Конечная разница - Finite difference

Конечные разности являются математическим выражением вида F  ( х + б ) - е  ( х + ) . Если конечную разность разделить на b - a , получится коэффициент разности . Аппроксимация производных с помощью конечных разностей играет центральную роль в конечных разностных методах для численного решения дифференциальных уравнений , особенно краевых задач .

Некоторые рекуррентные соотношения можно записать в виде разностных уравнений , заменив итерационные обозначения конечными разностями.

Сегодня термин «конечная разность» часто используется как синоним конечно-разностной аппроксимации производных , особенно в контексте численных методов . Конечно-разностные аппроксимации - это конечно-разностные отношения в терминологии, использованной выше.

Конечные разности были введены Бруком Тейлором в 1715 г. и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860 г.), Л. М. Милна-Томсона (1933 г.) и Кароли Джордана (1939 г.). Истоки конечных различий восходят к одному из алгоритмов Йоста Бюрджи ( около  1592 г. ) и к работе других, включая Исаака Ньютона . Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых .

Основные типы

Три типа конечных разностей. Центральная разность относительно x дает наилучшее приближение производной функции в точке x.

Обычно рассматриваются три основных типа: прямые , обратные и центральные конечные разности.

Прямая разность , обозначаемая для функции f, - это функция, определяемая как

В зависимости от области применения интервал h может быть переменным или постоянным. Если не указано, h принимается равным 1; то есть,

Назад , разница использует значения функции в точке х и х - ч , вместо значений при х + ч и  х :

Наконец, центральное различие дается выражением

Связь с производными

Конечная разность часто используется как приближение производной, обычно при численном дифференцировании .

Производной от функции F в точке х определяется пределом .

Если h имеет фиксированное (ненулевое) значение вместо того, чтобы приближаться к нулю, тогда правая часть приведенного выше уравнения будет записана

Следовательно, прямая разница, деленная на h, аппроксимирует производную, когда h мало. Ошибка в этом приближении может быть получена из теоремы Тейлора . Предполагая, что f дважды дифференцируема, имеем

Та же формула верна для разницы в обратном направлении:

Однако центральная (также называемая центрированной) разность дает более точное приближение. Если f трехкратно дифференцируемо,

Однако основная проблема метода центральной разности заключается в том, что осциллирующие функции могут давать нулевую производную. Если f  ( nh ) = 1 для нечетного n и f  ( nh ) = 2 для четного n , то f  '( nh ) = 0, если он вычисляется с помощью центральной разностной схемы . Это особенно неприятно, если область определения f дискретна. Также Симметричная производная

Авторы, для которых конечные разности означают аппроксимации конечных разностей, определяют прямые / обратные / центральные разности как частные, данные в этом разделе (вместо использования определений, данных в предыдущем разделе).

Различия высшего порядка

Аналогичным образом можно получить конечно-разностные приближения к производным высших порядков и дифференциальным операторам. Например, используя приведенную выше формулу центральной разности для f  ′ ( x + час/2) и f  ′ ( x -час/2) и применяя формулу центральной разности для производной f  ′ в точке x , мы получаем аппроксимацию центральной разности второй производной f :

Центральный второй порядок

Точно так же мы можем рекурсивно применять другие формулы вычисления разностей.

Нападающий второго порядка
Второй порядок назад

В более общем смысле, прямая, обратная и центральная разности n- го порядка задаются, соответственно, как

Вперед

или для h = 1 ,

Назад
Центральная

Эти уравнения используют биномиальные коэффициенты после знака суммы, показанного как (н
я
)
. Каждая строкатреугольника Паскалядает коэффициент для каждого значенияi.

Обратите внимание, что для нечетного n центральная разница будет иметь h, умноженное на нецелые числа. Это часто является проблемой, потому что это означает изменение интервала дискретизации. Проблему можно решить, взяв среднее значение δ n [  f  ] ( x -час/2) и δ n [  f  ] ( x +час/2) .

Прямые различия, применяемые к последовательности , иногда называют биномиальным преобразованием последовательности, и они обладают рядом интересных комбинаторных свойств. Прямые различия можно оценить с помощью интеграла Норлунда – Райса . Интегральное представление для этих типов рядов интересно, потому что интеграл часто можно вычислить, используя асимптотическое разложение или методы перевала ; Напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно трудно оценить численно, потому что биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n .

