Случайная матрица - Random matrix

В теории вероятностей и математической физики , случайная матрица является матрицей -значная случайная величина , то есть, матрица , в которой некоторые или все элементы являются случайными величинами. Многие важные свойства физических систем могут быть математически представлены в виде матричных задач. Например, теплопроводность из решетки может быть вычислена из динамической матрицы взаимодействий частиц-частиц в кристаллической решетке.

Приложения

Физика

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. Он постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии лежащей в основе эволюции. В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита (BGS) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц.

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., Например, модель дискретизации бозонов ). Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть с делителями луча и фазовращателями).

Теория случайных матриц также нашла приложения к киральному оператору Дирака в квантовой хромодинамике , квантовой гравитации в двух измерениях, мезоскопической физике , крутящем моменте с переносом спина , дробном квантовом эффекте Холла , локализации Андерсона , квантовых точках и сверхпроводниках.

Математическая статистика и численный анализ

В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом для статистического анализа больших выборок; см. оценку ковариационных матриц .

Были показаны важные результаты, расширяющие классические скалярные неравенства Чернова , Бернштейна и Хёффдинга на наибольшие собственные значения конечных сумм случайных эрмитовых матриц . Выводятся результаты для максимальных сингулярных значений прямоугольных матриц.

В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работы Джона фон Неймана и Германа Голдстайна для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . См. Также более свежие результаты.

Теория чисел

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. Связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фрименом Дж. Дайсоном . Это связано с гипотезой Гильберта – Полиа .

Теоретическая неврология

В области теоретической нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу, когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Связь статистических свойств спектра моделей случайных матриц с динамическим поведением случайно связанных нейронных сетей является предметом интенсивных исследований.

Оптимальный контроль

В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с уверенностью, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как проблема стохастического управления . Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности определенности не применяется: в то время как в отсутствие неопределенности множителя (то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с то, что было бы решено, если бы неопределенность была проигнорирована, это больше не выполняется при наличии случайных коэффициентов в уравнении состояния.

Гауссовские ансамбли

Наиболее изученными ансамблями случайных матриц являются ансамбли Гаусса.

Гауссов унитарный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью ${\ displaystyle {\ text {GUE}} (п)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {{\ text {GUE}} (n)}}} e ^ {- {\ frac {n} {2}} \ mathrm {tr} H ^ {2}} }$

на пространстве эрмитовых матриц . Вот нормировочная константа, подобранная так, чтобы интеграл плотности был равен единице. Термин унитарное относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовский унитарный ансамбль моделирует гамильтонианы, лишенные симметрии относительно обращения времени. ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle H = (H_ {ij}) _ {i, j = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle Z _ {{\ text {GUE}} (n)} = 2 ^ {n / 2} \ pi ^ {{\ frac {1} {2}} n ^ {2}}}$

Gaussian ортогональный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью ${\ displaystyle {\ text {GOE}} (п)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {{\ text {GOE}} (n)}}} e ^ {- {\ frac {n} {4}} \ mathrm {tr} H ^ {2}} }$

на пространстве n × n вещественных симметрических матриц H  = ( H _ij )^п
_{я , j = 1}. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени.

Гауссов симплектический ансамбль описываются гауссовой мера с плотностью ${\ displaystyle {\ text {GSE}} (п)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {{\ text {GSE}} (n)}}} e ^ {- n \ mathrm {tr} H ^ {2}} \,}$

на пространстве эрмитовых кватернионных матриц n × n , например симметричных квадратных матриц, составленных из кватернионов , H  = ( H _ij )^п
_{я , j = 1}. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией относительно обращения времени, но без симметрии вращения.

Гауссовы ансамбли GOE, GUE и GSE часто обозначаются их индексом Дайсона , β  = 1 для GOE, β  = 2 для GUE и β  = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество реальных компонентов на элемент матрицы. Ансамбли , как определено здесь , имеют гауссово распределение матричных элементов со средним ⟨ H _IJ ⟩ = 0, и два точечных корреляций , заданных

${\ displaystyle \ langle H_ {ij} H_ {mn} ^ {*} \ rangle = \ langle H_ {ij} H_ {nm} \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {im} \ delta _ {jn} + {\ frac {2- \ beta} {n \ beta}} \ delta _ {in} \ delta _ {jm}}$,

из которого следуют все высшие соотношения по теореме Иссерлиса .

Совместная плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n операторов GUE / GOE / GSE определяется выражением

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {\ beta, n}}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} e ^ {- {\ frac {\ beta n} {4}} \ lambda _ {k} ^ {2}} \ prod _ {i <j} \ left | \ lambda _ {j} - \ lambda _ {i} \ right | ^ {\ beta} ~, \ quad (1)}$

где Z _{β , n} - нормировочная константа, которую можно явно вычислить, см. интеграл Сельберга . В случае GUE ( β  = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет нуль ( порядка -го) для совпадающих собственных значений . ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ lambda _ {j} = \ lambda _ {i}}$

О распределении наибольшего собственного значения для матриц GOE, GUE и Wishart конечных размеров см.

