Закон взаимности - Reciprocity law

В математике закон взаимности - это обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый многочлен разбивается на линейные члены при уменьшении mod . То есть он определяет, какие простые числа относятся к соотношению ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + ax + b}$ ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle е (х) \ эквив е_ {п} (х) = (х-п_ {р}) (х-м_ {р}) {\ текст {}} ({\ текст {mod}} р)}$

держит. Для общего закона взаимности ^{pg 3} он определяется как правило, определяющее, какие простые числа многочлен разбивает на линейные множители, обозначенные . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f_ {p}}$ ${\ Displaystyle {\ текст {Spl}} \ {е (х) \}}$

Есть несколько разных способов выразить законы взаимности. Ранние законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является остатком степени n по модулю другого простого числа, и давало соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности, сказав, что произведение над p символов вычета нормы Гильберта ( a , b / p ), принимающее значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалы (или идеалы) к элементам группы Галуа тривиальны на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с помощью когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Квадратичная взаимность

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}

Кубическая взаимность

Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа конгруэнтны 2 по модулю 3), то

{\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {\ alpha} {\ beta}} {\ Bigg)} _ {3} = {\ Bigg (} {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ Bigg )} _ {3}.}

Четвертая взаимность

В терминах символа четвертого вычета закон четвертой взаимности для гауссовских целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) ³ ) гауссовскими простыми числами, то

{\ displaystyle {\ Bigg [} {\ frac {\ pi} {\ theta}} {\ Bigg]} \ left [{\ frac {\ theta} {\ pi}} \ right] ^ {- 1} = ( -1) ^ {{\ frac {N \ pi -1} {4}} {\ frac {N \ theta -1} {4}}}.}.}

Octic взаимность

Эйзенштейновская взаимность

Предположим, что ζ - корень -й степени из единицы для некоторого нечетного простого числа . Силовой характер - это степень ζ такая, что ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle l}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ mathfrak {p}}} \ right) _ {l} \ Equiv \ alpha ^ {\ frac {N ({\ mathfrak {p}}) - 1} {l}} {\ pmod {\ mathfrak {p}}}}

для любого простого идеала в Z [ζ]. Мультипликативность распространяется на другие идеалы. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {\ alpha}} \ right) _ {l} = \ left ({\ frac {\ alpha} {a}} \ right) _ {l}}

для в любое рациональное число взаимно простых к и & alpha ; любого элемента Z [ζ] , который взаимно прост с и и конгруэнтны к рациональному модулю целого числа (1-z) ² . ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle l}$

Куммер взаимность

Предположим, что ζ является корнем l- й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Так как l регулярно, мы можем расширить символ {} до идеалов таким уникальным образом, что

{\ displaystyle \ left \ {{\ frac {p} {q}} \ right \} ^ {n} = \ left \ {{\ frac {p ^ {n}} {q}} \ right \}}

где n - некоторое целое, простое с l такое, что p ⁿ является главным.

Закон о взаимности Куммера гласит, что

{\ displaystyle \ left \ {{\ frac {p} {q}} \ right \} = \ left \ {{\ frac {q} {p}} \ right \}}

для p и q любые различные простые идеалы Z [ζ], отличные от (1 – ζ).

Гильбертова взаимность

В терминах символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел утверждает, что

{\ Displaystyle \ prod _ {v} (а, б) _ {v} = 1}

где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы увидеть это, возьмите a и b, чтобы быть разными нечетными простыми числами. Тогда закон Гильберта принимает вид Но ( p , q ) _p равно символу Лежандра, ( p , q ) _∞ равно 1, если одно из p и q положительно, и –1 в противном случае, и ( p , q ) ₂ равно (–1 ) ⁽^p^{–1) (}^q^{–1) / 4} . Таким образом, для положительных нечетных простых чисел p и q закон Гильберта является законом квадратичной взаимности. ${\ displaystyle (p, q) _ {\ infty} (p, q) _ {2} (p, q) _ {p} (p, q) _ {q} = 1}$

Артиновая взаимность

На языке иделей закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов идеелей C _K в абелианизацию Gal ( L / K ) ^ab группы Галуа обращается в нуль на N _{L / K} ( C _L ) и индуцирует изоморфизм

{\ displaystyle \ theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} \ to {\ text {Gal}} (L / K) ^ {\ text {ab}}.}

Хотя это не сразу видно, закон артинов взаимности легко вытекает все ранее открытые законы взаимности, применяя его подходящие расширения L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n- й степени из единицы и L = K [ a ^{1 / n} ] является куммеровым расширением K , из того факта, что отображение Артина обращается в нуль на N _{L / K} ( C _L ), следует Закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность

Хассе ввел местный аналог закона взаимности Артина, названный законом взаимности местного значения. Одна из его форм гласит, что для конечного абелевого расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом из на группу Галуа . ${\ Displaystyle К ^ {\ раз} / N_ {L / K} (L ^ {\ times})}$ ${\ displaystyle Gal (L / K)}$

Явные законы взаимности

Чтобы получить закон взаимности в классическом стиле из закона взаимности Гильберта Π ( a , b ) _p = 1, необходимо знать значения ( a , b ) _p для p, делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

Степенной закон взаимности может быть сформулирован как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ right) _ {n} \ left ({\ frac {\ beta} {\ alpha}} \ right) _ {n} ^ {- 1} = \ prod _ {{\ mathfrak {p}} | n \ infty} (\ alpha, \ beta) _ {\ mathfrak {p}} \.}

Законы рациональной взаимности

Рациональный закон взаимности - это закон, сформулированный в терминах рациональных целых чисел без использования корней из единицы.

Закон взаимности Шольца

Шимура взаимность

Закон взаимности Вейля

Взаимность Ленглендса

Программа Ленглендса включает несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL ₁ подразумевают закон взаимности Артина.

Закон взаимности Ямамото

Закон взаимности Ямамото - это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.

Languages

In other projects