Теорема о монотонной сходимости - Monotone convergence theorem

В математической области действительного анализа , то теорема монотонной сходимости представляет собой любая из ряда родственных теорем , подтверждающего сходимость по монотонным последовательностям (последовательности, которые не убывают или не возрастает ), которые также являются ограниченными . Неформально теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху супремумом , то последовательность сходится к супремуму; таким же образом, если последовательность убывает и ограничена снизу нижним пределом , она будет сходиться к нижнему пределу.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Лемма 1.

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то ее верхняя грань является пределом.

Доказательство

Позвольте быть такой последовательность, и пусть будет набор членов . По предположению непусто и ограничено сверху. По свойству наименьшей верхней границы вещественных чисел существует и конечно. Теперь для каждого существует такое, что , поскольку в противном случае это верхняя граница , что противоречит определению . Тогда, поскольку возрастает и является его верхней границей для каждого , мы имеем . Следовательно, по определению предел равен ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ textstyle c = \ sup _ {n} \ {a_ {n} \}}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle a_ {N}> c- \ varepsilon}$${\ displaystyle c- \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle n> N}$${\ displaystyle | c-a_ {n} | \ leq | c-a_ {N} | <\ varepsilon}$${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ textstyle \ sup _ {n} \ {a_ {n} \}.}$

Лемма 2.

Если последовательность действительных чисел убывает и ограничена снизу, то ее нижняя грань является пределом.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастает и ограничена сверху,

Теорема

Если есть монотонная последовательность из действительных чисел (то есть, если _п  ≤  _{п + 1} для каждого п ≥ 1 или в _п  ≥  в _{п +1} для каждого п ≥ 1), то эта последовательность имеет предел тогда и только тогда , когда последовательность ограничена . ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$

Доказательство

• «Если» -направление: Доказательство следует непосредственно из лемм.
• Направление «Только если»: по определению предела каждая последовательность с пределом обязательно ограничена. ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle L}$

Сходимость монотонного ряда

Теорема

Если для всех натуральных чисел J и K , в _{J , K} представляет собой неотрицательное действительное число и _{J , K}  ≤ _{J + 1, к} , то

${\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ sum _ {k} a_ {j, k} = \ sum _ {k} \ lim _ {j \ to \ infty} a_ {j, k}.}$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел такая, что

1. столбцы слабо возрастающие и ограниченные, а
2. для каждой строки, то ряд , члены которого задаются этой строкой имеет сумму сходящуюся,

тогда предел сумм строк равен сумме ряда, член k которого задается пределом столбца k (который также является его супремумом ). Ряд имеет сходящуюся сумму тогда и только тогда, когда (слабо возрастающая) последовательность строчных сумм ограничена и, следовательно, сходится.

В качестве примера рассмотрим бесконечную серию строк

${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {1} {n ^ {k}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {1} {k!}} \ times {\ frac {n} {n}} \ раз {\ frac {n-1} {n}} \ times \ cdots \ times {\ frac {n-k + 1} {n}},}$

где n стремится к бесконечности (предел этой серии равен e ). Здесь запись матрицы в строке n и столбце k равна

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} {\ frac {1} {n ^ {k}}} = {\ frac {1} {k!}} \ times {\ frac {n} {n} } \ times {\ frac {n-1} {n}} \ times \ cdots \ times {\ frac {n-k + 1} {n}};}$

столбцы (фиксированный k ) действительно слабо растут с увеличением n и ограничены (на 1 / k !), в то время как в строках есть только конечное число ненулевых членов, поэтому условие 2 выполняется; теперь теорема говорит, что вы можете вычислить предел сумм строк , взяв сумму пределов столбцов, а именно  . ${\ Displaystyle (1 + 1 / п) ^ {п}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {к!}}}$

Лемма Беппо Леви

Следующий результат принадлежит Беппо Леви , который в 1906 году доказал небольшое обобщение более раннего результата Анри Лебега . Далее через -алгебру борелевских множеств на . По определению содержит множество и все борелевские подмножества ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ Displaystyle \ {+ \ infty \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}.}$

Теорема

Позвольте быть мерой пространства , и . Рассмотрим точечно неубывающая последовательность из - измеримое неотрицательных функций , то есть для каждого , и каждый , ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$${\ Displaystyle X \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle \ {е_ {к} \} _ {к = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle f_ {k}: X \ to [0, + \ infty]}$${\ Displaystyle {к \ geq 1}}$${\ displaystyle {x \ in X}}$

${\ displaystyle 0 \ leq f_ {k} (x) \ leq f_ {k + 1} (x) \ leq \ infty.}$

Установите предел точечно последовательности быть . То есть для каждого , ${\ Displaystyle \ {е_ {п} \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in X}$

${\ Displaystyle f (x): = \ lim _ {k \ to \ infty} f_ {k} (x).}$

Тогда это -измеримое и ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu = \ int _ {X} f \, d \ mu.}$

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными или бесконечными.

