Квантовый потенциал - Quantum potential

Квантовый потенциал или квантовая потенция является центральным понятием композиции де Бройль-Бома в квантовой механике , введенной Дэвид Бом в 1952 году.

Первоначально представленный под названием квантово-механический потенциал , впоследствии квантовый потенциал , он был позже развит Бомом и Бэзилом Хили в его интерпретации как информационный потенциал, который действует на квантовую частицу. Его также называют квантовой потенциальной энергией , потенциалом Бома , квантовым потенциалом Бома или квантовым потенциалом Бома .

Квантовый потенциал

${\ displaystyle \ quad Q = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ nabla ^ {2} R} {R}}}$

В рамках теории де Бройля – Бома квантовый потенциал - это термин в уравнении Шредингера, который направляет движение квантовых частиц. Подход квантового потенциала, введенный Бомом, обеспечивает формально более полное изложение идеи, представленной Луи де Бройлем : де Бройль постулировал в 1926 году, что волновая функция представляет собой пилотную волну, которая направляет квантовую частицу, но впоследствии отказался от своего подхода из-за возражения, высказанные Вольфгангом Паули . В основополагающих статьях Бома в 1952 г. был представлен квантовый потенциал и даны ответы на возражения, выдвинутые против теории пилотных волн.

Квантовый потенциал Бома тесно связан с результатами других подходов, в частности, касающихся работы Эрвина Маделунга 1927 года и работы Карла Фридриха фон Вайцзеккера 1935 года .

Основываясь на интерпретации квантовой теории, представленной Бомом в 1952 году, Дэвид Бом и Бэзил Хили в 1975 году представили, как концепция квантового потенциала приводит к понятию «непрерывной целостности всей Вселенной», предложив, что фундаментальное новое качество квантовая физика привносит нелокальность .

Квантовый потенциал как часть уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V \ вправо) \ psi \ quad}$

переписывается с использованием полярной формы для волновой функции с вещественными функциями и , где - амплитуда ( модуль ) волновой функции и ее фаза. Это дает два уравнения: из мнимой и действительной части уравнения Шредингера следуют уравнение неразрывности и квантовое уравнение Гамильтона – Якоби соответственно. ${\ Displaystyle \ psi = R \ ехр (iS / \ HBAR)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle S / \ hbar}$

Уравнение неразрывности

Мнимая часть уравнения Шредингера в полярной форме дает

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {2m}} \ left [R \ nabla ^ {2} S + 2 \ nabla R \ cdot \ nabla S \Правильно],}$

которое, при условии , может быть интерпретировано как уравнение неразрывности для плотности вероятности и поля скоростей${\ displaystyle \ rho = R ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ partial \ rho / \ partial t + \ nabla \ cdot (\ rho v) = 0}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle v = {\ frac {1} {m}} \ nabla S}$

Квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.

Действительная часть уравнения Шредингера в полярной форме дает модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби

${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = - \ left [{\ frac {\ left | \ nabla S \ right | ^ {2}} {2m}} + V + Q \ right ],}$

также называется квантовым уравнением Гамильтона – Якоби . Оно отличается от классического уравнения Гамильтона – Якоби только членом

Таким образом , этот член , называемый квантовым потенциалом , зависит от кривизны амплитуды волновой функции. ${\ displaystyle Q}$

В пределе функция является решением (классического) уравнения Гамильтона – Якоби; поэтому функция также называется функцией Гамильтона – Якоби или действием , распространенным на квантовую физику. ${\ displaystyle \ hbar \ to 0}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Характеристики

Траектории Бома под действием квантового потенциала на примере электрона, проходящего через двухщелевой эксперимент .

