекламируется, то есть принятие ожидаемых значений в отношении этой меры вероятности даст правильную цену в момент времени 0.

Предположим, у вас есть ценная бумага C , цена которой в момент 0 равна C (0) . В будущем в состоянии i его выигрыш будет C _i . Рассмотрим портфель P, состоящий из суммы C _i каждой ценной бумаги Arrow A _i . В будущем, какое бы состояние i ни произошло, A _i платит 1 доллар, в то время как другие ценные бумаги Arrow платят 0 долларов, поэтому P заплатит C _i . Другими словами, портфель P воспроизводит выигрыш C независимо от того, что произойдет в будущем. Отсутствие возможностей арбитража означает, что цена P и C должна быть сейчас одинаковой, поскольку любая разница в цене означает, что мы можем без какого-либо риска (короткую) продать более дорогое, купить более дешевое и присваивать разницу. В будущем нам нужно будет вернуть коротко проданный актив, но мы можем профинансировать это именно за счет продажи нашего купленного актива, оставив нам нашу первоначальную прибыль.

Рассматривая каждую цену ценной бумаги Arrow как вероятность , мы видим, что цена портфеля P (0) является ожидаемым значением C при нейтральных к риску вероятностях. Если бы процентная ставка R не была равна нулю, нам нужно было бы соответствующим образом дисконтировать ожидаемую стоимость, чтобы получить цену. В частности, портфель, состоящий из каждой ценной бумаги Arrow, теперь имеет приведенную стоимость , поэтому нейтральная к риску вероятность состояния i становится умноженной на цену каждой ценной бумаги Arrow A _i или ее форвардную цену . ${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + R}}}$ ${\ Displaystyle (1 + R)}$

Обратите внимание, что ценные бумаги Arrow на самом деле не нужно продавать на рынке. Именно здесь вступает в игру полнота рынка. На полноценном рынке каждую ценную бумагу Arrow можно воспроизвести с использованием портфеля реальных торгуемых активов. Приведенный выше аргумент по-прежнему работает при рассмотрении каждой ценной бумаги Arrow как портфеля.

В более реалистичной модели, такой как модель Блэка – Шоулза и ее обобщения, наша безопасность Arrow будет чем-то вроде двойного цифрового опциона , который приносит 1 доллар, когда базовый актив находится между нижней и верхней границей, и 0 долларов в противном случае. Цена такого опциона затем отражает точку зрения рынка на вероятность того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, скорректированная на премию за риск, что полностью аналогично тому, как мы получили вышеупомянутые вероятности для одношагового дискретного мира.

Применение

Меры, не связанные с риском, позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в формуле. Предположим, что в будущем производный финансовый инструмент (например, опцион колл на акции ) будет платить единицы, где - случайная величина в вероятностном пространстве, описывающем рынок. Далее предположим, что коэффициент дисконтирования с настоящего момента (ноль времени) до времени равен . Тогда сегодняшняя справедливая стоимость производного инструмента равна ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle H_ {T}}$ ${\ displaystyle H_ {T}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle P (0, T)}$

{\ displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ operatorname {E} _ {Q} (H_ {T}).}

где мартингальная мера (T-прямая мера) обозначается через . В терминах физической меры P это можно переформулировать как ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ operatorname {E} _ {P} \ left ({\ frac {dQ} {dP}} H_ {T} \ right)}

где это производная Радона-Никодима по отношению к . ${\ displaystyle {\ frac {dQ} {dP}}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$

Другое название меры, нейтральной к риску, - это эквивалентная мера мартингейла . Если на финансовом рынке существует только одна нейтральная к риску мера, то для каждого актива на рынке существует уникальная цена без арбитража. Это основная теорема ценообразования без арбитража . Если таких мер больше, то в интервале цен никакой арбитраж невозможен. Если эквивалентной меры мартингейла не существует, существуют возможности для арбитража.

На рынках с трансакционными издержками, без знаменателя , то последовательный процесс ценообразования занимает место эквивалентной мартингальной меры. Существует на самом деле 1-к-1 соотношение между последовательным процессом ценообразования и эквивалентной мерой мартингальной.

