Недезарговская плоскость - Non-Desarguesian plane

В математике недезарговская плоскость - это проективная плоскость , которая не удовлетворяет теореме Дезарга (названной в честь Жирара Дезарга ), или, другими словами, плоскость, которая не является дезарговой . Теорема Дезарга верна во всех проективных пространствах размерности, отличной от 2; другими словами, единственными проективными пространствами размерности, не равной 2, являются классические проективные геометрии над полем (или телом ). Однако Дэвид Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости ему не удовлетворяют. Текущее состояние изучения этих примеров не является полным.

Примеры

Есть много примеров как конечных, так и бесконечных недезарговских плоскостей. Некоторые из известных примеров бесконечных недезарговских плоскостей включают:

Что касается конечных недезарговых плоскостей, каждая проективная плоскость порядка не выше 8 является дезарговской, но есть три недезарговских примера порядка 9, каждая из которых имеет 91 точку и 91 прямую. Они есть:

Известно множество других конструкций как конечных, так и бесконечных недезарговых плоскостей, см., Например, Dembowski (1968) . Все известные конструкции конечных недезарговых плоскостей производят плоскости, порядок которых является собственной степенью простого числа, то есть целым числом вида p e , где p - простое число, а e - целое число больше 1.

Классификация

Ханфрид Ленц дал схему классификации проективных плоскостей в 1954 году, и она была усовершенствована Адриано Барлотти в 1957 году. Эта классификационная схема основана на типах транзитивности точка – прямая, разрешенных группой коллинеаций плоскости, и известна как схема Ленца – Барлотти. классификация проективных плоскостей . Список из 53 типов приведен в Dembowski (1968 , стр.124–5), а таблица известных на тот момент результатов существования (как для групп коллинеаций, так и для плоскостей, имеющих такую ​​группу коллинеаций) как в конечном, так и в бесконечном случаях, представлена ​​на странице 126. По состоянию на 2007 год «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости, а 14 или 15 существуют как бесконечные проективные плоскости».

Существуют и другие схемы классификации. Один из простейших основан на типе плоского тройного кольца (PTR), которое можно использовать для координации проективной плоскости. Типами являются поля , тела , альтернативные тела , полуполя , почти поля , правые почти поля , квазитела и правые квазитела .

Коники и овалы

В дезарговой проективной плоскости конику можно определить несколькими различными способами, эквивалентность которых может быть доказана. В недезарговских планах эти доказательства больше не действительны, и различные определения могут привести к появлению неэквивалентных объектов. Теодор Г. Остром предложил название коникоид для этих конических фигур, но не дал формального определения, и этот термин, похоже, не получил широкого распространения.

Есть несколько способов, которыми коники могут быть определены в дезарговских плоскостях:

  1. Набор абсолютных точек полярности известен как коника фон Штаудта . Если плоскость определена над полем из характеристики два, только вырожденные коники получены.
  2. Множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, которые связаны проективно, но не перспективно, известно как коника Штейнера . Если карандаши перспективно связаны, коника вырождена.
  3. Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.

Кроме того, в конечной дезарговской плоскости:

  2. Набор из q + 1 точек, без трех коллинеарных в PG (2, q ), называется овалом . Если q нечетно, по теореме Сегре овал в PG (2, q ) является коникой в ​​смысле 3 выше.
  3. Острая коническая основан на обобщении гармонических множеств.

Арци привел пример коники Штейнера на плоскости Муфанга, которая не является коникой фон Штаудта. Гарнер приводит пример коники фон Штаудта, которая не является коникой Острома в конечной полуполевой плоскости.

Заметки

Рекомендации