Хили подчеркнул несколько аспектов, касающихся квантового потенциала квантовой частицы:

• он математически выводится из действительной части уравнения Шредингера при полярном разложении волновой функции, не выводится из гамильтониана или другого внешнего источника, и можно сказать, что он участвует в самоорганизующемся процессе с участием основного основного поля;
• она не меняется, если умножается на константу, поскольку этот член также присутствует в знаменателе, так что он не зависит от величины и, следовательно, от напряженности поля; следовательно, квантовый потенциал выполняет предварительное условие нелокальности: он не должен падать с увеличением расстояния;${\ displaystyle R}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ psi}$
• он несет информацию обо всей экспериментальной установке, в которой находится частица.

В 1979 году Хили и его коллеги Филиппидис и Дьюдни представили полный расчет объяснения эксперимента с двумя щелями в терминах бомовских траекторий, возникающих для каждой частицы, движущейся под действием квантового потенциала, в результате чего был получен хорошо известный интерференционные картины .

Схема эксперимента с двумя щелями, в котором можно наблюдать эффект Ааронова – Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, и интерференционная картина претерпевает сдвиг при включении магнитного поля B в цилиндрическом соленоиде.

Также сдвиг интерференционной картины, который происходит в присутствии магнитного поля в эффекте Ааронова-Бома, можно объяснить как результат квантового потенциала.

Отношение к процессу измерения

Коллапс волновой функции в копенгагенской интерпретации квантовой теории объясняются в квантовом потенциальном подходе демонстрации того, что, после измерения, «всех пакеты многомерной волновой функции , которая не соответствует фактическому результату измерения не действуют на частицу »с этого момента. Бом и Хили указали, что

«квантовый потенциал может образовывать нестабильные точки бифуркации, которые разделяют классы траекторий частиц согласно« каналам », в которые они в конечном итоге входят и в которых остаются. Это объясняет, как измерение возможно без "коллапса" волновой функции, и как все виды квантовых процессов, такие как переходы между состояниями, слияние двух состояний в одно и деление одной системы на две, могут происходить без потребность в наблюдателе-человеке ».

Затем измерение «включает совместное преобразование, в котором наблюдаемая система и наблюдающий аппарат подвергаются взаимному участию, так что траектории ведут себя коррелированным образом, становятся коррелированными и разделенными на разные, неперекрывающиеся множества (которые мы называем« каналами »). ) ".

Квантовый потенциал системы n частиц

Волновая функция Шредингера квантовой системы многих частиц не может быть представлена ​​в обычном трехмерном пространстве . Скорее, он представлен в конфигурационном пространстве с тремя измерениями на частицу. Таким образом, одна точка в конфигурационном пространстве представляет собой конфигурацию всей системы из n частиц в целом.

Двухчастичная волновая функция из одинаковых частиц массы имеет квантовый потенциал ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t)}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ quad Q (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac { (\ nabla _ {1} ^ {2} + \ nabla _ {2} ^ {2}) R (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t)} {R (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t)}}}$

где и относятся к частице 1 и частице 2 соответственно. Это выражение прямо обобщается на частицы: ${\ displaystyle \ nabla _ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle \ nabla _ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ quad Q (\ mathbf {r_ {1}}, ..., \ mathbf {r_ {n}}, \, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2R (\ mathbf {r_ {1}}, ..., \ mathbf {r_ {n}}, \, t)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ nabla _ {i} ^ {2}} {m_ {i}}} R (\ mathbf {r_ {1}}, ..., \ mathbf {r_ {n}}, \, t)}$

В случае, если волновая функция двух или более частиц разделима, тогда полный квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. Точная разделимость крайне нефизична, учитывая, что взаимодействия между системой и ее окружением разрушают факторизацию; Однако, волновая функция , которая является суперпозицией нескольких волновых функций приблизительно дизъюнктной поддержки будет факторизовать примерно.

Вывод для разделимой квантовой системы.

