Плоское тройное кольцо - Planar ternary ring

В математике , алгебраическая структура , состоящая из непустого множества и трехкомпонентного отображения может называться тройной системой . Плоский тройная кольцо (ПТР) или трехкомпонентное поле является особым типом трехкомпонентной системы , используемой Маршалла Холла построить проективные плоскости с помощью координат. Плоское тернарное кольцо не является кольцом в традиционном смысле, но любое поле дает плоское тернарное кольцо, в котором операция определяется как . Таким образом, мы можем рассматривать плоское тернарное кольцо как обобщение поля, в котором тернарная операция заменяет и сложение, и умножение. Фактически, в компьютерной архитектуре эта троичная операция известна, например, как операция умножения с накоплением (MAC). ${\ displaystyle (R, T)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle T \ двоеточие R ^ {3} \ to R \,}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle T (a, b, c) = ab + c}$

Терминология сильно различается. Плоские тройные кольца или тройные поля, как определено здесь, в литературе называются другими именами, и термин «плоское тройное кольцо» может означать вариант системы, определенной здесь. Термин «тройное кольцо» часто означает плоское тройное кольцо, но также может означать просто тройную систему.

Определение

Плоская тройная кольцо представляет собой структуру , где представляет собой набор , содержащий по меньшей мере два различных элемента, называемых 0 и 1, и это отображение , которое удовлетворяет эти пять аксиом: ${\ displaystyle (R, T)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle T \ двоеточие R ^ {3} \ to R \,}$

${\ Displaystyle T (a, 0, b) = T (0, a, b) = b, \ quad \ forall a, b \ in R}$ ;
${\ Displaystyle T (1, a, 0) = T (a, 1,0) = a, \ quad \ forall a \ in R}$ ;
${\ displaystyle \ forall a, b, c, d \ in R, a \ neq c}$ , есть уникальный такой, что :; ${\ displaystyle x \ in R}$ ${\ Displaystyle Т (х, а, Ь) = Т (х, с, d) \,}$
${\ displaystyle \ forall a, b, c \ in R}$ , есть уникальный , такой что ; а также ${\ displaystyle x \ in R}$ ${\ Displaystyle Т (а, Ь, х) = с \,}$
${\ displaystyle \ forall a, b, c, d \ in R, a \ neq c}$ , уравнения имеют единственное решение . ${\ Displaystyle Т (а, х, у) = Ь, Т (с, х, у) = д \,}$ ${\ Displaystyle (х, у) \ в R ^ {2}}$

Когда конечно, третья и пятая аксиомы эквивалентны при наличии четвертой. ${\ displaystyle R}$

Не может быть найдено никакой другой пары (0 ', 1') в , которая удовлетворяла бы первым двум аксиомам. ${\ displaystyle R ^ {2}}$ ${\ displaystyle T}$

Бинарные операции

Добавление

Определить . Структура представляет собой цикл с элементом идентичности 0. ${\ displaystyle a \ oplus b = T (a, 1, b)}$ ${\ displaystyle (R, \ oplus)}$

Умножение

Определить . Множество замкнуто относительно этого умножения. Структура также представляет собой петлю с элементом идентичности 1. ${\ displaystyle a \ otimes b = T (a, b, 0)}$ ${\ Displaystyle R_ {0} = R \ setminus \ {0 \} \,}$ ${\ displaystyle (R_ {0}, \ otimes)}$

Линейный PTR

Плоское тройное кольцо называется линейным, если . Например, плоское тройное кольцо, ассоциированное с квазиполем, является (по построению) линейным. ${\ displaystyle (R, T)}$ ${\ Displaystyle T (a, b, c) = (a \ otimes b) \ oplus c, \ quad \ forall a, b, c \ in R}$

Связь с проективными плоскостями

Координаты проективной плоскости для установления плоского тройного кольца

Учитывая плоское тройное кольцо , можно построить проективную плоскость с набором точек P и набором прямых L следующим образом: (Обратите внимание, что это дополнительный символ, которого нет в .) ${\ displaystyle (R, T)}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle R}$

Позволять

${\ Displaystyle P = \ {(a, b) | a, b \ in R \} \ чашка \ {(a) | a \ in R \} \ чашка \ {(\ infty) \}}$ , а также
${\ Displaystyle L = \ {[a, b] | a, b \ in R \} \ чашка \ {[a] | a \ in R \} \ чашка \ {[\ infty] \}}$ .