Замечание 2. Теорема остается верной, если ее предположения выполняются почти всюду. Другими словами, достаточно того, что есть пустое множество , что последовательность , не уменьшается для каждого Чтобы понять , почему это так, мы начинаем с наблюдения , что позволяет последовательность поточечных неубывания почти всюду вызывает его предел точечно к быть неопределенным на некотором нулевом наборе . На этом нулевом множестве затем может быть определено произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, который сохраняет измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, обратите внимание, что, поскольку мы имеем для каждого ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ {е_ {п} (х) \}}$${\ displaystyle {x \ in X \ setminus N}.}$${\ Displaystyle \ {е_ {п} \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ му (N) = 0},}$${\ displaystyle k,}$

${\ displaystyle \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu = \ int _ {X \ setminus N} f_ {k} \, d \ mu}$ а также ${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu = \ int _ {X \ setminus N} f \, d \ mu,}$

при условии, что это измеримо. (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции). ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$

Замечание 3. В условиях теоремы

(Отметим, что вторая цепочка равенств следует из замечания 5).

Замечание 4. В нижеследующем доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорема может быть использована для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. Замечание 4), пусть функции будут -измеримыми. ${\ displaystyle f, g: X \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$

• Если везде, то ${\ displaystyle f \ leq g}$${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu \ leq \ int _ {X} g \, d \ mu.}$

• Если и тогда ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2} \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle X_ {1} \ substeq X_ {2},}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu \ leq \ int _ {X_ {2}} f \, d \ mu.}$

Доказательство. Обозначим множество простых -измеримых функций таких, что всюду на ${\ displaystyle \ operatorname {SF} (h)}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle s: X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq h}$${\ displaystyle X.}$

1. Поскольку у нас есть ${\ displaystyle f \ leq g,}$

${\ displaystyle \ operatorname {SF} (f) \ substeq \ operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

${\ Displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu = \ sup _ {s \ in {\ rm {SF}} (f)} \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ sup _ {s \ in {\ rm {SF}} (g)} \ int _ {X} s \, d \ mu = \ int _ {X} g \, d \ mu.}$

2. Пусть - индикаторная функция множества. Из определения интеграла Лебега можно вывести, что ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}}}$${\ displaystyle X_ {1}.}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \, d \ mu = \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu }$

если мы заметим, что для каждого свойства, отличного от Combined с предыдущим свойством, неравенство подразумевает ${\ displaystyle s \ in {\ rm {SF}} (е \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}}),}$ ${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle X_ {1}.}$${\ displaystyle f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \ leq f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu = \ int _ {X_ {2}} f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \, d \ mu \ leq \ int _ {X_ {2}} f \, d \ mu.}$

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату . Однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму.

Для тех, кто не заинтересован в независимом доказательстве, промежуточные результаты ниже могут быть пропущены.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Позвольте быть измеримым пространством. Рассмотрим простую -измеримую неотрицательную функцию . Для подмножества определите ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle s: \ Omega \ to {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ Displaystyle S \ substeq \ Omega}$

${\ Displaystyle \ Nu (S) = \ int _ {S} s \, d \ mu.}$

Потом мера по . ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ Omega}$

Доказательство

Монотонность следует из замечания 5. Здесь мы докажем только счетную аддитивность, оставив остальное на усмотрение читателя. Пусть , где все множества попарно не пересекаются. Благодаря простоте, ${\ Displaystyle S = \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} S_ {я}}$${\ displaystyle S_ {i}}$

${\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot {\ mathbf {1}} _ {A_ {i}},}$

для некоторых конечных неотрицательных констант и попарно непересекающихся множеств, таких что . По определению интеграла Лебега ${\ displaystyle c_ {i} \ in {\ mathbb {R}} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle A_ {i} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ Omega}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nu (S) & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ mu (S \ cap A_ {i}) \\ & = \ сумма _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ mu \ left (\ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} S_ {j} \ right) \ cap A_ {i } \ right) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ mu \ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} (S_ {j} \ cap A_ {i}) \ right) \ end {выровнено}}}$

