Вероятностная функция масс - Probability mass function

График функции массы вероятности. Все значения этой функции должны быть неотрицательными и в сумме равняться 1.

В вероятности и статистике , вероятностная функция массы является функцией , которая дает вероятность того, что дискретная случайная величина в точности равна некоторое значение. Иногда ее также называют дискретной функцией плотности. Функция вероятностных масс часто является основным средством определения дискретного распределения вероятностей , и такие функции существуют либо для скалярных, либо для многомерных случайных величин , область определения которых является дискретной.

Функция массы вероятности отличается от функции плотности вероятности (PDF) тем, что последняя связана с непрерывными, а не дискретными случайными величинами. PDF должен быть интегрирован по интервалу, чтобы получить вероятность.

Значение случайной величины, имеющей наибольшую вероятностную массу, называется модой .

Формальное определение

Функция массы вероятности представляет собой распределение вероятностей дискретной случайной величины и предоставляет возможные значения и связанные с ними вероятности. Это функция, определяемая ${\ Displaystyle p: \ mathbb {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle \ rightarrow [0,1]}$

для , где - вероятностная мера . также можно упростить как . ${\ Displaystyle - \ infty <х <\ infty}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {X} (x)}$${\ displaystyle p (x)}$

Вероятности, связанные со всеми (гипотетическими) значениями, должны быть неотрицательными и в сумме равны 1,

${\ displaystyle \ sum _ {x} p_ {X} (x) = 1 \ quad}$и .${\ displaystyle \ quad p_ {X} (x) \ geq 0}$

Рассмотрение вероятности как массы помогает избежать ошибок, поскольку сохраняется физическая масса, как и полная вероятность всех гипотетических результатов . ${\ displaystyle x}$

Теоретическая формулировка меры

Вероятность массы функции дискретной случайной величины можно рассматривать как частный случай более общей двух измерительных теоретических построений: в распределении по и функции плотности вероятности по отношению к мере подсчета . Ниже мы уточним это. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Предположим, что это вероятностное пространство и измеримое пространство, лежащая в основе σ-алгебра дискретна, поэтому, в частности, содержит одноэлементные множества . В этом случае случайная величина является дискретной при условии, что ее изображение является счетным. Мера прямым образом -called распределения в этом контексте, является вероятностной мерой на ограничение которого на одноэлементные множества индуцирует функцию вероятность массовой (как указано в предыдущем разделе) , так как для каждого . ${\ displaystyle (А, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle (B, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle X \ двоеточие от A \ до B}$ ${\ displaystyle X _ {*} (P)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f_ {X} \ двоеточие B \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f_ {X} (Ь) = P (X ^ {- 1} b) = P (X = b)}$${\ displaystyle b \ in B}$

Теперь предположим, что это пространство с мерой, снабженное считающей мерой μ. Функция плотности вероятности по отношению к мере подсчета, если она существует, является производной Радона-Никодим по прямому образом меры (по отношению к мере подсчета), так и является функцией от к неотрицательным числам. Как следствие, для любого мы имеем ${\ displaystyle (B, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f = dX _ {*} P / d \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle b \ in B}$

${\ Displaystyle P (X = b) = P (X ^ {- 1} b) = (X _ {*} P) b =}$${\ displaystyle \ int _ {b} fd \ mu = f (b),}$

демонстрируя, что это на самом деле функция массы вероятности. ${\ displaystyle f}$

Когда существует естественный порядок среди потенциальных результатов , может быть удобно , чтобы присвоить числовые значения к ним (или п -цепочек в случае дискретной многофакторной случайной величины ) и рассмотреть также значения не в изображении с . То есть может быть определено для всех действительных чисел и для всех, как показано на рисунке. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {X}}$${\ displaystyle f_ {X} (x) = 0}$${\ Displaystyle х \ notin X (S)}$

Изображение имеет счетное подмножество, на котором функция массы вероятности равна единице. Следовательно, функция массы вероятности равна нулю для всех, кроме счетного числа значений . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {X} (x)}$${\ displaystyle x}$