Распределение расстояний между уровнями

Из упорядоченной последовательности собственных значений определяют нормированные интервалы , где - средний интервал. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением ${\ displaystyle \ lambda _ {1} <\ ldots <\ lambda _ {n} <\ lambda _ {n + 1} <\ ldots}$ ${\ displaystyle s = (\ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n}) / \ langle s \ rangle}$${\ displaystyle \ langle s \ rangle = \ langle \ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle p_ {1} (s) = {\ frac {\ pi} {2}} s \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ pi} {4}} s ^ {2}} }$

для ортогонального ансамбля GOE , ${\ displaystyle \ beta = 1}$

${\ displaystyle p_ {2} (s) = {\ frac {32} {\ pi ^ {2}}} s ^ {2} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {4} {\ pi}} s ^ {2}}}$

для унитарного ансамбля ГУЭ , а ${\ displaystyle \ beta = 2}$

${\ displaystyle p_ {4} (s) = {\ frac {2 ^ {18}} {3 ^ {6} \ pi ^ {3}}} s ^ {4} \ mathrm {e} ^ {- {\ гидроразрыв {64} {9 \ pi}} s ^ {2}}}$

для симплектического ансамбля GSE . ${\ displaystyle \ beta = 4}$

Числовые константы таковы, что нормированы: ${\ displaystyle p _ {\ beta} (s)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ds \, p _ {\ beta} (s) = 1}$

и средний интервал,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ds \, s \, p _ {\ beta} (s) = 1,}$

для . ${\ displaystyle \ beta = 1,2,4}$

Обобщения

Матрицы Вигнера - это случайные эрмитовы матрицы, такие что элементы ${\ displaystyle \ textstyle H_ {n} = (H_ {n} (i, j)) _ {i, j = 1} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ влево \ {Н_ {п} (я, J) ~, \, 1 \ Leq я \ Leq J \ Leq п \ вправо \}}$

над главной диагональю расположены независимые случайные величины с нулевым средним и идентичными вторыми моментами.

Инвариантные матричные ансамбли представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью на пространстве вещественных симметричных / эрмитовых / кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет форму, в которой функция V называется потенциалом. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {Z_ {n}}} e ^ {- n \ mathrm {tr} V (H)} ~,}$

Гауссовы ансамбли - единственные частные частные случаи этих двух классов случайных матриц.

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности.

Глобальный режим

В глобальном режиме интересует распределение линейной статистики вида . ${\ displaystyle N_ {f, H} = n ^ {- 1} {\ text {tr}} f (H)}$

Эмпирическая спектральная мера

В эмпирической спектральной мере М _Н из Н определяются

${\ displaystyle \ mu _ {H} (A) = {\ frac {1} {n}} \, \ # \ left \ {{\ text {собственные значения}} H {\ text {in}} A \ right \} = N_ {1_ {A}, H}, \ quad A \ subset \ mathbb {R}.}$

Обычно предел - это детерминированная мера; это частный случай самоусреднения . Интегральная функция распределения предельной мерой называется интегральной плотности состояний и обозначается Н ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается  ρ ( λ ). ${\ displaystyle \ mu _ {H}}$

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см Вигнер распределения полукруга и Вигнер догадка . Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была развита Марченко и Пастуром.

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, возникающим из теории потенциала .

Колебания

Для линейной статистики N _{f , H}  =  n ⁻¹  Σ  f ( λ _j ), также интересны флуктуации около ∫  f ( λ )  dN ( λ ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида

${\ displaystyle {\ frac {N_ {f, H} - \ int f (\ lambda) \, dN (\ lambda)} {\ sigma _ {f, n}}} {\ overset {D} {\ longrightarrow} } N (0,1)}$

известно, смотри и т. д.

Местный режим

В локальном режиме нас интересуют расстояния между собственными значениями и, в более общем смысле, совместное распределение собственных значений в интервале длины порядка 1 / n . Различают совокупную статистику , относящуюся к интервалам внутри опоры ограничивающей спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы опоры.

Массовая статистика

Формально, зафиксировать в интерьере части поддержки в . Затем рассмотрим точечный процесс${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$${\ Displaystyle N (\ lambda)}$

${\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0}) = \ sum _ {j} \ delta {\ Big (} {\ cdot} -n \ rho (\ lambda _ {0}) (\ lambda _ {j} - \ lambda _ {0}) {\ Big)} ~,}$

где - собственные значения случайной матрицы. ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$

Точечный процесс фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности . Для гауссовых ансамблей предел известен; таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром ${\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$${\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$

${\ Displaystyle К (х, y) = {\ гидроразрыва {\ грех \ пи (ху)} {\ пи (ху)}}}$

( синусоидальное ядро ).