Затем определите, , то отношение инцидентности следующим образом: ${\ displaystyle \ forall a, b, c, d \ in R}$ ${\ displaystyle I}$

{\ displaystyle ((a, b), [c, d]) \ in I \ Longleftrightarrow T (a, c, d) = b}

{\ displaystyle ((a, b), [c]) \ in I \ Longleftrightarrow a = c}

{\ displaystyle ((a, b), [\ infty]) \ notin I}

{\ displaystyle ((a), [c, d]) \ in I \ Longleftrightarrow a = c}

{\ Displaystyle ((а), [с]) \ notin I}

{\ Displaystyle ((а), [\ infty]) \ в I}

{\ Displaystyle ((\ infty), [с, d]) \ notin I}

{\ Displaystyle ((\ infty), [а]) \ в I}

{\ Displaystyle ((\ infty), [\ infty]) \ в I}

Таким образом можно построить любую проективную плоскость, начиная с подходящего плоского тернарного кольца. Однако два неизоморфных плоских тернарных кольца могут привести к построению изоморфных проективных плоскостей.

И наоборот, для любой проективной плоскости π, выбрав четыре точки, помеченные o , e , u и v , никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно ввести координаты в π так, чтобы эти особые точки получили координаты: o = (0,0), e = (1,1), v = ( ) и u = (0). Тернарная операция теперь определена для координатных символов (кроме ) как y = T ( x , a , b ) тогда и только тогда, когда точка ( x , y ) лежит на линии, которая соединяет ( a ) с (0, b ) . Аксиомы, определяющие проективную плоскость, используются, чтобы показать, что это дает плоское тройное кольцо. ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$

Линейность PTR эквивалентна геометрическому условию, выполняемому в соответствующей проективной плоскости.

Связанные алгебраические структуры

PTR, которые удовлетворяют дополнительным алгебраическим условиям, получают другие имена. Эти имена не всегда используются в литературе. Следующий список имен и свойств взят из Dembowski (1968 , стр. 129).

Линейный PTR, аддитивная петля которого ассоциативна (и, следовательно, группа ), называется декартовой группой . В декартовой группе отображения

${\ displaystyle x \ longrightarrow -x \ otimes a + x \ otimes b}$ , а также ${\ displaystyle x \ longrightarrow a \ otimes xb \ otimes x}$

всегда должны быть перестановки . Поскольку декартовы группы - это группы при добавлении, мы возвращаемся к использованию простого «+» для операции добавления. ${\ displaystyle a \ neq b}$

Квазиполь является декартовой группой , удовлетворяющей правого дистрибутивный закона: . Сложение в любом квазиполе коммутативно . ${\ displaystyle (x + y) \ otimes z = x \ otimes z + y \ otimes z}$

Полуполем является квазиполем которая также удовлетворяет левый дистрибутивный закон: ${\ Displaystyle х \ otimes (y + z) = x \ otimes y + x \ otimes z.}$

Планарное ближнее поле является квазиполем которого мультипликативного цикл ассоциативно (и , следовательно , группа). Не все ближние поля являются плоскими ближними полями.

Примечания

использованная литература

Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968). Введение в конечные проективные плоскости . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
Арци, Рафаэль (2008) [1965], «Глава 4 Аксиоматическая плоская геометрия», Linear Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
Бенц, Уолтер; Ghalieh, Khuloud (1998), "Группоиды , связанные с трехкомпонентной кольцом проективной плоскости", журнал геометрии , 61 (1-2): 17-31, DOI : 10.1007 / bf01237490 , S2CID 123135402
Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Grari, A. (2004), "Необходимое и достаточное условие, чтобы два плоских тернарных кольца индуцировали изоморфные проективные плоскости", Arch. Математика. (Базель) , 83 (2): 183-192, DOI : 10.1007 / s00013-003-4580-9 , S2CID 122203312
Холл-младший, Маршалл (1943), "Проективные плоскости", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 54 (2): 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , Нью-Йорк: The MacMillan Company, MR 0103215
Хьюз, DR (1955), "Аддитивные и мультипликативные петли плоских трехкомпонентных колец", Труды Американского математического общества , 6 (6): 973-980, DOI : 10,1090 / s0002-9939-1955-0073568-8 , MR 0073568
Хьюз, Дэниел Р .; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Тексты для выпускников по математике (6), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, MR 0333959
Мартин, GE (1967), "Проективные плоскости и изотопные тройные кольца", Американский Математический Месячный , 74 (10): 1185-1195, DOI : 10,2307 / 2315659 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101204 , JSTOR 2315659 , MR 0223972
Пикерт, Гюнтер (1975), Projektive Ebenen , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
Стивенсон, Фредерик (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9

Languages

In other projects