Разделимость волновой функции означает, что она разлагается на форму . Затем следует, что это также факторизуется, и полный квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t) = \ psi _ {A} (\ mathbf {r_ {1}}, \, t) \ psi _ {B} (\ mathbf {r_ {2}}, \, t)}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle Q (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} ({\ frac {\ набла _ {1} ^ {2} R_ {A} (\ mathbf {r_ {1}}, \, t)} {R_ {A} (\ mathbf {r_ {1}}, \, t)}} + {\ frac {\ nabla _ {2} ^ {2} R_ {B} (\ mathbf {r_ {2}}, \, t)} {R_ {B} (\ mathbf {r_ {2}}, \, t)}}) = Q_ {A} (\ mathbf {r_ {1}}, \, t) + Q_ {B} (\ mathbf {r_ {2}}, \, t)}$

В случае, если волновая функция является разделимой, то есть при факторизации по форме , две одночастичные системы ведут себя независимо. В более общем смысле, квантовый потенциал системы -частиц с разделяемой волновой функцией представляет собой сумму квантовых потенциалов, разделяющих систему на независимые одночастичные системы. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}, \, t) = \ psi _ {A} (\ mathbf {r_ {1}}, \, t) \ psi _ {B} (\ mathbf {r_ {2}}, \, t)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Формулировка в терминах плотности вероятности

Квантовый потенциал в терминах функции плотности вероятности

Бом, а также другие физики после него, стремились предоставить доказательства того, что правило Борна, связанное с функцией плотности вероятности${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ rho = R ^ {2} \ quad}$

в формулировке пилотной волны можно понимать не как основную закономерность, а как теорему (называемую гипотезой квантового равновесия ), которая применяется, когда квантовое равновесие достигается в ходе развития во времени согласно уравнению Шредингера. С правилом Борна и прямым применением правил цепочки и продуктов

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ sqrt {\ rho}} = \ nabla \ nabla \ rho ^ {1/2} = \ nabla ({\ frac {1} {2}} \ rho ^ {- 1 / 2} \ nabla \ rho) = {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ rho ^ {- 1/2} \ nabla \ rho) = {\ frac {1} {2}} \ left [ (\ nabla \ rho ^ {- 1/2}) \ nabla \ rho + \ rho ^ {- 1/2} \ nabla ^ {2} \ rho \ right]}$

квантовый потенциал, выраженный через функцию плотности вероятности, принимает следующий вид:

${\ displaystyle Q = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ nabla ^ {2} {\ sqrt {\ rho}}} {\ sqrt {\ rho}}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4m}} \ left [{\ frac {\ nabla ^ {2} \ rho} {\ rho}} - {\ frac {1} {2}} {\ гидроразрыв {(\ nabla \ rho) ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ right]}$

Квантовая сила

Квантовая сила , выраженная через распределение вероятностей, составляет: ${\ displaystyle F_ {Q} = - \ nabla Q}$

${\ displaystyle F_ {Q} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4m}} \ left [{\ frac {\ nabla (\ nabla ^ {2} \ rho)} {\ rho}} - { \ frac {\ nabla (\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho)} {2 \ rho ^ {2}}} - \ left ({\ frac {\ nabla ^ {2} \ rho} {\ rho}} - {\ frac {\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho} {\ rho ^ {2}}} \ right) {\ frac {\ nabla \ rho} {\ rho}} \ right]}$

Формулировка в конфигурационном и импульсном пространствах в результате проекций

М. Р. Браун и Б. Хили показали, что в качестве альтернативы формулировке терминов конфигурационного пространства ( -пространства) квантовый потенциал также может быть сформулирован в терминах импульсного пространства ( -пространства). ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

