Ортогональная основа - Orthogonal basis

В математике , особенно в линейной алгебре , ортогональный базис для внутреннего пространства продукта V является базисом для V , векторы которого взаимно ортогональны . Если векторы ортогонального базиса нормализованы , результирующий базис является ортонормированным базисом .

Как координаты

Любой ортогональный базис может быть использован для определения системы ортогональных координат V . Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за их появления из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах , а также в римановых и псевдоримановых многообразиях.

В функциональном анализе

В функциональном анализе ортогональный базис - это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с использованием умножения на ненулевые скаляры .

Расширения

Понятие ортогонального (но не ортонормированный) базис применит к векторному пространству V (над любым полем ) , снабженным симметричной билинейной формой ⟨⋅, ⋅⟩ , где ортогональность двух векторов v и ш означает ⟨ V ,  ш ⟩ = 0 . Для ортогонального базиса { e _k } :

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {e} _ {j}, \ mathbf {e} _ {k} \ rangle = {\ begin {cases} q (\ mathbf {e} _ {k}) & j = k \\ 0 & j \ neq k, \ end {case}}}$

где Q является квадратичной формой , связанная с ⟨⋅, ⋅⟩ : д ( v ) = ⟨ v ,  v ⟩ (во внутреннем пространстве продукта д ( v ) = |  v  | ² ).

Следовательно, для ортогонального базиса { e _k } ,

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ sum _ {k} q (\ mathbf {e} _ {k}) v ^ {k} w ^ {k},}$

где v ^k и w ^k - компоненты v и w в базисе.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 572–585, ISBN   978-0-387-95385-4
• Милнор, Дж ; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . п. 6. ISBN   3-540-06009-Х . Zbl   0292.10016 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Ортогональная основа" . MathWorld .