Связь этих разностей более высокого порядка с соответствующими производными очевидна,

Разности более высокого порядка также можно использовать для построения лучших приближений. Как упоминалось выше, разность первого порядка аппроксимирует производную первого порядка с точностью до члена порядка h . Однако сочетание

приближает f  ′ ( x ) до члена порядка h 2 . Это можно доказать, расширив приведенное выше выражение в ряды Тейлора или используя исчисление конечных разностей, описанное ниже.

Если необходимо, конечная разница может быть сосредоточена вокруг любой точки путем смешивания прямых, обратных и центральных разностей.

Ядра произвольного размера

Используя линейную алгебру, можно построить конечно-разностные аппроксимации, которые используют произвольное количество точек слева и (возможно, различное) количество точек справа от точки оценки для производной любого порядка. Это включает решение такой линейной системы, что разложение Тейлора суммы этих точек вокруг точки оценки наилучшим образом аппроксимирует разложение Тейлора желаемой производной. Такие формулы могут быть представлены графически на гексагональной или ромбовидной сетке.

Это полезно для дифференциации функции на сетке, где по мере приближения к краю сетки нужно брать все меньше и меньше точек с одной стороны.

Подробности изложены в этих примечаниях .

Конечные разности Коэффициенты Калькулятор строят разностные аппроксимации для нестандартных (и даже нецелый) трафаретов для произвольного трафарета и желаемый производный порядок.

Характеристики

  • Для всех положительных k и n

В дифференциальных уравнениях

Важным применением конечных разностей является численный анализ , особенно в численных дифференциальных уравнениях , которые направлены на численное решение обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . Идея состоит в том, чтобы заменить производные, входящие в дифференциальное уравнение, конечными разностями, которые их аппроксимируют. Полученные методы называются методами конечных разностей .

Обычно метод конечных разностей применяется в вычислительной науке и инженерных дисциплинах, таких как теплотехника , механика жидкости и т. Д.

Серия Ньютона

Ряд Ньютона состоит из условий разностного уравнения Ньютона вперед , названное в честь Исаака Ньютона ; по сути, это интерполяционная формула Ньютона , впервые опубликованная в его Principia Mathematica в 1687 году, а именно дискретный аналог непрерывного разложения Тейлора,

которое выполняется для любой полиномиальной функции f и для многих (но не всех) аналитических функций (это не выполняется, когда f является экспоненциальным типом . Это легко увидеть, поскольку функция синуса обращается в нуль при целых кратных ; соответствующий ряд Ньютона тождественно равен нулю , так как все конечные разности в этом случае равны нулю, но очевидно, что синусоидальная функция не равна нулю.). Здесь выражение

- биномиальный коэффициент , а

является « падающим факториалом » или «нижним факториалом», в то время как пустой продукт ( x ) 0 определяется как 1. В этом конкретном случае существует предположение об единичных шагах для изменений значений x , h = 1 обобщения ниже.

Обратите внимание на формальное соответствие этого результата теореме Тейлора . Исторически это, как и тождество Чу – Вандермонде ,

(следующие из нее и соответствующие биномиальной теореме ), включены в наблюдения, которые созрели до системы теневого исчисления .

Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать формулу Ньютона на практике, рассмотрим первые несколько членов удвоения последовательности Фибоначчи f = 2, 2, 4, ... Можно найти многочлен, который воспроизводит эти значения, сначала вычислив таблицу разностей, а затем подставив разности, которые соответствуют x 0 (подчеркнуты), в формулу следующим образом:

Для случая неравномерных шагов в значениях x Ньютон вычисляет разделенные разности ,

серия продуктов,

и полученный многочлен является скалярным произведением ,

.

При анализе с р -адических чисел , теорема Малера утверждает , что предположение о том , что е является полиномиальная функция может быть ослаблено вплоть до предположения , что е является просто непрерывно.

Теорема Карлсона предоставляет необходимые и достаточные условия единственности ряда Ньютона, если он существует. Однако рядов Ньютона, как правило, не существует.