Поскольку все множества попарно не пересекаются, счетная аддитивность дает нам ${\ displaystyle S_ {j} \ cap A_ {i}}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ mu \ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} (S_ {j} \ cap A_ {i} ) \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ mu (S_ {j} \ cap A_ {i}) .}$

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, независимо от того, является ли эта сумма конечной или бесконечной, не может измениться при изменении порядка суммирования. По этой причине,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ mu (S_ {j} \ cap A_ {i}) & = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ cdot \ mu (S_ {j} \ cap A_ {i} ) \\ & = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ int _ {S_ {j}} s \, d \ mu \\ & = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ nu (S_ {j}), \ end {align}}}$

как требуется.

«Преемственность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть - мера, и , где ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle S = \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} S_ {я}}$

${\ Displaystyle S_ {1} \ substeq \ cdots \ substeq S_ {я} \ substeq S_ {я + 1} \ substeq \ cdots \ substeq S}$

является неубывающей цепью со всеми ее множествами -измеримыми. потом ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu (S) = \ lim _ {i} \ mu (S_ {i}).}$

Доказательство теоремы

Шаг 1. Начнем с того, что покажем, что можно измерить. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$

Примечание. Если бы мы использовали лемму Фату, измеримость легко следовала бы из замечания 3 (а).

Чтобы сделать это без использования леммы Фату, достаточно показать, что прообраз интервала под является элементом сигма-алгебры на , потому что (замкнутые) интервалы порождают сигма-алгебру Бореля на вещественных числах. Так как это замкнутый интервал, и для каждого , , ${\ displaystyle [0, t]}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [0, t]}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 0 \ Leq F_ {к} (х) \ Leq F (х)}$

${\ displaystyle 0 \ leq f (x) \ leq t \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ Bigl [} \ forall k \ quad 0 \ leq f_ {k} (x) \ leq t {\ Bigr]}.}$

Таким образом,

${\ displaystyle \ {x \ in X \ mid 0 \ leq f (x) \ leq t \} = \ bigcap _ {k} \ {x \ in X \ mid 0 \ leq f_ {k} (x) \ leq t \}.}$

Будучи прообразом борелевского множества относительно -измеримой функции , каждое множество в счетном пересечении является элементом . Так как -алгебры, по определению, замкнуто относительно счетных пересечений, это показывает , что является -измеримым, а интеграл хорошо определен (и , возможно , бесконечный). ${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {X} f \, d \ mu}$

Шаг 2. Сначала покажем, что ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {X} f \, d \ mu \ geq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Определение и монотонность подразумевают, что для каждого и каждого . По монотонности (точнее, ее более узкой версии, установленной в замечании 5; см. Также замечание 4) интеграла Лебега ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ {е_ {к} \}}$${\ Displaystyle е (х) \ geq f_ {к} (х)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x \ in X}$

${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu \ geq \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu,}$

а также

${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu \ geq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Отметим, что предел справа существует (конечный или бесконечный), потому что из-за монотонности (см. Замечание 5 и замечание 4) последовательность неубывающая.

Конец шага 2.

Докажем обратное неравенство. Мы стремимся показать, что

${\ Displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu}$ .

Доказательство с помощью леммы Фату. Согласно замечанию 3 неравенство, которое мы хотим доказать, эквивалентно

${\ Displaystyle \ int _ {X} \ liminf _ {k} f_ {k} (x) \, d \ mu \ leq \ liminf _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu .}$

Но последнее немедленно следует из леммы Фату, и доказательство завершено.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без использования леммы Фату, нам понадобится дополнительный аппарат. Обозначим множество простых -измеримых функций таких, что on . ${\ displaystyle \ operatorname {SF} (f)}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle s: X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq f}$${\ displaystyle X}$

Шаг 3. Для простой функции и действительного числа определите ${\ displaystyle s \ in \ operatorname {SF} (f)}$${\ Displaystyle т \ в (0,1)}$

${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = \ {x \ in X \ mid t \ cdot s (x) \ leq f_ {k} (x) \} \ substeq X.}$

Тогда , и . ${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} \ substeq B_ {k + 1} ^ {s, t}}$${\ displaystyle \ textstyle X = \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$

