Закон взаимности Артина - Artin reciprocity law

Закон взаимности Артина , установленный Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . Термин « закон взаимности » относится к длинной череде более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Заявление

Пусть L / K является расширением Галуа из глобальных полей и C _L стенд для идель группы классов из L . Одно из положений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов.

{\ displaystyle \ theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} \ to \ operatorname {Gal} (L / K) ^ {\ text {ab}},}

где ab обозначает абелианизацию группы. Карта определяется путем сборки карт, называемых локальным символом Артина , локальной картой взаимности или символом нормального вычета. ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle \ theta _ {v}: K_ {v} ^ {\ times} / N_ {L_ {v} / K_ {v}} (L_ {v} ^ {\ times}) \ to G ^ {\ text {ab}},}

для различных мест v из K . Точнее, задается локальными отображениями на v -компоненте идельного класса. Карты являются изоморфизмами. Это содержание закона локальной взаимности , основной теоремы теории локальных полей классов . ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta _ {v}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {v}}$

Доказательство

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности может быть достигнуто, если сначала установить, что

{\ displaystyle (\ operatorname {Gal} (K ^ {sep} / K), \ varinjlim C_ {L})}

представляет собой классовое образование в смысле Артина и Тейта. Тогда доказывается, что

{\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {0} (\ operatorname {Gal} (L / K), C_ {L}) \ simeq {\ hat {H}} ^ {- 2} (\ operatorname {Gal } (L / K), \ mathbb {Z}),}

где обозначают группы когомологий Тейта . Выработка групп когомологий устанавливает, что θ - изоморфизм. ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {i}}$

Значение

Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа в виде глобального поля K , который основан на Хассе локально-глобальный принцип и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такагов , он используется для описания абелевых расширений из K в терминах арифметики K и понять поведение неархимедовских мест в них. Таким образом, закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Он может быть использован , чтобы доказать , что Артин L-функции являются мероморфны и для доказательства теоремы плотности Чеботарева .

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности, чтобы перевести проблему принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов. конечных неабелевых групп.

Конечные расширения глобальных полей

Определение артиновской карты для конечного абелева расширения L / K из глобальных полей (например, конечное абелевое расширения ) имеет описание бетона в терминах простых идеалов и элементов фробениусовых . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Если является простым числом K, то группы разложения простых чисел, указанных выше , равны в Gal ( L / K ), поскольку последняя группа абелева . Если не разветвлен в L , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal ( L / K ), который обозначается символом или . Если Δ обозначает относительный дискриминант из L / K , с символа артиновского (или карты артиновской , или (глобальное) отображения взаимности ) из L / K определяются на группах простого-к-А дробных идеалов , по линейности: ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle D _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L, {\ mathfrak {P}}} / {\ mathfrak {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {К, {\ mathfrak {p}}} / {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Frob} _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {L / K} {\ mathfrak {p}}} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {K} ^ {\ Delta}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ left ({\ frac {L / K} {\ cdot}} \ right): I_ {K} ^ {\ Delta} \ longrightarrow \ operatorname {Gal} (L / K) \\\ prod _ {i = 1} ^ {m} {\ mathfrak {p}} _ {i} ^ {n_ {i}} \ longmapsto \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left ({ \ frac {L / K} {{\ mathfrak {p}} _ {i}}} \ right) ^ {n_ {i}} \ end {case}}}

Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) гласит, что существует модуль c для K такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм

{\ displaystyle I_ {K} ^ {\ mathbf {c}} / i (K _ {\ mathbf {c}, 1}) \ mathrm {N} _ {L / K} (I_ {L} ^ {\ mathbf { c}}) {\ overset {\ sim} {\ longrightarrow}} \ mathrm {Gal} (L / K)}

где K _{c , 1} - луч по модулю c , N _{L / K} - отображение нормы, ассоциированное с L / K, и дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль с называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается ${\ Displaystyle I_ {L} ^ {\ mathbf {c}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (L / K).}$

Примеры

Квадратичные поля

Если - целое число без квадратов , и , то может быть отождествлено с {± 1}. Дискриминант Δ L over равен d или 4 d в зависимости от того, d 1 (mod 4) или нет. Отображение Артина затем определяется на простых числах p, которые не делят Δ на ${\ displaystyle d \ neq 1}$ ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q},}$ ${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

{\ displaystyle p \ mapsto \ left ({\ frac {\ Delta} {p}} \ right)}

где - символ Кронекера . Более конкретно, проводник является главным идеалом (Δ) или (Δ) ∞ в зависимости от того Δ является положительным или отрицательным, а артины карты на идеале прайм-к-Д ( п ) задаются символом Кронекера Это показывает что простое число p расщеплено или инертно в L в зависимости от того, равно 1 или -1. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta} {p}} \ right)}$ ${\ Displaystyle L / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta} {n}} \ right).}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta} {p}} \ right)}$

