Жесткое преобразование - Rigid transformation

В математике , А жесткое преобразование (также называемое евклидово преобразования или евклидово изометрии ) представляет собой геометрическое преобразование из евклидова пространства , сохраняющего евклидово расстояния между каждой парой точек.

Жесткие преобразования включают в себя повороты , перемещения , отражения или их комбинации. Иногда отражения исключаются из определения жесткого преобразования, утверждая, что преобразование также сохраняет ручность фигур в евклидовом пространстве (отражение не сохраняет ручность; например, оно превращает левую руку в правую). Чтобы избежать двусмысленности, этот меньший класс преобразований известен как жесткие движения или собственно жесткие преобразования (неофициально, также известные как роторные переводы ). В общем, любое собственное жесткое преобразование может быть разложено как поворот с последующим перемещением, в то время как любое жесткое преобразование может быть разложено как неправильное вращение с последующим перемещением (или как последовательность отражений).

Любой объект сохранит ту же форму и размер после правильной жесткой трансформации.

Все жесткие преобразования являются примерами аффинных преобразований . Множество всех жестких преобразований (собственных и несобственных) - это группа, называемая евклидовой группой и обозначаемая E ( n ) для n -мерных евклидовых пространств. Множество собственных жестких преобразований называется специальной евклидовой группой и обозначается SE ( n ).

В кинематике , соответствующие жесткие преобразования в 3-мерном евклидовом пространстве, обозначается SE (3), которые используются для представления линейных и угловых перемещений из твердых тел . Согласно теореме Часлеса , каждое жесткое преобразование можно выразить как перемещение винта .

Формальное определение

Жесткое преобразование формально определяется как преобразование, которое при воздействии на любой вектор v создает преобразованный вектор T ( v ) вида

Т ( v ) = R v + t

где R ^T = R ⁻¹ (т. е. R - ортогональное преобразование ), а t - вектор, задающий перенос начала координат.

Правильное жесткое преобразование, кроме того,

det (R) = 1

что означает, что R не производит отражения и, следовательно, представляет вращение (сохраняющее ориентацию ортогональное преобразование). Действительно, когда матрица ортогонального преобразования создает отражение, ее определитель равен -1.

Формула расстояния

Мера расстояния между точками, или метрика , необходима для подтверждения того, что преобразование является жестким. Формула евклидова расстояния для R ⁿ является обобщением теоремы Пифагора . Формула дает квадрат расстояния между двумя точками X и Y как сумму квадратов расстояний по осям координат, то есть

${\ displaystyle d (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) ^ {2} = (X_ {1} -Y_ {1}) ^ {2} + (X_ {2} -Y_ {2}) ^ {2} + \ dots + (X_ {n} -Y_ {n}) ^ {2} = (\ mathbf {X} - \ mathbf {Y}) \ cdot (\ mathbf {X} - \ mathbf {Y} ).}$

где X = (X ₁ , X ₂ ,…, X _n ) и Y = (Y ₁ , Y ₂ ,…, Y _n ), а точка обозначает скалярное произведение .

Используя эту формулу расстояния, жесткое преобразование g : R ⁿ → R ⁿ обладает свойством

${\ displaystyle d (g (\ mathbf {X}), g (\ mathbf {Y})) ^ {2} = d (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) ^ {2}.}$

Переводы и линейные преобразования

Перевод векторного пространства добавляет вектор д для каждого вектора в пространстве, что означает , что это превращение

g ( v ): v → v + d .

Легко показать, что это жесткое преобразование, показав, что расстояние между переведенными векторами равно расстоянию между исходными векторами:

${\ displaystyle d (\ mathbf {v} + \ mathbf {d}, \ mathbf {w} + \ mathbf {d}) ^ {2} = (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} - \ mathbf { w} - \ mathbf {d}) \ cdot (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} - \ mathbf {w} - \ mathbf {d}) = (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) \ cdot (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) = d (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) ^ {2}.}$

Линейное преобразование векторного пространства, л : R ^п → R ^п , сохраняет линейные комбинации ,

${\ Displaystyle L (\ mathbf {V}) = L (a \ mathbf {v} + b \ mathbf {w}) = aL (\ mathbf {v}) + bL (\ mathbf {w}).}$

Линейное преобразование L может быть представлено матрицей, что означает

L : v → [L] v ,

где [L] - матрица размера n × n .

Линейное преобразование является жестким преобразованием, если оно удовлетворяет условию

${\ Displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = d (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) ^ {2},}$

это

${\ displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = ([L] \ mathbf {v} - [L] \ mathbf {w}) \ cdot ( [L] \ mathbf {v} - [L] \ mathbf {w}) = ([L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w})) \ cdot ([L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w})).}$

Теперь воспользуемся тем фактом, что скалярное произведение двух векторов v . w можно записать как матричную операцию v ^T w , где T обозначает транспонирование матрицы, мы имеем

${\ displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) ^ {T} [L] ^ { T} [L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}).}$

Таким образом, линейное преобразование L является жестким, если его матрица удовлетворяет условию

${\ Displaystyle [L] ^ {T} [L] = [I],}$

где [I] - единичная матрица. Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются ортогональными матрицами. Это условие фактически требует, чтобы столбцы этих матриц были ортогональными единичными векторами.

Матрицы, удовлетворяющие этому условию, образуют математическую группу при операции умножения матриц, называемую ортогональной группой матриц размера n × n и обозначаемую O ( n ).

Вычислите определитель условия ортогональной матрицы, чтобы получить

${\ Displaystyle \ Det ([L] ^ {T} [L]) = \ Det [L] ^ {2} = \ Det [I] = 1,}$

что показывает, что матрица [L] может иметь определитель +1 или -1. Ортогональные матрицы с определителем −1 - это отражения, а с определителем +1 - вращения. Обратите внимание, что набор ортогональных матриц можно рассматривать как состоящий из двух многообразий в R ^{n × n,} разделенных набором сингулярных матриц.

Набор матриц вращения называется специальной ортогональной группой и обозначается SO ( n ). Это пример группы Ли, поскольку она имеет структуру многообразия.

использованная литература