Кватернионное проективное пространство - Quaternionic projective space

В математике , кватернионно проективное пространство является продолжение идей реального проективного пространства и комплексного проективного пространства , в случай , когда координаты лежат в кольце кватернионов Кватернионного проективное пространства размерности п обычно обозначаются ${\ displaystyle \ mathbb {H}.}$

${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$

и является замкнутым многообразием (действительной) размерности 4 n . Это однородное пространство для действия группы Ли более чем одним способом. Кватернионная проективная прямая гомеоморфна 4-сфере. ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {1}}$

В координатах

Его прямое построение является частным случаем проективного пространства над алгеброй с делением . В однородных координатах точки может быть записаны

${\ displaystyle [q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n}]}$

где - кватернионы, а не все равны нулю. Два набора координат представляют одну и ту же точку, если они «пропорциональны» левому умножению на ненулевой кватернион c ; то есть мы идентифицируем все ${\ displaystyle q_ {i}}$

${\ displaystyle [cq_ {0}, cq_ {1} \ ldots, cq_ {n}]}$ .

На языке групповых действий , является пространство орбит из действия , мультипликативная группа ненулевых кватернионов. По первому проецировании на единичную сферу внутри можно также рассматривать как пространство орбит под действием , группы единичных кватернионов. Сфера затем становится основным Sp (1) расслоение Over : ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {п + 1} \ setminus \ {(0, \ ldots, 0) \}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$${\ displaystyle S ^ {4n + 3}}$${\ displaystyle {\ text {Sp}} (1)}$${\ displaystyle S ^ {4n + 3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (1) \ to S ^ {4n + 3} \ to \ mathbb {HP} ^ {n}.}$

Это расслоение иногда называют (обобщенным) расслоением Хопфа .

Существует также конструкция с помощью двумерных комплексных подпространств , что означает, что он лежит внутри комплексного грассманиана . ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$

Топология

Теория гомотопии

Пространство , определяемое как объединение всех конечных по включению, является классифицирующим пространством BS ³ . Гомотопические группы задаются формулой. Эти группы, как известно, очень сложные, и, в частности, они отличны от нуля для бесконечного числа значений . Однако у нас есть это ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbb {HP} ^ {\ infty}) = \ pi _ {i} (BS ^ {3}) \ cong \ pi _ {i-1} (S ^ {3 }).}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbb {HP} ^ {\ infty}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Q} & i = 4 \\ 0 & i \ neq 4 \ end {case}}}$

Отсюда следует, что рационально, т.е. после локализации пространства , является пространство Эйленберга – Маклейна . То есть (см. Пример K (Z, 2) ). См. Теорию рациональной гомотопии . ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Q}, 4)}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ infty} \ simeq K (\ mathbb {Z}, 4) _ {\ mathbb {Q}}.}$

Как правило, имеет структуру ячеек с одной ячейкой в ​​каждом измерении, кратном 4, вплоть до . Соответственно, его кольцо когомологий есть , где - 4-мерный образующий. Это аналог сложного проективного пространства. Это также следует из теории рациональных гомотопий, что бесконечные гомотопические группы существуют только в размерностях 4 и . ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$${\ displaystyle 4n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [v] / v ^ {n + 1}}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$${\ displaystyle 4n + 3}$

Дифференциальная геометрия

${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {п}}$ несет естественную риманову метрику, аналогичную метрике Фубини-Штуди на , относительно которой это компактное кватернионно-кэлерово симметрическое пространство положительной кривизны. ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$

Кватернионное проективное пространство может быть представлено как пространство смежных классов

${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n} = \ operatorname {Sp} (n + 1) / \ operatorname {Sp} (n) \ times \ operatorname {Sp} (1)}$

где - компактная симплектическая группа . ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$

Характерные классы

Поскольку его касательное расслоение стабильно тривиально. Касательные расслоения остальных имеют нетривиальные классы Штифеля – Уитни и Понтрягина . Итоговые классы рассчитываются по следующим формулам: ${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {1} = S ^ {4}}$

${\ Displaystyle ш (\ mathbb {HP} ^ {n}) = (1 + u) ^ {n + 1}}$

${\ displaystyle p (\ mathbb {HP} ^ {n}) = (1 + v) ^ {2n + 2} (1 + 4v) ^ {- 1}}$

где - генератор и - его редукция по модулю 2. ${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle Н ^ {4} (\ mathbb {HP} ^ {n}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u}$

Особые случаи

Кватернионная проективная линия

Одномерное проективное пространство над называется «проективной линией» в обобщении комплексной проективной прямой . Например, он был использован (неявно) в 1947 г. П.Г. Гормли для расширения группы Мебиуса до кватернионного контекста с помощью дробно-линейных преобразований . Для дробно-линейных преобразований ассоциативного кольца с 1 см. Проективную прямую над кольцом и группу гомографии GL (2, A ). ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

С топологической точки зрения кватернионная проективная прямая - это 4-сфера, а на самом деле это диффеоморфные многообразия. Упомянутое ранее расслоение происходит от 7-сферы и является примером расслоения Хопфа .

Явные выражения для координат 4-сферы можно найти в статье о метрике Фубини – Штуди .

Кватернионная проективная плоскость

В 8-мерном измерении действует круговое действие группы комплексных скаляров с абсолютным значением 1, действующих на другой стороне (то есть справа, так как соглашение о действии c выше находится слева). Следовательно, фактормногообразие${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {HP} ^ {2} / \ mathrm {U} (1)}$

можно взять, написав U (1) для группы кругов . Было показано, что это частное представляет собой сферу 7 , результат Владимира Арнольда из 1996 года, который позже был заново открыт Эдвардом Виттеном и Майклом Атьей .

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Арнольд В.И. (1999). "Родственники частного комплексной проективной плоскости комплексным сопряжением" . Тр. Мат. Inst. Стеклова . 224 : 56–6. CiteSeerX   10.1.1.50.6421 . Рассматривает аналог результата, упомянутого для кватернионного проективного пространства и 13-сферы.
• Гормли, П.Г. (1947), "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской Ирландской Академии, Раздел A , 51 : 67–85, JSTOR   20488472