В соответствии с подходом Дэвида Бома, Бэзил Хили и математик Морис де Госсон показали, что квантовый потенциал можно рассматривать как следствие проекции базовой структуры, точнее некоммутативной алгебраической структуры, на подпространство, такое как обычное пространство. ( -пространство). В алгебраических терминах квантовый потенциал можно рассматривать как возникающий из отношения между имплицитным и явным порядками : если некоммутативная алгебра используется для описания некоммутативной структуры квантового формализма, оказывается, что невозможно определить лежащее в основе пространство, но это скорее « теневые пространства » (гомоморфные пространства), и что при этом появляется квантовый потенциал. Подход квантового потенциала можно рассматривать как способ построения теневых пространств. Таким образом, квантовый потенциал приводит к искажению из-за проекции нижележащего пространства в -пространство, подобно тому, как проекция Меркатора неизбежно приводит к искажению географической карты. Существует полная симметрия между -представлением, и квантовый потенциал, как он появляется в конфигурационном пространстве, можно рассматривать как возникающий из-за дисперсии -представления импульса . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

Этот подход был применен к расширенному фазовому пространству , в том числе в рамках подхода алгебры Даффина – Кеммера – Петио .

Связь с другими величинами и теориями

Отношение к информации Фишера

Можно показать, что среднее значение квантового потенциала пропорционально информации Фишера плотности вероятности о наблюдаемом${\ displaystyle Q = - \ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2} {\ sqrt {\ rho}} / (2m {\ sqrt {\ rho}})}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = \ int \ rho \ cdot (\ nabla \ ln \ rho) ^ {2} \, d ^ {3} x = - \ int \ rho \ nabla ^ {2} ( \ ln \ rho) \, d ^ {3} x.}$

Используя это определение информации Фишера, мы можем написать:

${\ Displaystyle \ langle Q \ rangle = \ int \ psi ^ {*} Q \ psi \, d ^ {3} x = \ int \ rho Q \, d ^ {3} x = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m}} {\ mathcal {I}}.}$

Связь с тензором давления Маделунга

В уравнениях Маделунга, представленных Эрвином Маделунгом в 1927 году, нелокальный квантовый тензор давления имеет ту же математическую форму, что и квантовый потенциал. Основная теория отличается тем, что подход Бома описывает траектории частиц, тогда как уравнения квантовой гидродинамики Маделунга являются уравнениями Эйлера жидкости, которые описывают ее усредненные статистические характеристики.

Связь с поправкой фон Вайцзеккера

В 1935 году Карл Фридрих фон Вайцзеккер предложил добавить член неоднородности (иногда называемый поправкой фон Вайцзеккера ) к кинетической энергии теории атомов Томаса – Ферми (ТФ) .

Поправочный член фон Вайцзеккера равен

${\ Displaystyle E_ {W} [\ rho] = \ int dr \, {\ frac {\ rho \ hbar ^ {2} (\ nabla \ ln \ rho) ^ {2}} {8m}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m}} \ int dr \, {\ frac {(\ nabla \ rho) ^ {2}} {\ rho}} = \ int dr \, \ rho \, Q.}$

Поправочный член также был получен как поправка первого порядка к кинетической энергии ТФ в полуклассической поправке к теории Хартри – Фока .

Было указано, что поправочный член фон Вайцзеккера при низкой плотности принимает ту же форму, что и квантовый потенциал.

Квантовый потенциал как энергия внутреннего движения, связанного со спином

Джованни Салези, Эразмо Реками и его сотрудники показали в 1998 году, что в соответствии с теоремой Кенига квантовый потенциал можно отождествить с кинетической энергией внутреннего движения (" zitterbewegung "), связанного со спином частицы со спином 1/2. наблюдается в кадре центра масс. Говоря более конкретно, они показали, что внутренняя скорость дрожания вращающейся нерелятивистской частицы постоянного спина без прецессии и в отсутствие внешнего поля имеет значение в квадрате:

${\ displaystyle \ mathbf {V} ^ {2} = {\ frac {(\ nabla \ rho \ land \ mathbf {s}) ^ {2}} {(m \ rho) ^ {2}}} = {\ гидроразрыв {(\ nabla \ rho) ^ {2} \ mathbf {s} ^ {2} - (\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {s})} {(m \ rho) ^ {2}}}}$

из которых второй член оказывается незначительным по размеру; то отсюда следует, что ${\ Displaystyle | \ mathbf {s} | = \ hbar / 2}$

${\ displaystyle | \ mathbf {V} | = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ frac {\ nabla \ rho} {m \ rho}}}$

Салези дал более подробную информацию об этой работе в 2009 году.