Шаг 3а. Чтобы доказать первое утверждение, пусть для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств такие, что , некоторые (конечные) неотрицательные константы , и обозначая индикаторную функцию множества . ${\ displaystyle \ textstyle s = \ sum _ {я = 1} ^ {m} c_ {i} \ cdot {\ mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle A_ {i} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ textstyle X = \ чашка _ {i = 1} ^ {m} A_ {i}}$${\ displaystyle c_ {i} \ in {\ mathbb {R}} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle A_ {i}}$

Для каждого выполняется тогда и только тогда, когда Учитывая, что множества попарно не пересекаются, ${\ displaystyle x \ in A_ {i},}$ ${\ Displaystyle т \ cdot s (х) \ leq f_ {к} (х)}$${\ displaystyle f_ {k} (x) \ in [t \ cdot c_ {i}, + \ infty].}$${\ displaystyle A_ {i}}$

${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} {\ Bigl (} f_ {k} ^ {- 1} {\ Bigl (} [t \ cdot c_ {i}, + \ infty] {\ Bigr)} \ cap A_ {i} {\ Bigr)}.}$

Поскольку прообраз борелевского множества относительно измеримой функции измерим, а -алгебры по определению замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение. ${\ displaystyle f_ {k} ^ {- 1} {\ Bigl (} [t \ cdot c_ {i}, + \ infty] {\ Bigr)}}$${\ Displaystyle [т \ cdot c_ {я}, + \ infty]}$${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Шаг 3б. Чтобы доказать второе утверждение, заметим , что для каждого и каждый , ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle f_ {k} (x) \ leq f_ {k + 1} (x).}$

Шаг 3c. Чтобы доказать третье утверждение, мы покажем это . ${\ displaystyle \ textstyle X \ substeq \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$

Действительно, если наоборот , то элемент ${\ displaystyle \ textstyle X \ not \ substeq \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$

${\ displaystyle \ textstyle x_ {0} \ in X \ setminus \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t} = \ bigcap _ {k} (X \ setminus B_ {k} ^ {s, t })}$

существует такое, что для каждого . Принимая предел as , получаем ${\ displaystyle f_ {k} (x_ {0}) <t \ cdot s (x_ {0})}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

${\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq t \ cdot s (x_ {0}) <s (x_ {0}).}$

Но по первоначальному предположению . Получили противоречие. ${\ displaystyle s \ leq f}$

Шаг 4. Для каждой простой измеримой неотрицательной функции , ${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle s_ {2}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n} \ int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} \, d \ mu = \ int _ {X} s_ {2} \, d \ mu. }$

Чтобы доказать это, определите . По лемме 1 - мера на . По «непрерывности снизу» (лемма 2) ${\ displaystyle \ textstyle \ nu (S) = \ int _ {S} s_ {2} \, d \ mu}$${\ Displaystyle \ Nu (S)}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ lim _ {n} \ int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} \, d \ mu = \ lim _ {n} \ nu (B_ {n} ^ {s , t}) = \ nu (X) = \ int _ {X} s_ {2} \, d \ mu,}$

как требуется.

Шаг 5. Теперь мы докажем , что для каждого , ${\ displaystyle s \ in \ operatorname {SF} (f)}$

${\ displaystyle \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Действительно, используя определение , неотрицательность и монотонность интеграла Лебега (см. Замечание 5 и 4), имеем ${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t}}$${\ displaystyle f_ {k}}$

${\ displaystyle \ int _ {B_ {k} ^ {s, t}} t \ cdot s \, d \ mu \ leq \ int _ {B_ {k} ^ {s, t}} f_ {k} \, d \ mu \ leq \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu,}$

для каждого . В соответствии с шагом 4 , при неравенство принимает вид ${\ Displaystyle к \ geq 1}$${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

${\ displaystyle t \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Принимая предел как доходность ${\ displaystyle t \ uparrow 1}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu,}$

как требуется.

Шаг 6. Теперь мы можем доказать обратное неравенство, т.е.

${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Действительно, по неотрицательности, и для расчетов ниже неотрицательность существенна. Применяя определение интеграла Лебега и неравенство, установленное на шаге 5, имеем ${\ displaystyle f _ {+} = f}$${\ displaystyle f _ {-} = 0.}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu = \ sup _ {s \ in \ operatorname {SF} (f)} \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ { k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu.}$

Доказательство окончено.

Смотрите также

• Бесконечная серия
• Теорема о доминирующей сходимости

Заметки