Оператор Пуанкаре – Стеклова - Poincaré–Steklov operator

В математике оператор Пуанкаре – Стеклова (после Анри Пуанкаре и Владимира Стеклова ) отображает значения одного граничного условия решения эллиптического уравнения в частных производных в области в значения другого граничного условия. Обычно решение определяется одним из граничных условий. Таким образом, оператор Пуанкаре – Стеклова инкапсулирует граничный отклик системы, моделируемой уравнением в частных производных. Когда уравнение в частных производных дискретизируется, например, с помощью конечных элементов или конечных разностей , дискретизация оператора Пуанкаре – Стеклова является дополнением Шура, полученным путем исключения всех степеней свободы внутри области.

Обратите внимание, что может быть много подходящих различных граничных условий для данного уравнения в частных производных, и направление, в котором оператор Пуанкаре – Стеклова отображает значения одного в другое, задается только условно.

Оператор Дирихле-Неймана в ограниченной области

Рассмотрим установившееся распределение температуры в теле при заданных значениях температуры на поверхности тела. Затем результирующий тепловой поток через границу (то есть тепловой поток, который потребуется для поддержания заданной температуры поверхности) определяется однозначно. Отображение температуры поверхности в поток тепла поверхности является оператором Пуанкаре – Стеклова. Этот конкретный оператор Пуанкаре – Стеклова называется оператором Дирихле – Неймана (DtN). Значения температуры на поверхности является граничным условием Дирихля из уравнения Лапласа , которое описывает распределение температуры внутри тела. Тепловой поток через поверхность - это граничное условие Неймана (пропорционально нормальной производной температуры).

Математически для функции, гармонической в области , оператор Дирихле-Неймана отображает значения на границе в нормальную производную на границе . Этот оператор Пуанкаре – Стеклова лежит в основе итеративного субструктурирования . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset R ^ {n}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ partial u / \ partial n}$${\ displaystyle \ Omega}$

Обратная граничная задача Кальдерона - это задача нахождения коэффициента дивергентной формы эллиптического уравнения с частными производными из его оператора Дирихле - Неймана. Это математическая формулировка электроимпедансной томографии .

Оператор Дирихле-Неймана для граничного условия на бесконечности

Решение дифференциального уравнения в частных производных во внешней области приводит к оператору Пуанкаре – Стеклова, который переносит граничное условие с бесконечности на границу. Одним из примеров является оператор Дирихле-Неймана, который отображает заданную температуру на границе полости в бесконечной среде с нулевой температурой на бесконечности в тепловой поток на границе полости. Аналогичным образом можно определить оператор Дирихле – Неймана на границе сферы для решения уравнения Гельмгольца вне сферы. Аппроксимации этого оператора лежат в основе класса методов моделирования акустического рассеяния в бесконечной среде, в которой рассеиватель заключен в сферу, а оператор Пуанкаре – Стеклова служит неотражающим (или поглощающим) граничным условием.

Оператор Пуанкаре – Стеклова в электромагнетизме.

Оператор Пуанкаре – Стеклова определяется как оператор, отображающий гармоническое по времени (то есть зависящее от времени как ) касательное электрическое поле на границе области в эквивалентный электрический ток на ее границе. ${\ displaystyle e ^ {я \ omega t}}$

Смотрите также

• Анализ взаимодействия жидкости и структуры (границы / интерфейс)
• Метод декомпозиции области дополнения Шура

Ссылки

• Лебедев В.И.; Агошков, В. И. Оператор Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. [Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе] Акад. Наук СССР, Выч. Мет. Центр, Москва, 1983. 184 с. MR 827980
• Василевский, П.С. Операторы Пуанкаре – Стеклова для эллиптических разностных задач. CR Acad. Bulgare Sci. 38 (1985), нет. 5, 543–546. MR 799809