Разрыв функций вероятности и массы связан с тем фактом, что кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины также является разрывной. Если - дискретная случайная величина, то это означает, что случайное событие определено (это верно в 100% случаев); напротив, означает, что случайное событие всегда невозможно. Это утверждение неверно для непрерывной случайной величины , для которой все возможно . Дискретизация - это процесс преобразования непрерывной случайной величины в дискретную. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Р (Х = х) = 1}$${\ Displaystyle (Х = х)}$${\ Displaystyle P (X = x) = 0}$${\ Displaystyle (Х = х)}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle P (X = x) = 0}$${\ displaystyle x}$

Примеры

Конечный

Есть три основных связанных распределения: распределение Бернулли , биномиальное распределение и геометрическое распределение .

• Распределение Бернулли: ber (p) используется для моделирования эксперимента только с двумя возможными исходами. Два результата часто кодируются как 1 и 0.
  $${\ displaystyle p_ {X} (x) = {\ begin {case} p, & {\ text {if}} x {\ text {is 1}} \\ 1-p, & {\ text {if}} х {\ текст {0}} \ end {case}}}$$

  
  Пример распределения Бернулли - подбрасывание монеты. Предположим, что это пространство выборки всех результатов одного броска справедливой монеты и случайная величина, определенная при присвоении 0 категории «решка» и 1 категории «решка». Поскольку монета честная, функция массы вероятности равна${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$
  $${\ displaystyle p_ {X} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2}}, & x \ in \ {0,1 \}, \\ 0, & x \ notin \ {0, 1 \}. \ End {case}}}$$

  
• Биномиальное распределение , моделирует количество успехов, когда кто-то набирает n раз с заменой. Каждый розыгрыш или эксперимент независимы, с двумя возможными исходами. Соответствующая функция массы вероятности равна .${\ textstyle {\ binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}$
  

  Вероятностно-массовая функция честного кубика . Все числа на кубике имеют равные шансы оказаться сверху, когда кубик перестанет катиться.
  Примером биномиального распределения является вероятность получить ровно одну 6, если кто-то трижды бросает правильный кубик.
• Геометрическое распределение описывает количество попыток, необходимое для достижения одного успеха. Его функция массы вероятности равна .${\ textstyle p_ {X} (k) = (1-p) ^ {k-1} p}$
  Например, подбрасывание монеты до появления первой головы. Буква «p» обозначает вероятность выпадения головы, а «k» обозначает количество подбрасываний монеты до появления головы.
  Другие распределения, которые можно смоделировать с использованием функции вероятностных масс, - это категориальное распределение (также известное как обобщенное распределение Бернулли) и полиномиальное распределение .
• Если дискретное распределение имеет две или более категорий, одна из которых может иметь место, независимо от того, имеют ли эти категории естественный порядок, когда есть только одно испытание (розыгрыш), это категориальное распределение.
• Пример многомерного дискретного распределения и его функции массы вероятности дает полиномиальное распределение . Здесь множественные случайные величины - это количество успехов в каждой из категорий после заданного количества испытаний, и каждая ненулевая вероятностная масса дает вероятность определенной комбинации количества успехов в различных категориях.

Бесконечный

• Следующее экспоненциально убывающее распределение является примером распределения с бесконечным числом возможных результатов - всеми положительными целыми числами:
  $${\ displaystyle {\ text {Pr}} (X = i) = {\ frac {1} {2 ^ {i}}} \ qquad {\ text {for}} i = 1,2,3, \ dots}$$

  
  Несмотря на бесконечное количество возможных исходов, общая вероятностная масса равна 1/2 + 1/4 + 1/8 + = 1, что удовлетворяет требованию единичной полной вероятности для распределения вероятностей.

Многомерный случай

Две или более дискретных случайных величин имеют совместную функцию масс вероятности, которая дает вероятность каждой возможной комбинации реализаций для случайных величин.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Джонсон, Нидерланды; Kotz, S .; Кемп, А. (1993). Одномерные дискретные распределения (2-е изд.). Вайли. п. 36 . ISBN 0-471-54897-9.