Пример 1 - Биномиальная модель цен на акции

Учитывая вероятностное пространство , рассмотрим однопериодную биномиальную модель. Вероятностная мера называется риск нейтральным , если для всех , . Предположим, у нас есть экономика с двумя состояниями: начальная цена акций может повышаться или понижаться до . Если процентная ставка равна , и (в противном случае на рынке существует арбитраж ), то нейтральная к риску вероятность восходящего движения акций определяется числом ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P ^ {*}}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {0, ..., d \}}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {я} = \ mathbb {E} _ {\ mathbb {P} ^ {*}} (S ^ {i} / (1 + r))}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S ^ {u}}$ ${\ Displaystyle S ^ {d}}$ ${\ displaystyle R> 0}$ ${\ Displaystyle S ^ {d} \ leq (1 + R) S \ leq S ^ {u}}$

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {(1 + R) SS ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}.}

Учитывая производную с выплатой, когда цена акции движется вверх и когда она снижается, мы можем оценить производную через ${\ displaystyle X ^ {u}}$ ${\ displaystyle X ^ {d}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {\ pi X ^ {u} + (1- \ pi) X ^ {d}} {1 + R}}.}

Пример 2 - Модель броуновского движения цен акций

Предположим, наша экономика состоит из двух активов, акции и безрисковой облигации , и мы используем модель Блэка – Шоулза . В модели эволюция курса акций может быть описана геометрическим броуновским движением :

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t}}

где - стандартное броуновское движение по физической мере. Если мы определим ${\ displaystyle W_ {t}}$

{\ displaystyle {\ tilde {W}} _ {t} = W_ {t} + {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}} t,}

Теорема Гирсанова утверждает, что существует мера, при которой происходит броуновское движение. известна как рыночная цена риска . Используя правила в рамках исчисления Ито, можно неформально дифференцировать и переставлять приведенное выше выражение, чтобы получить SDE ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle {\ tilde {W}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle dW_ {t} = d {\ tilde {W}} _ {t} - {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}} \, dt,}

Верните это в исходное уравнение:

{\ displaystyle dS_ {t} = rS_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, d {\ tilde {W}} _ {t}.}

Пусть будет цена акции со скидкой, заданная формулой , тогда по лемме Ито мы получим СДУ: ${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {t} = e ^ {- rt} S_ {t}}$

{\ displaystyle d {\ tilde {S}} _ {t} = \ sigma {\ tilde {S}} _ {t} \, d {\ tilde {W}} _ {t}.}

${\ displaystyle Q}$ является уникальной мерой модели, нейтральной к риску. Дисконтированный процесс выигрыша производной на складе является мартингальным под . Обратите внимание, что отклонение SDE составляет r, безрисковую процентную ставку , подразумевающую нейтральность к риску. Так и есть -martingales мы можем ссылаться на теореме мартингального представления найти стратегию Репликации - портфель акций и облигаций , которые окупятся во все времена . ${\ displaystyle H_ {t} = \ operatorname {E} _ {Q} (H_ {T} | F_ {t})}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle {\ tilde {S}}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle H_ {t}}$ ${\ displaystyle t \ leq T}$

Смотрите также

Заметки

↑ Глин А. Холтон (2005). «Основная теорема ценообразования активов» . riskglossary.com . Проверено 20 октября 2011 года .
^ Ганс Фёльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 6 . ISBN 978-3-11-018346-7.
^ Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп, ЧП (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. стр. 48 -50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Внешние ссылки

Гизигер, Николас: Объяснение нейтральных к риску вероятностей
Там, Джозеф: Оценка без учета риска: мягкое введение , часть II

[1] Глин А. Холтон (2005). «Основная теорема ценообразования активов» . riskglossary.com . Проверено 20 октября 2011 года .

[FollmerSchied-2] Ганс Фёльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 6 . ISBN 978-3-11-018346-7.

[3] Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп, ЧП (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. стр. 48 -50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Languages

In other projects