Ряд Ньютона, вместе с серией Стирлинга и серией Селберга , является частным случаем общих разностных рядов , все из которых определены в терминах соответствующим образом масштабированных вперед различий.

В сжатом и несколько более общем виде и равноудаленных узлах формула выглядит так:

Исчисление конечных разностей

Разницу вперед можно рассматривать как оператор , называемый разностный оператор , который отображает функциюfвΔ h [  f  ]. Этот оператор составляет

где T h - оператор сдвига с шагом h , определяемый формулой T h [  f  ] ( x ) = f  ( x + h ) , а I - тождественный оператор .

Конечная разность высших порядков рекурсивно определяется как Δп
ч
≡ Δ hn - 1
ч
)
. Другое эквивалентное определение Δп
ч
= [ T h - I ] n
.

Разностный оператор Δ h является линейным оператором , поскольку он удовлетворяет условию Δ h [ αf + βg ] ( x ) = α Δ h [  f  ] ( x ) + β Δ h [ g ] ( x ) .

Он также удовлетворяет специальному правилу Лейбница, указанному выше, Δ h ( f  ( x ) g ( x )) = (Δ h f  ( x )) g ( x + h ) + f  ( x ) (Δ h g ( x )) . Аналогичные утверждения справедливы для обратных и центральных различий.

Формально применяя ряд Тейлора по h , получаем формулу

где D обозначает оператор производной континуума, отображающий f в его производную f  ' . Разложение справедливо, когда обе стороны действуют на аналитические функции при достаточно малых h . Таким образом, T h = e hD , и формально обращение экспоненты дает

Эта формула верна в том смысле, что оба оператора дают одинаковый результат при применении к многочлену.

Даже для аналитических функций не гарантируется сходимость ряда справа; это может быть асимптотический ряд . Однако его можно использовать для получения более точных приближений для производной. Например, сохранение первых двух членов ряда дает приближение второго порядка к f  '( x ), упомянутое в конце раздела Различия более высокого порядка .

Аналогичные формулы для обратного и центрального разностных операторов имеют вид

Исчисление конечных разностей связано с темным исчислением комбинаторики. Это удивительно систематическое соответствие обусловлено тождеством коммутаторов теневых величин их континуальным аналогам ( пределы h → 0 ),

Таким образом, большое количество формальных дифференциальных соотношений стандартного исчисления, включающих функции f  ( x ), систематически отображаются в мрачные конечно-разностные аналоги, содержащие f  ( xT−1
ч
)
.

Например, теневой аналог монома x n является обобщением указанного выше падающего факториала ( k-символ Похгаммера ),

так что

отсюда вышеприведенная формула интерполяции Ньютона (путем сопоставления коэффициентов в разложении произвольной функции f  ( x ) такими символами) и так далее.

Например, теневой синус

Как и в непрерывном пределе, собственная функция Δ h/час тоже бывает экспоненциальной,

и, следовательно, суммы Фурье континуальных функций легко отображаются в теневые суммы Фурье точно , т. е. с использованием тех же коэффициентов Фурье, умножающих эти теневые базисные экспоненты. Это Теневой экспоненциальный таким образом сводится к экспоненциальной производящей функции из символов Похгаммера .

Таким образом, например, дельта-функция Дирака отображается на своего теневого корреспондента, кардинальную синусоидальную функцию ,

и так далее. Разностные уравнения часто можно решить с помощью методов, очень похожих на методы решения дифференциальных уравнений .

Обратный оператор к оператору прямой разности, то есть затемненный интеграл, представляет собой оператор неопределенной суммы или антиразличия.

Правила исчисления конечно-разностных операторов

По аналогии с правилами нахождения производной имеем:

Все вышеперечисленные правила одинаково хорошо применимы к любому разностному оператору, включая как Δ .

или

См. Ссылки.