В 1999 году Сальваторе Эспозито обобщил их результат для частиц со спином 1/2 на частицы с произвольным спином, подтвердив интерпретацию квантового потенциала как кинетической энергии внутреннего движения. Эспозито показал, что (используя обозначение = 1) квантовый потенциал можно записать как: ${\ displaystyle \ hbar}$

${\ displaystyle Q = - {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} _ {S} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} _ {S}}$

и что причинную интерпретацию квантовой механики можно переформулировать в терминах скорости частицы

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {B} + \ mathbf {v} _ {S} \ times \ mathbf {s}}$

где "скорость дрейфа" равна

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {B} = {\ frac {\ nabla S} {m}}}$

и «относительная скорость» является , с ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {S} \ times \ mathbf {s}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {S} = {\ frac {\ nabla R ^ {2}} {2mR ^ {2}}}}$

и представляет направление вращения частицы. В этой формулировке, согласно Эспозито, квантовая механика обязательно должна интерпретироваться в вероятностных терминах по той причине, что начальное условие движения системы не может быть точно определено. Эспозито объяснил, что «квантовые эффекты, присутствующие в уравнении Шредингера, обусловлены наличием особого пространственного направления, связанного с частицей, которое, исходя из изотропии пространства, можно отождествить со спином самой частицы». Эспозито обобщил его от частиц материи до калибровочных частиц , в частности фотонов , для которых он показал, что, если их моделировать как функцию вероятности , их можно понять в подходе квантового потенциала. ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$${\ displaystyle \ psi = (\ mathbf {E} -i \ mathbf {B}) / {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle \ psi ^ {*} \ cdot \ psi = (\ mathbf {E} ^ {2} + \ mathbf {B} ^ {2}) / 2}$

Джеймс Р. Боган в 2002 году опубликовал вывод обратного преобразования уравнения Гамильтона-Якоби классической механики к нестационарному уравнению Шредингера квантовой механики, которое возникает из калибровочного преобразования, представляющего спин, при простом требовании сохранения вероятность . Это спин-зависимое преобразование является функцией квантового потенциала.

Квантовая механика EP с квантовым потенциалом как производной Шварца

В другом подходе, квантовая механика EP формулирует на основе принципа эквивалентности (EP), квантовый потенциал записывается как:

${\ Displaystyle Q (q) = {\ гидроразрыва {\ hbar ^ {2}} {4m}} \ {S; q \}}$

где есть производная Шварца , то есть . Однако даже в тех случаях, когда это может равняться ${\ Displaystyle \ {\,; \, \}}$${\ Displaystyle \ {S; д \} = (S \, '' '/ S \,') - (3/2) (S \, '' / S \, ') ^ {2}}$

${\ displaystyle Q (q) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ Delta R} {R}}}$

Э. Фараджи и М. Матоне подчеркивают, что это не соответствует обычному квантовому потенциалу, поскольку в их подходе является решением уравнения Шредингера, но не соответствует волновой функции. Это было дополнительно исследовано Э. Р. Флойдом для классического предела → 0, а также Робертом Кэрроллом. ${\ Displaystyle R \, ехр (iS / \ HBAR)}$${\ displaystyle \ hbar}$

