Нехаусдорфово многообразие - Non-Hausdorff manifold

В геометрии и топологии это обычная аксиома многообразия - быть хаусдорфовым пространством . В общей топологии , эта аксиома расслабилась, и изучает нехаусдорфово многообразие : пространства локально гомеоморфы в евклидово пространства , но не обязательно Хаусдорф.

Примеры

Линия с двумя истоками

Наиболее знакомое многообразие, не относящееся к Хаусдорфу, - это линия с двумя истоками , или линия с выпуклыми глазами .

Это факторное пространство двух копий реальной строки.

R × { a } и R × { b }

с отношением эквивалентности

${\ displaystyle (x, a) \ sim (x, b) {\ text {if}} x \ neq 0.}$

Это пространство имеет одну точку для каждого ненулевого действительного числа r и две точки 0 _a и 0 _b . Можно считать, что локальная база открытых окрестностей в этом пространстве состоит из множеств вида , где - любое положительное действительное число. Возможно аналогичное описание локальной базы открытых окрестностей . Таким образом, в этом пространстве все окрестности 0 _a пересекают все окрестности 0 _b , поэтому оно не хаусдорфово. ${\ displaystyle 0_ {a}}$${\ displaystyle \ {r \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ vert - \ varepsilon <r <\ varepsilon \} \ cup \ {0_ {a} \}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle 0_ {b}}$

Кроме того, линия с двумя началами не имеет гомотопического типа CW-комплекса или какого-либо хаусдорфова пространства.

Линия разветвления

Линия ответвления похожа на линию с двумя истоками .

Это факторное пространство двух копий реальной строки.

R × { a } и R × { b }

с отношением эквивалентности

${\ displaystyle (x, a) \ sim (x, b) {\ text {if}} x <0.}$

Это пространство имеет одну точку для каждого отрицательного действительного числа r и две точки для каждого неотрицательного числа: у него есть «вилка» в нуле. ${\ displaystyle x_ {a}, x_ {b}}$

Etale Space

Этальное пространство из пучка , например, пучок непрерывных вещественных функций над многообразием, является многообразием , который часто нехаусдорфов. (Эталонное пространство является хаусдорфовым, если оно представляет собой пучок функций с каким-либо свойством аналитического продолжения .)

Примечания

использованная литература

• Байлиф, Матье; Габард, Александр (2006), Многообразия: хаусдорфность против однородности , arXiv : math.GN/0609098v1 , Bibcode : 2006math ...... 9098B
• Габард, Александр (2006), Разделимое многообразие, не имеющее гомотопического типа CW-комплекса , arXiv : math.GT/0609665v1 , Bibcode : 2006math ...... 9665G