Форма - Shape


Из Википедии, свободной энциклопедии
Примеры различных определений формы . Эти два треугольника на левой конгруэнтны, в то время как третья похожа на них. Последний треугольник ни похож ни конгруэнтен любой из других, но оно гомеоморфно.

Форма является формой объекта или его внешней границы, контура, или внешней поверхности , в отличие от других свойств , таких как цвет, текстуру или состава материала.

Классификация простых форм

Разнообразие многоугольных форм.

Некоторые простые формы могут быть введены в широкие категории. Так , например, многоугольники классифицируются в соответствии с их числом ребер , как треугольники , четырехугольники , пятиугольники и т.д. Каждый из них разделен на более мелкие категории; треугольники могут быть равносторонними , равнобедренными , тупой , острой , неравносторонней и т.д. , а четырехугольники могут быть прямоугольники , ромбы , трапеции , квадраты и т.д.

Другие распространенные формы являются точки , линии , плоскости , и конические сечения , такие как эллипсы , круги , и параболы .

Среди наиболее распространенных 3-мерных форм являются многогранники , которые являются формами с плоскими гранями; эллипсоиды , которые яйцевидные или шарообразные объекты; цилиндры ; и конусы .

Если объект попадает в одну из этих категорий точно или даже приблизительно, мы можем использовать его , чтобы описать форму объекта. Таким образом, мы говорим , что форма крышки люка является диском , потому что это примерно то же геометрический объект в качестве фактического геометрического диска.

Форма в геометрии

Есть несколько способов для сравнения формы двух объектов:

  • Сравнения : Два объекта конгруэнтен , если один может быть преобразован в другую последовательности поворотов, переводы и / или отражения.
  • Сходство : Два объекта подобны , если один может быть преобразован в другой путем равномерного масштабирования, вместе с последовательностью вращений, переводы, и / или отражений.
  • Изотопность : Два объекта изотопная , если один может быть преобразована в другую последовательности деформаций , которые не разрывают объект или положить в ней отверстие.

Иногда, два одинаковых или конгруэнтные объекты могут рассматриваться как имеющие другую форму , если отражение требуется , чтобы преобразовать друг в друга. Так , например, буквы « б » и « д » являются отражением друг друга, и , следовательно , они конгруэнтны и подобное, но в некоторых контекстах они не рассматриваются как имеющие такую же форму. Иногда, только контур или внешняя граница объекта считается , чтобы определить его форму. Например, полые сферы могут быть рассмотрены , чтобы иметь ту же самую форму, что и твердую сферу. Анализ Procrustes используется во многих науках , чтобы определить , есть ли у двух объектов та же форма, или для измерения разности между двумя формами. В высшей математике, квазиизометрия может быть использована в качестве критерия утверждать , что две форм примерно одинаковы.

Простые формы часто могут быть разделены на основные геометрические объекты , такие как точки , в линию , на кривой , в плоскости , в плоскости рисунка (например , квадрат или круг ), или твердый рисунок (например , куб или сфера ). Тем не менее, большинство форм , происходящих в физическом мире , являются сложными. Некоторые, такие как растительные структуры и береговые линии, могут быть настолько сложными , как бросить вызов традиционного математического описания - в этом случае они могут быть проанализированы с помощью дифференциальной геометрии , или как фрактал .

Эквивалентность форм

В геометрии, два подмножества евклидова пространств имеют одинаковую форму , если один может быть преобразовано в другой комбинации переводов , повороты (вместе называемые также жесткие преобразования ) и однородных шероховатости . Другими словами, форма набора точек вся геометрическая информация , которая инвариантна относительно сдвигов, вращений и изменения размера. Имея такую же форму , является отношением эквивалентности , и , соответственно , точное математическое определение понятия формы может быть задана как являющийся классом эквивалентности подмножеств евклидова пространства , имеющего ту же самую форму.

Математик и статистик Дэвид Джордж Кендалл пишет:

В этой «форме» бумаги используются в вульгарном смысле, а значит, что можно было бы нормально ожидать, что это значит. [...] Мы здесь определить «форму» неформально как "все геометрической информации, которая остается, когда местоположение, масштаб и вращательные эффекты отфильтровываются от объекта.