Повторная интерпретация в терминах алгебр Клиффорда

Б. Хили и Р. Э. Каллаган переосмысливают роль модели Бома и ее понятие квантового потенциала в рамках алгебры Клиффорда , принимая во внимание недавние достижения, в том числе работу Дэвида Хестенеса по алгебре пространства-времени . Они показывают, как внутри вложенной иерархии алгебр Клиффорда для каждой алгебры Клиффорда могут быть построены элемент минимального левого идеала и элемент правого идеала, представляющий ее сопряжение Клиффорда , и из него элемент плотности Клиффорда (CDE) , элемент алгебры Клиффорда, который изоморфен стандартной матрице плотности, но не зависит от какого-либо конкретного представления. На этой основе могут быть сформированы билинейные инварианты, которые представляют свойства системы. Хили и Каллаган различают билинейные инварианты первого типа, каждый из которых обозначает математическое ожидание элемента алгебры, который может быть сформирован как , и билинейные инварианты второго типа, которые построены с производными и представляют импульс и энергию. Используя эти термины, они восстанавливают результаты квантовой механики, не зависящие от конкретного представления в терминах волновой функции и не требующие ссылки на внешнее гильбертово пространство. В соответствии с более ранними результатами показано , что квантовый потенциал нерелятивистской частицы со спином ( частица Паули ) имеет дополнительный член, зависящий от спина, и показано, что импульс релятивистской частицы со спином ( частица Дирака ) состоит из линейное движение и вращательная часть. Два динамических уравнения, управляющих эволюцией во времени, интерпретируются как уравнения сохранения. Один из них означает сохранение энергии ; другой означает сохранение вероятности и спина . Квантовый потенциал играет роль внутренней энергии, обеспечивающей сохранение полной энергии. ${\ displaystyle C \ ell _ {я, j}}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {L} (\ mathbf {r}, т)}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {R} (\ mathbf {r}, t) = {\ тильда {\ Phi}} _ {L} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ rho _ {c} (\ mathbf {r}, t) = \ Phi _ {L} (\ mathbf {r}, t) {\ tilde {\ Phi}} _ {L} (\ mathbf { r}, t)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ rm {Tr}} B \ rho _ {c}}$

Релятивистские и теоретико-полевые расширения

Квантовый потенциал и относительность

Бом и Хили продемонстрировали, что нелокальность квантовой теории может быть понята как предельный случай чисто локальной теории при условии, что передача активной информации может превышать скорость света, и что этот предельный случай дает приближения к обоим квантовая теория и теория относительности.

Подход квантового потенциала был расширен Хили и его сотрудниками на квантовую теорию поля в пространстве-времени Минковского и искривленное пространство-время.

Карло Кастро и Хорхе Махеча вывели уравнение Шредингера из уравнения Гамильтона-Якоби в сочетании с уравнением неразрывности и показали, что свойства релятивистского квантового потенциала Бома в терминах плотности ансамбля могут быть описаны свойствами Вейля пространства. В римановом плоском пространстве потенциал Бома равен кривизне Вейля . Согласно Кастро и Махеча, в релятивистском случае квантовый потенциал (с использованием оператора Даламбера  и в обозначениях ) принимает вид ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Box}$${\ displaystyle \ hbar = 1}$

${\ displaystyle Q = - {\ frac {1} {2m}} {\ frac {\ quad \ Box {\ sqrt {\ rho}}} {\ sqrt {\ rho}}}}$

показано, что квантовая сила, создаваемая релятивистским квантовым потенциалом, зависит от калибровочного потенциала Вейля и его производных. Кроме того, взаимосвязь между потенциалом Бома и кривизной Вейля в плоском пространстве-времени соответствует аналогичной взаимосвязи между информацией Фишера и геометрией Вейля после введения комплексного импульса.

Диего Л. Рапопорт, с другой стороны, связывает релятивистский квантовый потенциал с метрической скалярной кривизной (кривизной Римана).

