Графическое обозначение Пенроуза - Penrose graphical notation

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

В математике и физике , Пенроуз графическое обозначения или тензор Диаграмма обозначение является ( как правило , от руки) визуальное изображение полилинейных функций или тензоров , предложенное Roger Пенроуз в 1971 г. На диаграмме А в обозначениях состоит из нескольких форм , соединенных между собой линиями. Обозначения были широко изучены Предрагом Цвитановичем , который использовал их, диаграммы Фейнмана и другие связанные обозначения при разработке орнитологических треков (теоретико-групповая версия диаграмм Фейнмана) для классификации классических групп Ли . Обозначения Пенроуза также были обобщены с использованием теории представлений для спиновых сетей в физике и с наличием групп матриц для отслеживания диаграмм в линейной алгебре . Обозначения широко используются в современной квантовой теории , особенно в состояниях матричных произведений и квантовых схемах .

Интерпретации

Полилинейная алгебра

На языке полилинейной алгебры каждая фигура представляет собой полилинейную функцию . Линии, прикрепленные к фигурам, представляют входы или выходы функции, а соединение фигур в некотором роде, по сути, является композицией функций .

Тензоры

На языке тензорной алгебры конкретный тензор связан с определенной формой со многими линиями, выступающими вверх и вниз, соответствующими абстрактным верхним и нижним индексам тензоров соответственно. Соединительные линии между двумя фигурами соответствуют сокращению индексов . Одно из преимуществ этой нотации состоит в том, что не нужно изобретать новые буквы для новых индексов. Эта запись также явно базис -независимой.

Матрицы

Каждая фигура представляет собой матрицу, тензорное умножение выполняется по горизонтали, а матричное умножение - по вертикали.

Представление специальных тензоров

Метрический тензор

Метрический тензор представлен U-образную петлю , или перевернутой U-образной петли, в зависимости от типа тензора , который используется.

метрический тензор ${\ displaystyle g ^ {ab}}$

метрический тензор ${\ displaystyle g_ {ab}}$

Тензор Леви-Чивиты

Антисимметричный тензор Леви-Чивита представлен толстой горизонтальной полосой с палками указывая вниз или вверх, в зависимости от типа тензора , который используется.

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots п}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {ab \ ldots п}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \, \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$${\ Displaystyle = п!}$

Структурная постоянная

структурная постоянная ${\ displaystyle {\ gamma _ {\ alpha \ beta}} ^ {\ chi} = - {\ gamma _ {\ beta \ alpha}} ^ {\ chi}}$

Структурные константы ( ) алгебры Ли представлены маленьким треугольником с одной линией, направленной вверх, и двумя линиями, направленными вниз. ${\ displaystyle {\ gamma _ {ab}} ^ {c}}$

Тензорные операции

Снижение индексов

Сужение индексов представлено соединением строк индексов вместе.

Дельта Кронекера ${\ displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}$

Скалярное произведение ${\ Displaystyle \ бета _ {а} \, \ хи ^ {а}}$

${\ displaystyle g_ {ab} \, g ^ {bc} = \ delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} \, g_ {ba}}$

Симметризация

Симметризация индексов представлена ​​толстой зигзагообразной или волнистой полосой, пересекающей линии индексов по горизонтали.

Симметризация (с ) ${\ Displaystyle Q ^ {(ab \ ldots п)}}$ ${\ displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$

Антисимметризация

Антисимметризация индексов представлена ​​жирной прямой линией, пересекающей линии индексов по горизонтали.

Антисимметризация (с ) ${\ displaystyle E _ {[ab \ ldots n]}}$ ${\ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]} + E _ {(ab)}}}$

Детерминант

Детерминант формируется путем применения антисимметризации к индексам.

Детерминант ${\ displaystyle \ det \ mathbf {T} = \ det \ left (T _ {\ b} ^ {a} \ right)}$

Обратная матрица ${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {- 1} = \ left (T _ {\ b} ^ {a} \ right) ^ {- 1}}$

Ковариантная производная

Ковариантная производная ( ) представлена кругом вокруг тензора (ов) , должны быть дифференцированы и линией присоединилась из круга был направлено вниз , чтобы представить нижний индекс производной. ${\ displaystyle \ nabla}$

ковариантная производная ${\ displaystyle 12 \ nabla _ {a} \ left (\ xi ^ {f} \, \ lambda _ {fb [c} ^ {(d} \, D_ {gh]} ^ {e) b} \ right) }$ ${\ displaystyle = 12 \ left (\ xi ^ {f} (\ nabla _ {a} \ lambda _ {fb [c} ^ {(d}) \, D_ {gh]} ^ {e) b} + ( \ nabla _ {a} \ xi ^ {f}) \ lambda _ {fb [c} ^ {(d} \, D_ {gh]} ^ {e) b} + \ xi ^ {f} \ lambda _ { fb [c} ^ {(d} \, (\ nabla _ {a} D_ {gh]} ^ {e) b}) \ right)}$

Тензорные манипуляции

Схематическое обозначение полезно при работе с тензорной алгеброй. Обычно он включает в себя несколько простых « тождеств » тензорных манипуляций.

Например, где n - количество измерений, это общая «идентичность». ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a ... c} \ varepsilon ^ {a ... c} = n!}$

Тензор кривизны Римана

Тождества Риччи и Бианки, заданные в терминах тензора кривизны Римана, иллюстрируют силу обозначений

Обозначения для тензора кривизны Римана

Тензор Риччи ${\ Displaystyle R_ {ab} = R_ {acb} ^ {\ \ \ c}}$

Личность Риччи ${\ displaystyle (\ nabla _ {a} \, \ nabla _ {b} - \ nabla _ {b} \, \ nabla _ {a}) \, \ mathbf {\ xi} ^ {d}}$${\ Displaystyle = R_ {abc} ^ {\ \ \ d} \, \ mathbf {\ xi} ^ {c}}$

Бьянки идентичность ${\ Displaystyle \ набла _ {[а} R_ {bc] d} ^ {\ \ \ e} = 0}$

Расширения

Обозначение было расширено поддержкой спиноров и твисторов .

Смотрите также

• Обозначение абстрактного индекса
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Плетеная моноидальная категория
• Категориальная квантовая механика использует обозначения тензорной диаграммы.
• Матрица состояния продукта использует графическое обозначение Пенроуза.
• Исчисление Риччи
• Спиновые сети
• Диаграмма трассировки

Примечания