Среднее квазиарифметическое - Quasi-arithmetic mean

В математике и статистике , то квази-среднее арифметическое или обобщен е -средние одно обобщение более привычных средств , таких как среднее арифметическое и геометрическое среднее , используя функцию . Его также называют средним Колмогорова в честь русского математика Андрея Колмогорова . Это более широкое обобщение, чем обычное обобщенное среднее . ${\ displaystyle f}$

Определение

Если f - функция, которая отображает интервал действительной прямой в действительные числа , и является одновременно непрерывной и инъективной , f -среднее чисел определяется как , что также может быть записано ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ in I}$ ${\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ { n})} {n}} \ right)}$

{\ displaystyle M_ {f} ({\ vec {x}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ( x_ {k}) \ right)}

Мы требуем, чтобы функция f была инъективной, чтобы обратная функция существовала. Поскольку определяется в интервале, лежит в пределах домена . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {е (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n})} {n}}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Поскольку f инъективен и непрерывен, отсюда следует, что f - строго монотонная функция , и, следовательно, f -среднее не больше наибольшего числа в кортеже и не меньше наименьшего числа в . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Примеры

Если = ℝ, действительная прямая и , (или действительно любая линейная функция , не равная 0), то f -среднее соответствует среднему арифметическому . ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle е (х) = х}$ ${\ displaystyle x \ mapsto a \ cdot x + b}$ ${\ displaystyle a}$
Если = ℝ ⁺ , положительные действительные числа и , то f -среднее соответствует среднему геометрическому . Согласно свойствам f- среднего, результат не зависит от основания логарифма, если он положительный, а не 1. ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle е (х) = \ журнал (х)}$
Если = ℝ ⁺ и , то f -среднее соответствует гармоническому среднему . ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$
Если = ℝ ⁺ и , то f -среднее соответствует степенному среднему с показателем степени . ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {р}}$ ${\ displaystyle p}$
Если = ℝ и , то е -средний является средним в журнале полукольцо , которая является постоянная сдвинута версией LogSumExp функции (LSE) (который является логарифмической суммой), . В соответствует деления на $п$ , так как логарифмическое деление линейного вычитания. Функция LogSumExp - это плавный максимум : плавное приближение к функции максимума. ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle е (х) = \ ехр (х)}$ ${\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {LSE} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) - \ log (n)}$ ${\ Displaystyle - \ журнал (п)}$

Характеристики

Следующие свойства сохраняются для любой отдельной функции : ${\ displaystyle M_ {f}}$ ${\ displaystyle f}$

Симметрия: значение не изменяется, если его аргументы меняются местами. ${\ displaystyle M_ {f}}$

Идемпотентность: для всех х , . ${\ Displaystyle М_ {е} (х, \ точки, х) = х}$

Монотонность : монотонна в каждом из своих аргументов (так как это монотонный ). ${\ displaystyle M_ {f}}$ ${\ displaystyle f}$

Непрерывность : непрерывна по каждому из своих аргументов (поскольку непрерывна). ${\ displaystyle M_ {f}}$ ${\ displaystyle f}$

Замена : Подмножества элементов могут быть усреднены априори без изменения среднего, при условии, что сохраняется множественность элементов. С его помощью: ${\ displaystyle m = M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$

{\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}, x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n}) = M_ {f} (\ underbrace {m, \ dots, m} _ {k {\ text {times}}}, x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n})}

Разделение : вычисление среднего может быть разделено на вычисления равных подблоков: ${\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {f} (M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}), M_ {f} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ dots, M_ {f} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ { п \ cdot k}))}$

Self-дистрибутивности : Для любого квази-среднее арифметическое значение двух переменных: . ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle М (Икс, М (Y, Z)) = М (М (х, у), М (х, z))}$

Медиальность : Для любого квази-среднее арифметическое значение двух переменных: . ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M (M (x, y), M (z, w)) = M (M (x, z), M (y, w))}$

Балансировка : Для любого квази-среднего арифметического значения двух переменных: . ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M {\ big (} M (x, M (x, y)), M (y, M (x, y)) {\ big)} = M (x, y)}$

Центральная предельная теорема : в условиях регулярности для достаточно большой выборкиприблизительно нормальна. Аналогичный результат доступен для средних Байрактаревича, которые являются обобщениями квазиарифметических средних. ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ {M_ {f} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) - f ^ {- 1} (E_ {f} (X_ {1}, \ dots , X_ {n})) \}}$

Масштабное инвариантность : Квази-среднее арифметическое инвариантна относительно сдвигов и масштабирование : . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ forall a \ \ forall b \ neq 0 ((\ forall t \ g (t) = a + b \ cdot f (t)) \ Rightarrow \ forall x \ M_ {f} (x) = M_ { g} (x)}$

Характеристика

Есть несколько различных наборов свойств, которые характеризуют квазиарифметическое среднее (т. Е. Каждая функция, которая удовлетворяет этим свойствам, является f- средним для некоторой функции f ).

Медиальности по существу достаточно для характеристики квазиарифметических средних.
Самораспределения по существу достаточно для характеристики квазиарифметических средних.
Замена : Колмогоров доказал, что пять свойств симметрии, неподвижной точки, монотонности, непрерывности и замены полностью характеризуют квазиарифметические средние.
Балансировка : Интересная проблема заключается в том, означает ли это условие (вместе со свойствами симметрии, неподвижной точки, монотонности и непрерывности), что среднее значение является квазиарифметическим. Георг Ауманн показал в 1930-х годах, что в общем случае ответ отрицательный, но если дополнительно предположить, что это аналитическая функция, то ответ будет положительным. ${\ displaystyle M}$

Однородность

Средства , как правило , однородны , но для большинства функций , то е -среднего нет. Действительно, единственные однородные квазиарифметические средние - это степенные средние (включая среднее геометрическое ); см. Харди – Литтлвуд – Поля, стр. 68. ${\ displaystyle f}$

Свойство однородности может быть достигнуто путем нормализации входных значений некоторым (однородным) средним . ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle M_ {f, C} x = Cx \ cdot f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f \ left ({\ frac {x_ {1}} {Cx}} \ right) + \ cdots) + f \ left ({\ frac {x_ {n}} {Cx}} \ right)} {n}} \ right)}

Однако эта модификация может нарушить монотонность и свойство разделения среднего.

использованная литература

Андрей Колмогоров (1930) «О понятии среднего», в «Математике и механике» (Kluwer, 1991) - стр. 144–146.
Андрей Колмогоров (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Наз. Линчеи 12, стр. 388–391.
Джон Бибби (1974) «Аксиоматизация среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей», Glasgow Mathematical Journal, vol. 15. С. 63–65.
Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э .; Полиа, Г. (1952) Неравенства. 2-е изд. Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1952.

Languages

In other projects