Принцип универсальности постулирует, что предел as должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (а не от конкретной модели случайных матриц или чего-либо еще ). Это было строго доказано для нескольких моделей случайных матриц: для ансамблей инвариантных матриц, для матриц Вигнера и т. Д. ${\ displaystyle \ Xi (\ lambda _ {0})}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$

Статистика Edge

См. Раздел « Распределение Трейси – Уидома» .

Корреляционные функции

Совместная плотность вероятности собственных значений случайных эрмитовых матриц с статистическими суммами вида ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ Displaystyle М \ ин \ mathbf {H} ^ {п \ раз п}}$

${\ displaystyle Z_ {n} = \ int _ {M \ in \ mathbf {H} ^ {n \ times n}} d \ mu _ {0} (M) e ^ {{\ text {tr}} (V (M))}}$

куда

${\ Displaystyle V (x): = \ сумма _ {j = 1} ^ {\ infty} v_ {j} x ^ {j}}$

и является стандартной мерой Лебега на пространстве эрмитовых матриц, задается формулой ${\ Displaystyle д \ му _ {0} (М)}$${\ Displaystyle \ mathbf {H} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ displaystyle p_ {n, V} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {Z_ {n, V}}} \ prod _ {i <j} (x_ { i} -x_ {j}) ^ {2} e ^ {- \ sum _ {i} V (x_ {i})}.}$

В -точечных корреляционные функции (или предельные распределения ) определяются как ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = {\ frac {n!} {(nk)!}} \ int _ {\ mathbf {R}} dx_ {k + 1} \ dots \ int _ {\ mathbb {R}} dx_ {n} \, p_ {n, V} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ { n}),}$

которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция или плотность состояний есть

${\ displaystyle R_ {n, V} ^ {(1)} (x_ {1}) = n \ int _ {\ mathbb {R}} dx_ {2} \ dots \ int _ {\ mathbf {R}} dx_ {n} \, p_ {n, V} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}).}$

Его интеграл по борелевскому множеству дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в : ${\ Displaystyle B \ подмножество \ mathbf {R}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ int _ {B} R_ {n, V} ^ {(1)} (x) dx = \ mathbf {E} \ left (\ # \ {{\ text {собственные значения in}} B \} \ Правильно).}$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, сформированных путем вычисления соответствующего интегрального ядра в парах точек, появляющихся в корреляторе. ${\ displaystyle (x_ {i}, x_ {j})}$

Теорема [Dyson-Мехт] Для любого , точечная корреляционной функция может быть записана в виде определителя ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 1 \ Leq К \ Leq N}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)}}$

${\ Displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {k}) = \ det _ {1 \ leq i, j \ leq k} \ слева (K_ {n, V} (x_ {i}, x_ {j}) \ right),}$

где - ое ядро ​​Кристоффеля-Дарбу ${\ Displaystyle К_ {п, V} (х, у)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle K_ {n, V} (x, y): = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {n} (y),}$

связанный с , записанный в терминах квазиполиномов ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ psi _ {k} (x) = {1 \ over {\ sqrt {h_ {k}}}} \, p_ {k} (z) \, {\ rm {e}} ^ {- { 1 \ более 2} V (z)},}$

где - полная последовательность монических многочленов указанных степеней, удовлетворяющая условиям ортогональности ${\ displaystyle \ {p_ {k} (x) \} _ {k \ in \ mathbf {N}}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} \ psi _ {j} (x) \ psi _ {k} (x) dx = \ delta _ {jk}.}$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Матрицы Уишарта - это случайные матрицы размера n × n вида H  =  X  X ^* , где X - это случайная матрица размера n × m ( m  ≥  n ) с независимыми элементами, а X ^* - сопряженная транспонированная матрица . В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X являются одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами (действительными или комплексными).

Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта был найден Владимиром Марченко и Леонидом Пастуром , см. Распределение Марченко – Пастура .

Случайные унитарные матрицы

Смотрите круговые ансамбли .

Неэрмитовы случайные матрицы

См. Циркулярный закон .

Путеводитель по ссылкам

• Книги по теории случайных матриц:
• Обзорные статьи по теории случайных матриц:
• Исторические произведения:

использованная литература

внешние ссылки

• Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц» . Scholarpedia . 6 (3): 9886. Bibcode : 2011SchpJ ... 6.9886F . DOI : 10,4249 / scholarpedia.9886 .
• Вайсштейн, Э.В. «Случайная матрица» . Wolfram MathWorld.