Параметрическая модель - Parametric model

В статистике , параметрическая модель или параметрическое семейство или конечномерен модель представляет собой особый класс статистических моделей . В частности, параметрическая модель - это семейство вероятностных распределений с конечным числом параметров.

Определение

Статистическая модель представляет собой совокупность распределений вероятностей на некотором выборочном пространстве . Мы предполагаем , что сбор, 𝒫 , индексируются некоторым множество & thetas . Набор Θ называется набором параметров или, чаще, пространством параметров . Для каждого θ  ∈ Θ пусть P _θ обозначает соответствующий член набора; поэтому P _θ - это кумулятивная функция распределения . Тогда статистическую модель можно записать как

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ big \ {} P _ {\ theta} \ {\ big |} \ \ theta \ in \ Theta {\ big \}}.}$

Модель является параметрической, если Θ ⊆ ℝ ^k для некоторого положительного целого числа k .

Когда модель состоит из абсолютно непрерывных распределений, ее часто задают в терминах соответствующих функций плотности вероятности :

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ big \ {} f _ {\ theta} \ {\ big |} \ \ theta \ in \ Theta {\ big \}}.}$

Примеры

• Семейство Пуассона распределений параметризовано одним числом Х > 0 :

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ Big \ {} \ p _ {\ lambda} (j) = {\ tfrac {\ lambda ^ {j}} {j!}} e ^ {- \ lambda} , \ j = 0,1,2,3, \ точки \ {\ Big |} \; \; \ lambda> 0 \ {\ Big \}},}$

где p _λ - функция массы вероятности . Эта семья - экспоненциальная семья .

• Нормальная семья параметризовано θ = ( μ , σ ) , где ц ∈ ℝ является параметром местоположения и σ > 0 является параметр масштаба:

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ Big \ {} \ f _ {\ theta} (x) = {\ tfrac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} \ exp \ left (- {\ tfrac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \ {\ Big |} \; \; \ mu \ in \ mathbb {R} , \ sigma> 0 \ {\ Big \}}.}$

Это параметризованное семейство является одновременно экспоненциальным семейством и семейством в масштабе местоположения .

• Модель трансляции Вейбулла имеет трехмерный параметр θ = ( λ , β , μ ) :

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ Big \ {} \ f _ {\ theta} (x) = {\ tfrac {\ beta} {\ lambda}} \ left ({\ tfrac {x- \ mu } {\ lambda}} \ right) ^ {\ beta -1} \! \ exp \! {\ big (} \! - \! {\ big (} {\ tfrac {x- \ mu} {\ lambda} } {\ big)} ^ {\ beta} {\ big)} \, \ mathbf {1} _ {\ {x> \ mu \}} \ {\ Big |} \; \; \ lambda> 0, \ , \ beta> 0, \, \ mu \ in \ mathbb {R} \ {\ Big \}}.}$

• Биномиальное модель параметризовано θ = ( п , р ) , где п представляет собой неотрицательное целое число , и р представляет собой вероятность (т.е. р ≥ 0 и р ≤ 1 ):

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ Big \ {} \ p _ {\ theta} (k) = {\ tfrac {n!} {k! (nk)!}} \, p ^ {k} (1-p) ^ {nk}, \ k = 0,1,2, \ dots, n \ {\ Big |} \; \; n \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}, \, p \ geq 0 \ land p \ leq 1 {\ Big \}}.}$

Этот пример иллюстрирует определение модели с некоторыми дискретными параметрами.

Основные пометки

Параметрическая модель называется идентифицируемой, если отображение θ ↦ P _θ обратимо, то есть не существует двух различных значений параметров θ ₁ и θ _2, таких что P _{θ 1}  = P _{θ 2} .

Сравнение с другими классами моделей

Параметрические модели контрастируют с полупараметрическими , полупараметрическими и непараметрическими моделями , каждая из которых состоит из бесконечного набора «параметров» для описания. Различия между этими четырьмя классами заключаются в следующем:

• в « параметрической » модели все параметры находятся в конечномерных пространствах параметров;
• модель является « непараметрической », если все параметры находятся в бесконечномерных пространствах параметров;
• « полупараметрическая » модель содержит интересующие конечномерные параметры и бесконечномерные мешающие параметры ;
• « полупараметрическая » модель имеет как конечномерные, так и бесконечномерные неизвестные параметры, представляющие интерес.

Некоторые статистики считают, что понятия «параметрический», «непараметрический» и «полупараметрический» неоднозначны. Кроме того , можно отметить , что множество всех вероятностных мер имеет мощность в непрерывном , и , следовательно , можно параметризовать любую модель вообще одним числом в (0,1) интервала. Этой трудности можно избежать, рассматривая только «гладкие» параметрические модели.

Смотрите также

• Параметрическая семья
• Параметрическая статистика
• Статистическая модель
• Спецификация статистической модели

Заметки

Библиография