Реальная алгебраическая геометрия - Real algebraic geometry

В математике , вещественная алгебраическая геометрия является суб-ветвь алгебраической геометрии изучения реального алгебраических множеств , то есть в реальном числе решений алгебраических уравнений с реальным числом коэффициентами и отображение между ними (в частности вещественных полиномиальных отображений ).

Полуалгебраическая геометрия - это изучение полуалгебраических множеств , т. Е. Вещественных решений алгебраических неравенств с вещественными коэффициентами и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения , т. Е. Отображения , графики которых являются полуалгебраическими множествами.

Терминология

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку реальные алгебраические множества нельзя серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция вещественного алгебраического множества на координатную ось не обязательно должна быть реальным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это теорема Тарского – Зайденберга . Связанные области - о-минимальная теория и реальная аналитическая геометрия .

Примеры: Вещественные плоские кривые являются примерами вещественных алгебраических множеств, а многогранники - примерами полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. Гипотезу Пирса – Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная реальная алгебраическая геометрия связана с алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм - цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Реальная алгебра - это часть алгебры, относящаяся к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это связано с изучением упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, вещественных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов и сумм квадратов многочленов . (См . 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина .) Отношение реальной алгебры к вещественной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативной алгебры к комплексной алгебраической геометрии . Связанные поля теории проблемы моментов , выпуклой оптимизации , теории квадратичных форм , теории оценки и теории моделей .

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии

• 1826 г. Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. Вновь открыт Ллойдом Дайнсом в 1919 году и Теодором Моцкиным в 1936 году.
• 1835 Теорема Штурма о действительном подсчете корней
• 1856 Теорема Эрмита о действительном подсчете корней.
• 1876 Теорема Гарнака о кривой . (Эта оценка количества компонентов позже была распространена на все числа Бетти всех вещественных алгебраических множеств и всех полуалгебраических множеств.)
• 1888 Теорема Гильберта о тройных квартиках.
• 1900 Проблемы Гильберта (особенно 16-я и 17-я проблемы)
• Лемма Фаркаша 1902 г. (Можно переформулировать как linear positivstellensatz.)
• 1914 Аннибале Комессатти показал, что не всякая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$
• 1916 Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах. (Решено Фриджес Рис .)
• 1927 Решение Эмиля Артина 17-й проблемы Гильберта.
• 1927 Теорема Крулля – Бэра (связь между порядками и оценками)
• 1928 Теорема Полиа о положительных многочленах на симплексе
• 1929 Б.Л. ван дер Варден набрасывает доказательство того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества треугольны, но не были разработаны необходимые инструменты, чтобы сделать аргументацию строгой.
• 1931 Тарский «s устранение реальной квантор . Улучшено и популяризировано Абрахамом Зайденбергом в 1954 году (оба используют теорему Штурма ).
• 1936 Герберт Зейферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие в с тривиальным нормальным расслоением может быть изотопно компоненте неособого вещественного алгебраического подмножества, которое является полным пересечением (из заключения этой теоремы нельзя удалить слово «компонент») .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• 1940 Теорема Маршалла Стоуна о представлении частично упорядоченных колец. Усовершенствован Ричардом Кадисоном в 1951 г. и Дональдом Дюбуа в 1967 г. (теорема Кадисона – Дюбуа о представлении). Дальнейшие улучшения были выполнены Михаем Путинаром в 1993 г. и Якоби в 2001 г. (теорема Путинара – Якоби).
• 1952 Джон Нэш доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического множества.
• 1956 Сформулирована гипотеза Пирса – Биркгофа (решена в размерностях ≤ 2).
• 1964 Nullstellensatz и Positivestellensatz Кривина . Вновь открыт и популяризирован Стенглом в 1974 году (Кривин использует исключение вещественного квантора, а Стенгл использует теорему Лэнга о гомоморфизме).
• 1964 Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича
• 1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы об особенностях
• 1964 Хасслер Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни .
• 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов .
• 1973 Альберто Тоньоли доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству.
• 1975 Джордж Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции , который улучшает исключение реального квантора Тарского и позволяет реализовать его на компьютере.
• 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w).
• 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Рой открывают реальный спектр коммутативного кольца.
• 1980 Олег Виро представил технику «лоскутной обработки» и применил ее для классификации вещественных алгебраических кривых низкой степени. Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для создания контрпримеров к гипотезе Рэгсдейла , а Григорий Михалкин применил его к тропической геометрии для подсчета кривых.
• 1980 Селман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризовали неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные).
• 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в является звеном вещественного алгебраического множества с изолированной особенностью в ${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$
• 1981 Акбулут и Кинг доказали, что любое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству.
• 1983 Акбулут и Кинг представили «Башни топологических разрешений» как топологические модели реальных алгебраических множеств, из этого они получили новые топологические инварианты вещественных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все 3-мерные алгебраические множества. Эти инварианты позже обобщили Мишель Косте и Кшиштоф Курдыка, а также Клинт МакКрори и Адам Парусинский.
• 1984 Теорема Людвига Бреккера о минимальном порождении базовых открытых полуалгебраических множеств (улучшенная и расширенная Шайдерером на базовые замкнутые полуалгебраические множества ).
• 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (полностью алгебраическое означает, что все его Z / 2Z-гомологические циклы представлены вещественными алгебраическими подмножествами).
• 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству.
• 1991 Решение Шмюдгеном многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанных с ним строгих позитивных представлений. Алгебраическое доказательство, найденное Вёрманном. Подразумевает версию Резника теоремы Артина с одинаковыми знаменателями.
• 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тонноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие в R ⁿ изотопно неособым точкам (компоненте) вещественного алгебраического подмножества в R ⁿ , и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия в R ^n. .
• 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое трехмерное многообразие M может быть получено последовательностью взлетов и падений вдоль гладких центров и что M гомеоморфно, возможно, особому аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию.${\ Displaystyle S ^ {3}}$
• 1997 Бирстон и Мильман доказали каноническое разрешение теоремы об особенностях.
• 1997 Михалкин доказал, что любое замкнутое гладкое n-многообразие получается из последовательности топологических взлетов и падений.${\ Displaystyle S ^ {п}}$
• 1998 Янош Коллар показал, что не всякое замкнутое трехмерное многообразие является проективным вещественным трехмерным многообразием, бирациональным для RP ^3.
• 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в измерениях ≤ 2.
• 2000 Янош Коллар доказал, что каждое замкнутое гладкое 3-многообразие является вещественной частью компактного комплексного многообразия, которое может быть получено последовательностью вещественных раздутий и раздутий.${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$
• 2003 Велшингер вводит инвариант для подсчета вещественных рациональных кривых.
• 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое неособое вещественное алгебраическое подмножество RP ⁿ гладко изотопно вещественной части неособого комплексного алгебраического подмножества CP ^n.

использованная литература

• С. Акбулут и Х. К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, Паб ИИГС, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992) ISBN  0-387-97744-9
• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 pp. ISBN  3-540-64663-9
• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x + 662 стр. ISBN  978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4
• Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 стр. ISBN  978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4

Примечания

внешние ссылки

• Роль задач Гильберта в реальной алгебраической геометрии (PostScript)
• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии