Вырожденная коническая - Degenerate conic

Вырожденные коники
Кеги-ausg-sg-s.svg
Кеги-ausg-pg-s.svg
Кеги-ausg-1g-s.svg
Кеги-аусг-пу-s.svg

В геометрии , A вырожденные конический является коническим (второй степенью плоского кривой , определяется полиномиальным уравнением степени два) , что не может быть приводимой кривым . Это означает, что определяющее уравнение факторизуемо над комплексными числами (или, в более общем смысле, над алгебраически замкнутым полем ) как произведение двух линейных многочленов.

Использование альтернативного определения конического как пересечение в трехмерном пространстве в виде плоскости и двойного конус , конический является вырожденной , если плоскость проходит через вершину конусов.

На реальной плоскости вырожденная коника может быть двумя линиями, которые могут быть или не быть параллельными, одной линией (либо двумя совпадающими линиями, либо объединением прямой и прямой на бесконечности ), одной точкой (фактически, двумя комплексными линиями ). сопряженные линии ) или нулевой набор (двойная бесконечно удаленная линия или две параллельные комплексные сопряженные линии).

Все эти вырожденные коники могут попадать в пучки коник. То есть, если две действительные невырожденные коники задаются квадратными полиномиальными уравнениями f = 0 и g = 0 , коники уравнений af + bg = 0 образуют пучок, который содержит одну или три вырожденных коники. Для любой вырожденной коники на вещественной плоскости можно выбрать f и g так, чтобы данная вырожденная коника принадлежала тому пучку, который они определяют.

Примеры

Карандаши кругов: в пучке красных кругов единственная вырожденная коника - горизонтальная ось; карандаш синих окружностей имеет три вырожденных коники, вертикальную ось и две окружности нулевого радиуса.

Коническое сечение с уравнением является вырожденным, так как его уравнение может быть записано как , и соответствует двум пересекающимся линиям, образующим «X». Это вырожденный коническая происходит в предельном случае в карандаше из гипербол уравнений Предельный случай является примером вырожденной коники , состоящей из двойной линии на бесконечности.

Точно так же коническое сечение с уравнением , которое имеет только одну действительную точку, является вырожденным, как и по комплексным числам . Таким образом, коника состоит из двух комплексно сопряженных прямых , пересекающихся в единственной действительной точке коники.

Пучок эллипсов уравнений для вырождается в две параллельные прямые и для двойной прямой.

Пучок окружностей уравнений вырождается в две прямые: бесконечно удаленную линию и линию уравнения .

Классификация

Над комплексной проективной плоскостью имеется только два типа вырожденных коник - две разные прямые, которые обязательно пересекаются в одной точке, или одна двойная прямая. Любая вырожденная коника может быть преобразована проективным преобразованием в любую другую вырожденную конику того же типа.

На реальной аффинной плоскости ситуация сложнее. Вырожденная реальная коника может быть:

  • Две пересекающиеся линии, например
  • Две параллельные линии, например
  • Двойная линия (кратность 2), например
  • Две пересекающиеся комплексно-сопряженные прямые (только одна действительная точка), например
  • Две параллельные комплексно-сопряженные прямые (без реальной точки), например
  • Одна линия и линия на бесконечности
  • Двойная линия на бесконечности (на аффинной плоскости нет реальной точки )

Для любых двух вырожденных коник одного и того же класса существуют аффинные преобразования, отображающие первую конику во вторую.

Дискриминантный

Вырожденная гипербола, которая является множителем, представляет собой объединение красного и синего локусов.
Вырожденная парабола, которая учитывает как, является объединением красного и синего локусов.

Невырожденные вещественные коники можно классифицировать как эллипсы, параболы или гиперболы по дискриминанту неоднородной формы , который является определителем матрицы

матрица квадратичной формы в . Этот определитель может быть положительным, нулевым или отрицательным, поскольку коника является соответственно эллипсом, параболой или гиперболой.

Аналогично, коника может быть классифицирована как невырожденная или вырожденная в соответствии с дискриминантом однородной квадратичной формы в . Здесь аффинная форма гомогенизирована с

дискриминант этой формы является определителем матрицы

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. В этом случае у нас есть следующие возможности:

  • Две пересекающиеся прямые (гипербола выродилась в две свои асимптоты) тогда и только тогда, когда (см. Первую диаграмму).
  • Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда . Эти прямые различны и действительны, если (см. Вторую диаграмму), совпадают, если , и не существуют в реальной плоскости, если .
  • Единственная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда .
  • Одна линия (и линия на бесконечности) тогда и только тогда, когда и и оба не равны нулю. Этот случай всегда встречается как вырожденная коника в пучке окружностей . Однако в других контекстах она не рассматривается как вырожденная коника, поскольку ее уравнение не имеет степени 2.

Случай совпадающих строк имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3 × 3 равен 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2.

Отношение к пересечению плоскости и конуса

Коники, также известные как конические секции, чтобы подчеркнуть их трехмерную геометрию, возникают как пересечение плоскости с конусом . Вырождение происходит, когда плоскость содержит вершину конуса или когда конус вырождается в цилиндр, а плоскость параллельна оси цилиндра. См. Подробности в разделе Conic # Вырожденные случаи .

Приложения

Вырожденные коники, как и с вырожденными алгебраических многообразий в целом, возникают в пределах невырожденных коник, и играют важную роль в компактификацией из пространств модулей кривых .

Например, пучок кривых (1-мерная линейная система коник ), определяемый посредством , невырожден для, но вырожден конкретно для , это эллипс для двух параллельных прямых для и гипербола с - на всем протяжении, одна ось имеет длину 2 а другой имеет длину, равную бесконечности для

Такие семейства возникают естественным образом - если учесть четыре точки в общем линейном положении (не три на прямой), через них проходит пучок коник ( пять точек определяют конику , четыре точки оставляют один параметр свободным), из которых три вырожденные, каждая состоящий из пары линий, соответствующих способам выбора 2 пар точек из 4 точек (считая через полиномиальный коэффициент ).

Внешнее видео
значок видео Линейная система типа I ( Коффмана ).

Например, с учетом четырех точек пучок проходящих через них коник можно параметризовать так, чтобы получить следующий пучок; во всех случаях центр находится в начале координат:

  • гиперболы открывающиеся вправо и влево;
  • параллельные вертикальные линии
  • эллипсы с большой вертикальной осью;
  • круг (с радиусом );
  • эллипсы с большой горизонтальной осью;
  • параллельные горизонтальные линии
  • гиперболы, открывающиеся вверх и вниз,
  • диагональные линии
(деление на и принятие лимита в качестве доходности )
  • Затем выполняется цикл до, поскольку карандаши - это проективная линия.

Обратите внимание, что эта параметризация имеет симметрию, при которой инвертирование знака a меняет местами x и y . По терминологии ( Levy, 1964 ), это линейная система конусов Типа I, которая анимирована в связанном видео.

Поразительное применение такого семейства содержится в ( Faucette 1996 ), где дано геометрическое решение уравнения четвертой степени путем рассмотрения пучка коник через четыре корня квартики и отождествления трех вырожденных коник с тремя корнями резольвентной кубики. .

Теорема Паппа о шестиугольнике - это частный случай теоремы Паскаля , когда коника вырождается в две прямые.

Дегенерация

В комплексной проективной плоскости все коники эквивалентны и могут вырождаться либо в две разные прямые, либо в одну двойную.

В реальной аффинной плоскости:

  • Гиперболы могут вырождаться в две пересекающиеся линии (асимптоты), как в или в две параллельные прямые: или в двойную прямую, когда a стремится к 0.
  • Параболы могут вырождаться в две параллельные линии: или двойная линия, когда a переходит в 0; но поскольку параболы имеют двойную точку на бесконечности, они не могут вырождаться в две пересекающиеся прямые.
  • Эллипс может вылиться двум параллельным линиям: или двойной линии , как идет к 0; но, поскольку они имеют сопряженные комплексные точки на бесконечности, которые становятся двойной точкой при вырождении, не могут вырождаться в две пересекающиеся прямые.

Вырожденные коники могут вырождаться дальше в более специальные вырожденные коники, на что указывают размерности пространств и точек на бесконечности.

  • Две пересекающиеся прямые могут вырождаться в две параллельные прямые, вращаясь до параллельной, как в двойной линии, или в двойную линию, вращаясь друг в друга вокруг точки, как в каждом случае, когда a переходит в 0.
  • Две параллельные линии могут вырождаться в двойную линию, перемещаясь друг в друга, как, когда a переходит в 0, но не могут вырождаться в непараллельные линии.
  • Двойная линия не может переродиться в другие типы.
  • Другой тип вырождения возникает для эллипса, когда сумма расстояний до фокусов должна быть равна межфокальному расстоянию; таким образом, его малая полуось равна нулю, а эксцентриситет равен единице. Результатом является линейный сегмент (вырожденный, потому что эллипс не дифференцируем в конечных точках) с фокусами на конечных точках. В качестве орбиты это радиальная эллиптическая траектория .

Пункты для определения

Общая коника определяется пятью точками : для пяти точек общего положения через них проходит единственная коника. Если три из этих точек лежат на прямой, то коника приводима и может быть или не быть единственной. Если никакие четыре точки не лежат на одной прямой, то пять точек определяют единственную конику (вырожденная, если три точки коллинеарны, но две другие точки определяют единственную другую линию). Однако если четыре точки коллинеарны, то через них не проходит уникальная коника - одна линия проходит через четыре точки, а оставшаяся линия проходит через другую точку, но угол не определен, оставляя 1 параметр свободным. Если все пять точек коллинеарны, то оставшаяся линия свободна, что оставляет 2 параметра свободными.

Учитывая четыре точки в общем линейном положении (нет трех коллинеарных; в частности, нет двух совпадающих), через них проходят ровно три пары прямых (вырожденные коники), которые, как правило, пересекаются, если только точки не образуют трапецию (одну пара параллельна) или параллелограмм (две пары параллельны).

Если заданы три точки, если они не коллинеарны, через них проходят три пары параллельных линий - выберите две, чтобы определить одну линию, и третью, чтобы параллельная линия проходила через постулат параллельности .

Учитывая две различные точки, через них проходит уникальная двойная линия.

Ноты

Рекомендации

  • Коффман, Адам, Линейные системы коник
  • Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), «Геометрическая интерпретация решения общего многочлена четвертой степени», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX   10.1.1.111.5574 , JSTOR   2975214
  • Ласли-младший, JW (май 1957 г.), «О вырожденных кониках», The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , 64 (5): 362–364, JSTOR   2309606
  • Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрии , Нью-Йорк: Макмиллан Ко., Стр. X + 405
  • Милн, Дж. Дж. (Январь 1926 г.), «Заметка о вырожденных кониках», The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 13 (180): 7–9, JSTOR   3602237
  • Петтофреццо, Энтони (1978) [1966], Матрицы и преобразования , Довер, ISBN   978-0-486-63634-4
  • Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics , Dover, ISBN.   0-486-45773-7
  • "7.2 Общее квадратное уравнение" , Стандартные математические таблицы и формулы CRC (30-е изд.)