Обобщения

  • Обобщен конечные разности обычно определяются как
    где μ = ( μ 0 ,…, μ N ) - его вектор коэффициентов. Бесконечное различие является дальнейшим обобщением, где конечная сумма выше, заменена бесконечной серии . Другой способ обобщения - сделать коэффициенты μ k зависимыми от точки x : μ k = μ k ( x ) , таким образом, учитывая взвешенную конечную разность . Также можно сделать шаг h зависимым от точки x : h = h ( x ) . Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности .
  • Обобщенное различие можно рассматривать как кольца многочленов R [ T h ] . Это приводит к разностным алгебрам.
  • Разностный оператор обобщается на обращение Мёбиуса на частично упорядоченном множестве .
  • Как оператор свертки: с помощью формализма алгебр инцидентности , разностные операторы и другое обращение Мёбиуса могут быть представлены сверткой с функцией на ч.у.м., называемой функцией Мёбиуса μ ; для разностного оператора μ - это последовательность (1, −1, 0, 0, 0,…) .

Многомерные конечные разности

Конечные различия могут рассматриваться более чем в одной переменной. Они аналогичны частным производным по нескольким переменным.

Некоторые приближения частных производных:

В качестве альтернативы, для приложений, в которых вычисление f является наиболее затратным этапом, и должны быть вычислены как первая, так и вторая производные, более эффективная формула для последнего случая выглядит так:

поскольку единственные значения для вычисления, которые еще не нужны для предыдущих четырех уравнений, - это f  ( x + h , y + k ) и f  ( x - h , y - k ) .

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ a b c Пол Уилмотт; Сэм Ховисон; Джефф Дьюинн (1995). Математика финансовых производных: Введение для студентов . Издательство Кембриджского университета. п. 137 . ISBN 978-0-521-49789-3.
  2. ^ a b c Питер Олвер (2013). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными . Springer Science & Business Media. п. 182. ISBN. 978-3-319-02099-0.
  3. ^ а б в М. Ханиф Чаудри (2007). Открытый канал потока . Springer. п. 369. ISBN. 978-0-387-68648-6.
  4. ^ Йордан, оп. соч., стр. 1 и Милн-Томсон, стр. xxi. Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000): Исчисление конечных разностей (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN  978-0821821077
  5. Fraser, Duncan C. (1 января 1909 г.). «О графическом обозначении формулы интерполяции» . Журнал института актуариев . 43 (2): 235–241. DOI : 10.1017 / S002026810002494X . Проверено 17 апреля 2017 года .
  6. ^ Ньютон, Исаак, (1687). Принципы , книга III, лемма V, случай 1
  7. ^ Richtmeyer, Д. и Мортон, кВт, (1967). Разностные методы для задач с начальным значением , 2-е изд., Вили, Нью-Йорк.
  8. ^ Буль, Джордж , (1872). Трактат об исчислении конечных разностей , 2-е изд., Macmillan and Company. В сети . Также [Dover edition 1960]
  9. ^ Джордан, Чарльз, (1939/1965). «Исчисление конечных разностей», Chelsea Publishing. Он-лайн: [1]
  10. ^ Zachos, C. (2008). «Темные деформации в дискретном пространстве-времени». Международный журнал современной физики А . 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306 . Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z . DOI : 10.1142 / S0217751X08040548 . S2CID  16797959 .
  11. ^ Кертрайт, TL; Захос, СК (2013). "Umbral Vade Mecum" . Границы физики . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP ..... 1 ... 15С . DOI : 10.3389 / fphy.2013.00015 . S2CID  14106142 .
  12. ^ Леви, H .; Лессман, Ф. (1992). Конечно-разностные уравнения . Дувр. ISBN 0-486-67260-3.
  13. Перейти ↑ Ames, WF, (1977). Численные методы для уравнений с частными производными , раздел 1.6. Academic Press, Нью-Йорк. ISBN  0-12-056760-1 .
  14. Перейти ↑ Hildebrand, FB , (1968). Конечно-разностные уравнения и моделирование , Раздел 2.2, Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси.
  15. ^ Flajolet, Филипп; Седжвик, Роберт (1995). «Преобразования Меллина и асимптотики: конечные разности и интегралы Райса» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 101–124. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (94) 00281-M ..
  • Ричардсон, CH (1954): Введение в исчисление конечных разностей ( онлайн-копия Van Nostrand (1954)
  • Миккенс, RE (1991): разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл / CRC) ISBN  978-0442001360

внешние ссылки