Формы физических объектов равны , если подмножества пространства эти объекты занимают удовлетворяют определению выше. В частности, форма не зависит от размера и размещения в пространстве объекта. Например, « d » и « р » имеют такую же форму, как они могут быть идеально накладываются , если « д » переводится вправо на заданное расстояние, повернутой верхней стороной вниз и увеличенному в заданное число раз (см Procrustes накладывание для деталей). Тем не менее, зеркальное изображение можно было бы назвать другой формой. Например, « б » и « р » имеют разную форму, по крайней мере , когда они вынуждены перемещаться в пределах двухмерного пространства , как страницы , на которой они записаны. Несмотря на то, что они имеют тот же размер, что нет никакого способа , чтобы полностью перекрыть их перевод и вращая их по странице. Аналогичным образом , в трехмерном пространстве, правая рука и левая рука иметь другую форму, даже если они являются зеркальными отражениями друг друга. Формы могут измениться , если объект масштабируется неравномерно. Например, сфера становится эллипсоидом при масштабировании по- разному в вертикальном и горизонтальном направлениях. Другими словами, сохранение оси симметрии (если они существуют) имеет важное значение для сохранения формы. Кроме того , форма определяется только внешней границы объекта.

Конгруэнтность и подобие

Объекты , которые могут быть преобразованы друг в друга с помощью жестких преобразований и зеркального отражения (но не масштабирование) являются конгруэнтны . Объект таким образом , конгруэнтный его зеркальное изображение (даже если он не является симметричным), но не к масштабированной версии. Две конгруэнтных объектов всегда имеют либо одинаковую форму или форму зеркало изображения, и имеют одинаковый размер.

Объекты , которые имеют одинаковую форму или зеркально изображения формы называются геометрически подобны , независимо от того, имеют ли они одинаковый размер. Таким образом, объекты , которые могут быть преобразованы друг в друг с помощью жестких преобразований, зеркального отображения, и равномерного масштабирования похожи. Сходство сохраняется , когда один из объектов равномерно масштабируется, а конгруэнтность нет. Таким образом, конгруэнтные объекты всегда геометрически подобны, но подобные объекты не могут быть равны, так как они могут иметь различный размер.

гомеоморфии

Более гибкое определение формы принимает во внимание тот факт, что реалистические формы часто деформируемые, например, человек в различных позах, дерево изгиба на ветре или руку с различными положениями пальцев.

Один из способов моделирования нежестких движений являются гомеоморфизмами . Грубо говоря, гомеоморфизм является непрерывным растяжение и изгиб объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг к другу, а сфера и пончик не является. Часто повторяемая математическая шутка , что топологи не могут рассказать свою чашку кофе с их пончика, так как достаточно податливый пончик может быть реорганизован в форму кофейной чашки, создавая впадину и постепенно увеличивая его, сохраняя при этом отверстие пончика в ручка Кубков.

анализ формы

Упомянутые выше математические определения жестких и нежестких форм возникли в области статистического анализа формы . В частности, анализ Procrustes является метод , используемый для сравнения форм подобных объектов (например , кости различных животных), или измерения деформации деформируемого объекта. Другие методы предназначены для работы с нежесткими (изгибаемыми) объектами, например , для извлечения осанки независимой формы (смотрите, например , спектральный анализ формы ).

классы подобия

Все подобные треугольники имеют одинаковую форму. Эти формы могут быть классифицированы с использованием комплексных чисел U, V, W для вершин, в методе выдвинутого JA Лестер и Рафаелом Артзи . Например, равносторонний треугольник может быть выражен с помощью комплексных чисел 0, 1, (1 + I √3) / 2 , представляющих его вершины. Лестер и Artzy называть соотношение

форму треугольника ( U, V, W ). Тогда форма равностороннего треугольника

(0- (1+ √3) / 2) / (0-1) = (1 + I √3) / 2 = сов (60 °) + I sin (60 °) = ехр (я / 3).

Для любого аффинного преобразования в комплексной плоскости ,   треугольник трансформируется , но не меняет свою форму. Следовательно , форма является инвариантной из аффинной геометрии . Форма р = S ( U, V, W ) зависит от порядка аргументов функции S, а перестановки привести к соответствующим значениям. Например,

Также

Сочетание этих перестановок дает Кроме того,

Эти отношения являются «правилами преобразования» для формы треугольника.

Форма четырехугольника связана с двумя комплексными числами р, д . Если четырехугольник имеет вершины U, V, W, X , то р = S ( U, V, W ) и Q = S ( V, W, х ). Artzy доказывает эти утверждения о четырехугольный формах:

  1. Если то четырехугольник является параллелограммом .
  2. Если параллелограмм имеет | Arg р | = | Arg д |, то это ромб .
  3. Когда р = 1 + I и Q = (1 + I) / 2, то четырехугольник является квадратом .
  4. Если и SGN г = SGN (Im р ), то четырехугольник является трапецией .

Многоугольник имеет форму , определенную п - 2 комплексных чисел многоугольник ограничивает выпуклое множество , когда все эти компоненты формы имеют мнимые компоненты одного и того же знака.

Человеческое восприятие формы

Психологи предположили , что люди мысленно ломаются образами в простые геометрические формы , называемых геонами . Примеры включают геоны конуса и сферы. Широкий спектр других представлений формы также был исследован. Там же , кажется, что - то о форме , которая может направлять человеческое внимание .

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка