Полупараметрическая модель - Semiparametric model

В статистике , полупараметрическая модель представляет собой статистическую модель , которая имеет параметрические и непараметрические компоненты.

Статистическая модель - это параметризованное семейство распределений, индексированных параметром . ${\ displaystyle \ {P _ {\ theta}: \ theta \ in \ Theta \}}$ ${\ displaystyle \ theta}$

• Параметрическая модель представляет собой модель , в которой параметр индексирование вектор в n - мерном евклидовом пространстве , для некоторого целого неотрицательного числа . Таким образом, конечномерно, и .${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ Theta \ substeq \ mathbb {R} ^ {k}}$
• В непараметрической модели набор возможных значений параметра является подмножеством некоторого пространства , которое не обязательно является конечномерным. Например, мы могли бы рассматривать множество всех распределений со средним 0. Такие пространства являются векторными пространствами с топологической структурой , но не могут быть конечномерными как векторные пространства. Таким образом, для некоторого, возможно, бесконечномерного пространства .${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Theta \ substeq V}$ ${\ displaystyle V}$
• В полупараметрической модели параметр имеет как конечномерную составляющую, так и бесконечномерную составляющую (часто действительную функцию, определенную на действительной прямой). Таким образом, где - бесконечномерное пространство.${\ Displaystyle \ Theta \ substeq \ mathbb {R} ^ {k} \ times V}$${\ displaystyle V}$

На первый взгляд может показаться, что полупараметрические модели включают непараметрические модели, поскольку они имеют как бесконечномерную, так и конечномерную составляющую. Однако полупараметрическая модель считается «меньшей», чем полностью непараметрическая модель, потому что нас часто интересует только конечномерная составляющая . То есть бесконечномерная составляющая рассматривается как мешающий параметр . Напротив, в непараметрических моделях основной интерес представляет оценка бесконечномерного параметра. Таким образом, задача оценки статистически сложнее в непараметрических моделях. ${\ displaystyle \ theta}$

В этих моделях часто используются сглаживания или ядра .

Пример

Хорошо известным примером полупараметрической модели является модель пропорциональных рисков Кокса . Если нас интересует время до такого события, как смерть от рака или отказ лампочки, модель Кокса определяет следующую функцию распределения для : ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle F (T) = 1- \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {t} \ lambda _ {0} (u) e ^ {\ beta x} du \ right),}$

где - вектор ковариации, и - неизвестные параметры. . Здесь конечномерно и интересно; является неизвестной неотрицательной функцией времени (известной как базовая функция риска) и часто является неприятным параметром . Набор возможных кандидатов бесконечномерен. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ lambda _ {0} (u)}$${\ displaystyle \ theta = (\ beta, \ lambda _ {0} (u))}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ lambda _ {0} (u)}$${\ displaystyle \ lambda _ {0} (u)}$

Смотрите также

• Полупараметрическая регрессия
• Статистическая модель
• Обобщенный метод моментов

Заметки

Рекомендации

• Bickel, PJ; Клаассен, CAJ; Ритов, Ю .; Веллнер, Дж. А. (1998), Эффективная и адаптивная оценка для полупараметрических моделей , Springer
• Härdle, Вольфганг; Мюллер, Марлен; Сперлих, Стефан; Верватц, Аксель (2004), Непараметрические и полупараметрические модели , Springer
• Косорок, Майкл Р. (2008), Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод , Springer
• Циатис, Анастасиос А. (2006), Полупараметрическая теория и отсутствующие данные , Springer
• Бегун, Джанет М .; Холл, WJ; Хуан, Вэй-Минь; Веллнер, Джон А. (1983), "Информация и асимптотическая эффективность в параметрических - непараметрических моделях", Annals of Statistics, 11 (1983), no. 2, 432–452