Что касается уравнения Клейна – Гордона для частицы с массой и зарядом, Питер Р. Холланд в своей книге 1993 года говорил о «квантовом потенциальном члене», который является пропорциональным . Однако он подчеркнул, что дать теории Клейна – Гордона одночастичную интерпретацию в терминах траекторий, как это может быть сделано для нерелятивистской квантовой механики Шредингера, привело бы к неприемлемым противоречиям. Например, волновые функции, которые являются решениями уравнения Клейна – Гордона или уравнения Дирака, не могут быть интерпретированы как амплитуда вероятности того, что частица может быть обнаружена в заданном объеме в определенный момент времени в соответствии с обычными аксиомами квантовой механики, и аналогично в причинная интерпретация: это нельзя интерпретировать как вероятность того, что частица будет находиться в этом объеме в то время. Холланд указал, что, хотя были предприняты усилия для определения эрмитова оператора положения, который позволил бы интерпретировать квантовую теорию поля конфигурационного пространства, в частности, с использованием подхода локализации Ньютона-Вигнера , но что никакой связи с возможностями эмпирического определения положения с точки зрения релятивистской теории измерения или для интерпретации траектории. Однако, по мнению Холланда, это не означает, что концепция траектории должна быть исключена из соображений релятивистской квантовой механики. ${\ Displaystyle \ Box R / R}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t)}$${\ displaystyle d ^ {3} x}$${\ displaystyle t}$

Хрвое Николич получил выражение для квантового потенциала и предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовской интерпретации многочастичных волновых функций. Он также разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории, в которой уже не плотность вероятности в пространстве, а плотность вероятности в пространстве-времени. ${\ Displaystyle Q = - (1/2 м) \, \ Box R / R}$${\ displaystyle | \ psi | ^ {2}}$

Квантовый потенциал в квантовой теории поля

Исходя из пространственного представления координаты поля, была построена причинная интерпретация картины Шредингера релятивистской квантовой теории. Можно показать, что картина Шредингера для нейтрального безмассового поля со спином 0 с действительными функционалами приводит к ${\ Displaystyle \ Psi \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right] = R \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right] e ^ {S \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right]}}$${\ displaystyle R \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right], S \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right]}$

${\ displaystyle Q \ left [\ psi (\ mathbf {x}, t) \ right] = - (1 / 2R) \ int d ^ {3} x \, \ delta ^ {2} R / \ delta \ psi ^ {2}}$

Это было названо Бомом и его сотрудниками суперквантовым потенциалом .

Василий Hiley показал , что энергия-импульс-отношения в модели Бома можно получить непосредственно от тензора энергии-импульса в квантовой теории поля и квантовый потенциал является термин энергия , которая необходима для сохранения локальной энергии-импульса. Он также намекнул, что для частицы с энергией, равной или превышающей порог создания пары , модель Бома представляет собой теорию многих частиц, которая описывает также процессы создания и аннигиляции пар.

Интерпретация и обозначение квантового потенциала

В своей статье 1952 года, предлагающей альтернативную интерпретацию квантовой механики , Бом уже говорил о «квантово-механическом» потенциале.

Бом и Бэзил Хили также назвали квантовый потенциал информационным потенциалом , учитывая, что он влияет на форму процессов и сам формируется окружающей средой. Бом указал: «Корабль или самолет (с его автопилотом) - это самоактивная система, т. Е. У него есть собственная энергия. Но форма его активности определяется содержанием информации об окружающей среде, которую переносят радиолокационные волны. Это не зависит от интенсивности волн. Точно так же мы можем рассматривать квантовый потенциал как содержащий активную информацию . Он потенциально активен везде, но фактически активен только там и тогда, когда есть частица ». (курсив в оригинале).

Хейли называет квантовый потенциал внутренней энергией и «новым качеством энергии, играющим роль только в квантовых процессах». Он объясняет, что квантовый потенциал - это еще один энергетический термин, помимо хорошо известной кинетической энергии и (классической) потенциальной энергии, и что это нелокальный энергетический член, который обязательно возникает ввиду требования сохранения энергии; он добавил, что большая часть сопротивления физического сообщества понятию квантового потенциала, возможно, объясняется ожиданиями ученых, что энергия должна быть локальной.

