Псевдоскаляр - Pseudoscalar

В линейной алгебре , псевдоскаляр является величиной, ведет себя как скаляр , за исключением того, что она меняет знак при инверсии четности в то время как истинный скаляр не делает.

Любое скалярное произведение между псевдовектором и обычным вектором является псевдоскаляром. Прототипным примером псевдоскаляра является скалярное тройное произведение , которое можно записать как скалярное произведение между одним из векторов в тройном произведении и перекрестным произведением между двумя другими векторами, где последний является псевдовектором. Псевдоскаляр при умножении на обычный вектор становится псевдовектором (аксиальным вектором) ; аналогичная конструкция создает псевдотензор .

Математически, псевдоскаляр является элементом верхней внешней силы в виде векторного пространства , или верхней мощью алгебры Клиффорда ; см. псевдоскаляр (алгебра Клиффорда) . В более общем смысле , это элемент канонического расслоения в виде дифференцируемого многообразия .

В физике

В физике псевдоскаляр обозначает физическую величину, аналогичную скаляру . Обе являются физическими величинами, которые принимают одно значение, инвариантное при правильном вращении . Однако при преобразовании четности псевдоскаляры меняют свои знаки, а скаляры - нет. Поскольку отражения через плоскость представляют собой комбинацию вращения с преобразованием четности, псевдоскаляры также меняют знак при отражении.

Одна из самых сильных идей в физике состоит в том, что физические законы не меняются при изменении системы координат, используемой для описания этих законов. То, что псевдоскаляр меняет свой знак при инвертировании координатных осей, предполагает, что это не лучший объект для описания физической величины. В трехмерном пространстве величины, описываемые псевдовектором, являются антисимметричными тензорами второго порядка, которые инвариантны относительно инверсии. Псевдовектор может быть более простым представлением этой величины, но страдает от изменения знака при инверсии. Точно так же в трехмерном пространстве двойственный по Ходжу скаляр равен константе, умноженной на трехмерный псевдотензор Леви-Чивиты (или псевдотензор «перестановки»); тогда как двойственный по Ходжу псевдоскаляр является антисимметричным (чистым) тензором третьего порядка. Псевдотензор Леви-Чивиты представляет собой полностью антисимметричный псевдотензор третьего порядка. Поскольку двойственное к псевдоскаляру является произведением двух «псевдоскаляров», полученный тензор является истинным тензором и не меняет знак при обращении топоры. Ситуация аналогична ситуации для псевдовекторов и антисимметричных тензоров 2-го порядка. Двойственный к псевдовектору - это антисимметричный тензор 2-го порядка (и наоборот). Тензор является инвариантной физической величиной относительно инверсии координат, в то время как псевдовектор не инвариантен.

Ситуация может быть расширена до любого измерения. Обычно в n -мерном пространстве двойственный по Ходжу тензора порядка r будет антисимметричным псевдотензором порядка ( n - r ) и наоборот. В частности, в четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности псевдоскаляр является двойником тензора четвертого порядка и пропорционален четырехмерному псевдотензору Леви-Чивита .

Примеры

• Функция тока для двумерного потока несжимаемой жидкости . ${\ Displaystyle \ psi (х, у)}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ left (x, y \ right) = \ left \ langle \ partial _ {y} \ psi, - \ partial _ {x} \ psi \ right \ rangle}$
• Магнитный заряд - это псевдоскаляр, как он определяется математически, независимо от того, существует ли он физически.
• Магнитный поток является результатом скалярного произведения вектора ( нормали к поверхности ) и псевдовектора ( магнитного поля ).
• Спиральность - это проекция (скалярное произведение) псевдовектора спина на направление импульса (истинный вектор).
• Псевдоскалярные частицы, т.е. частицы со спином 0 и нечетной четностью, то есть частица без собственного спина с волновой функцией , меняющей знак при инверсии четности . Примеры - псевдоскалярные мезоны .

В геометрической алгебре

Псевдоскаляр в геометрической алгебре - это элемент высшего класса алгебры. Например, в двух измерениях есть два ортогональных базисных вектора , и связанный с ними базисный элемент высшего класса ${\ displaystyle e_ {1}}$${\ displaystyle e_ {2}}$

${\ displaystyle e_ {1} e_ {2} = e_ {12}.}$

Таким образом, псевдоскаляр делится на e ₁₂ . Элемент e ₁₂ возводится в квадрат с -1 и коммутирует со всеми четными элементами, поэтому ведет себя как мнимый скаляр i в комплексных числах . Именно эти скалярные свойства дали начало его названию.

В этой настройке псевдоскаляр меняет знак при инверсии четности, так как если

( e ₁ , e ₂ ) → ( u ₁ , u ₂ )

- смена базиса, представляющая ортогональное преобразование, то

е ₁ е ₂ → и ₁ и ₂ = ± е ₁ е ₂ ,

где знак зависит от определителя преобразования. Таким образом, псевдоскаляры в геометрической алгебре соответствуют псевдоскалярам в физике.

Рекомендации