Циклотомические поля

Пусть m > 1 будет либо нечетным целым числом, либо кратным 4, пусть будет примитивным корнем m- й степени из единицы , и пусть будет m- м круговым полем . могут быть идентифицированы с помощью отправки σ в виде _сг задается правилом ${\ displaystyle \ zeta _ {m}}$ ${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} (\ zeta _ {m})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / м \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$

{\ displaystyle \ sigma (\ zeta _ {m}) = \ zeta _ {m} ^ {a _ {\ sigma}}.}

Проводник представляет собой ( м ) ∞ и артины карта на прайм-to - м идеал ( п ) просто п ( по модулю т ) в ${\ Displaystyle L / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) ^ {\ times}.}$

Связь с квадратичной взаимностью

Пусть p и - различные нечетные простые числа. Для удобства пусть (всегда 1 (mod 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {*} = (- 1) ^ {\ frac {\ ell -1} {2}} \ ell}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ ell ^ {*}} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {\ ell}} \ right).}

Связь между квадратичным и круговым законами взаимности дается путем изучения квадратичного поля и кругового поля следующим образом. Во-первых, F является подполем в L , поэтому, если H = Gal ( L / F ), а затем, поскольку последний имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в . Основное свойство символа Артина гласит, что для каждого простого -to-ℓ идеал ( п ) ${\ Displaystyle F = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {\ ell ^ {*}}})}$ ${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} (\ zeta _ {\ ell})}$ ${\ Displaystyle G = \ OperatorName {Gal} (L / \ mathbb {Q}),}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Gal} (F / \ mathbb {Q}) = G / H.}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / \ ell \ mathbb {Z}) ^ {\ times}.}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {F / \ mathbb {Q}} {(n)}} \ right) = \ left ({\ frac {L / \ mathbb {Q}} {(n)}} \ справа) {\ pmod {H}}.}

Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю находится в H , то есть тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ ell ^ {*}} {p}} \ right) = 1}$

Утверждение в терминах L- функций

Альтернативный вариант закона взаимности, ведущий к программе Ленглендса , связывает L-функции Артина, связанные с абелевыми расширениями числового поля, с L-функциями Гекке, связанными с символами группы классов idèle.

Характер Гекка (или Größencharakter) из числового поля K определяются быть квазихарактером из идели группы классов K . Ленглендс интерпретировать символы Гекка , как автоморфные формы на восстановительной алгебраической группе GL (1) над кольцом аделей из K .

Пусть абелева расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого характера (т. Е. Одномерного комплексного представления группы G ) существует характер Гекке группы K такой, что ${\ displaystyle E / K}$ ${\ displaystyle \ sigma: G \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle \ chi}$

{\ Displaystyle L_ {E / K} ^ {\ mathrm {Artin}} (\ sigma, s) = L_ {K} ^ {\ mathrm {Hecke}} (\ chi, s)}

где левая часть - это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть - это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D документа.

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.

Примечания

^ Хельмут Хассе , История теории поля классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279
Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391
↑ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.
↑ Серр (1967), стр.140
↑ Серр (1979), стр.197
↑ Серр (1979), стр.164
↑ Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Глава VII.
^ Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159.
^ ^а ^б Леммермейер 2000 , §3.2
^ Милн 2008 , пример 3.11
^ Милн 2008 , пример 3.10
^ Милн 2008 , пример 3.2
^ Джеймс Милн, Теория поля классов
^ ^a ^b Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375.

использованная литература

Эмиль Артин (1924) "Uber eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Собрание статей , Addison Wesley (1965), 105–124
Эмиль Артин (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей , 131–141
Эмиль Артин (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей , 159–164
Фрей, Гюнтер (2004), «К истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Доклады конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3-8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, Руководство по ремонту 2077576 , Zbl 1065.11001
Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
Лэнг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для выпускников по математике , 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723
Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, Руководство по ремонту 1761696 , Zbl 0949.11002
Милн, Джеймс (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Извлечено 22 февраля 2010 г.
Neukirch, Jürgen (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956,11021
Серр, Жан-Пьер (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, 67 , переведено Гринбергом, Марвином Джеем , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423.12016
Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория поля локальных классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403
Тейт, Джон (1967), «VII. Глобальная теория поля классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl 0153.07403

[1] Хельмут Хассе , История теории поля классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279

[N99391-2] Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391

[3] Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.

[Ser140-4] Серр (1967), стр.140

[S79197-5] Серр (1979), стр.197

[S79164-6] Серр (1979), стр.164

[7] Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Глава VII.

[8] Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159.

[Lemmermeyer_2000_loc=§3.2-9] а ^б Леммермейер 2000 , §3.2

[10] Милн 2008 , пример 3.11

[11] Милн 2008 , пример 3.10

[12] Милн 2008 , пример 3.2

[milne-13] Джеймс Милн, Теория поля классов

[Gelbart-14] Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375.

Languages

In other projects