Хили подчеркивал, что квантовый потенциал для Бома был «ключевым элементом в понимании того, что может лежать в основе квантового формализма. Более глубокий анализ этого аспекта подхода убедил Бома в том, что теория не может быть механической. это органично в смысле Уайтхеда . А именно, что это было целое, которое определяло свойства отдельных частиц и их взаимосвязь, а не наоборот ».

Питер Р. Холланд в своем всеобъемлющем учебнике также называет это квантовой потенциальной энергией . Квантовый потенциал также упоминается в ассоциации с именем Бома как потенциал Бома , квантовый потенциал Бома или квантовый потенциал Бома .

Приложения

Подход квантового потенциала можно использовать для моделирования квантовых эффектов, не требуя явного решения уравнения Шредингера, и его можно интегрировать в моделирование, такое как моделирование методом Монте-Карло с использованием уравнений гидродинамики и дрейфовой диффузии . Это делается в форме «гидродинамического» расчета траекторий: исходя из плотности на каждом «элементе жидкости», ускорение каждого «элемента жидкости» вычисляется из градиента и , а результирующая дивергенция поля скорости определяет изменение плотности. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Q}$

Подход с использованием бомовских траекторий и квантового потенциала используется для расчета свойств квантовых систем, которые не могут быть решены точно, которые часто аппроксимируются с использованием полуклассических подходов. В то время как в среднем поле приближается к потенциалу классического движения, полученному в результате усреднения по волновым функциям, этот подход не требует вычисления интеграла по волновым функциям.

Выражение для квантовой силы использовалось вместе с байесовским статистическим анализом и методами максимизации ожидания для вычисления ансамблей траекторий , возникающих под действием классических и квантовых сил.

дальнейшее чтение

Основные статьи

• Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 .( полный текст )
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах« скрытых переменных », II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..180B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.180 .( полный текст )
• Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории , Physics Reports (Review section of Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 321–375, 1987 ( полный текст ), в нем: D. Бом, Б. Дж. Хили: I. Нерелятивистские системы частиц , стр. 321–348, и Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: II. Причинная интерпретация квантовых полей , стр. 349–375.

Недавние статьи

• Самопроизвольное создание вселенной из ничего , arXiv: 1404.1207v1 , 4 апреля 2014 г.
• Морис де Госсон, Бэзил Хили: Кратковременный квантовый пропагатор и бомовские траектории , arXiv: 1304.4771v1 (представлено 17 апреля 2013 г.)
• Роберт Кэрролл: Колебания, гравитация и квантовый потенциал , 13 января 2005 г., asXiv: gr-qc / 0501045v1

Обзор

• Давиде Фискалетти: О различных подходах к квантовому потенциалу Бома в нерелятивистской квантовой механике , Квантовая материя, Том 3, номер 3, июнь 2014 г., стр. 177–199 (23), doi : 10.1166 / qm.2014.1113 .
• Игнацио Ликата , Давиде Фискалетти (с предисловием Б.Дж. Хили ): Квантовый потенциал: физика, геометрия и алгебра , AMC, Springer, 2013, ISBN  978-3-319-00332-0 (печать) / ISBN  978-3-319- 00333-7 (онлайн)
• Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации де Бройля-Бома квантовой механики , Cambridge University Press, Кембридж (впервые опубликовано 25 июня 1993 г.), ISBN  0-521-35404-8 в твердом переплете, ISBN  0-521-48543-6 мягкая обложка, переведена на цифровую печать 2004 г.
• Дэвид Бом , Бэзил Хили : Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge, 1993, ISBN  0-415-06588-7
• Дэвид Бом, Ф. Дэвид Пит : Наука, порядок и творчество , 1987, Рутледж, 2-е изд. 2000 (переведено на цифровую печать 2008, Routledge), ISBN  0-415-17182-2

использованная литература