Функция знака вопроса Минковского - Minkowski's question-mark function

Функция вопросительного знака Минковского.

Слева :? ( X ) . Правильно :? ( X ) - x .

В математике , то функция Минковского знак вопроса обозначается ? ( Х ) , является функцией , обладающих различными необычные фрактальные свойства, определяемые Герман Минковский  ( 1904 , стр 171-172). Он отображает квадратичные иррациональности к рациональным числам на единичном интервале , через выражение , связывающее цепные дробь разложения квадратичных к бинарным расширениям рациональных чисел, заданным Данжуы в 1938 г. Кроме того, он отображает рациональные числа в двоично - рациональные числа , так как можно увидеть по рекурсивному определению, тесно связанному с деревом Штерна – Броко .

Определение

Если [ a ₀ ; ₁ , ₂ , ...] является по- прежнему-фракция представление из иррационального числа  х , то

${\ displaystyle \ operatorname {?} (x) = a_ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1}} {2 ^ {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}}},}$

тогда как если [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ ,…, a _m ] представляет собой представление рационального числа  x в виде цепной дроби , тогда

${\ displaystyle \ operatorname {?} (x) = a_ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {m} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1}} { 2 ^ {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}}}.}$

Интуитивное объяснение

Чтобы получить некоторое представление о приведенном выше определении, рассмотрим различные способы интерпретации бесконечной строки битов, начинающейся с 0, как действительного числа в [0, 1] . Один из очевидных способов интерпретации такой строки - поставить двоичную точку после первого 0 и прочитать строку как двоичное расширение: например, строка 001001001001001001001001 ... представляет двоичное число 0,010010010010 ..., или2/7. Другая интерпретация рассматривает строку как непрерывную дробь [0; a ₁ ,  a ₂ ,…] , где целые числа a _i являются длинами серий в кодировке длин серий строки. Тот же пример строки 001001001001001001001001 ... тогда соответствует [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] =√ 3 - 1/2. Если строка заканчивается бесконечно длинным пробегом одного и того же бита, мы игнорируем его и завершаем представление; на это указывает формальная «идентичность»:

[0; a ₁ ,…, a _n , ∞] = [0; a ₁ ,…, a _n +1/∞] = [0; a ₁ ,…, a _n + 0] = [0; a ₁ ,…, a _n ] .

Влияние функции вопросительного знака на [0, 1] можно тогда понимать как сопоставление второй интерпретации строки с первой интерпретацией той же строки, так же как функцию Кантора можно понимать как сопоставление триадического основания-3. представление к представлению базы-2. В нашем примере строка дает равенство

${\ displaystyle \ operatorname {?} \ left ({\ frac {{\ sqrt {3}} - 1} {2}} \ right) = {\ frac {2} {7}}.}$

Рекурсивное определение рациональных аргументов

Для рациональных чисел в единичном интервале функция также может быть определена рекурсивно ; еслип/q а также р/s- приведенные дроби такие, что | ps - rq | = 1 (так что они являются смежными элементами строки последовательности Фарея ), то

${\ displaystyle \ operatorname {?} \ left ({\ frac {p + r} {q + s}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {?} \ left ( {\ frac {p} {q}} \ right) + \ operatorname {?} \ left ({\ frac {r} {s}} \ right) \ right].}$

Использование базовых случаев

${\ displaystyle \ operatorname {?} \ left ({\ frac {0} {1}} \ right) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {?} \ left ({\ frac {1 } {1}} \ right) = 1,}$

тогда можно вычислить ? ( x ) для любого рационального  x , начиная с последовательности Фарея порядка 2, затем 3 и т. д.

Если p _{n −1}/q _{n −1} а также п _п/q _nдве последовательные дроби непрерывной дроби , то матрица

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p_ {n-1} & p_ {n} \\ q_ {n-1} & q_ {n} \ end {pmatrix}}}$

имеет определитель  ± 1. Такая матрица является элементом SL (2,  Z ) , группы матриц 2 × 2 с определителем ± 1. Эта группа относится к модульной группе .

Самосимметрия

Знак вопроса явно визуально самоподобен. Моноид самозахватов сходства могут быть получены с помощью двух операторов S и R , действующих на единицу площади , и определяется следующим образом :

${\ displaystyle {\ begin {align} S (x, y) & = \ left ({\ frac {x} {x + 1}}, {\ frac {y} {2}} \ right), \\ [ 5px] R (x, y) & = (1-x, 1-y). \ End {align}}}$

Визуально S сжимает единичный квадрат до его нижней левой четверти, а R выполняет точечное отражение через его центр.

Точка на графике из ? имеет координаты ( x ,? ( x )) для некоторого x в единичном интервале. Такая точка преобразуется S и R в другую точку графика, потому что ? удовлетворяет следующим тождествам для всех x ∈ [0, 1] :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {?} \ left ({\ frac {x} {x + 1}} \ right) & = {\ frac {\ operatorname {?} (x)} {2} }, \\ [5px] \ operatorname {?} (1-x) & = 1- \ operatorname {?} (X). \ End {выровнено}}}$

Эти два оператора можно многократно комбинировать, образуя моноид. Тогда общий элемент моноида

${\ displaystyle S ^ {a_ {1}} RS ^ {a_ {2}} RS ^ {a_ {3}} \ cdots}$

для натуральных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… . Каждый такой элемент описывает самоподобие функции вопросительного знака. Этот моноид иногда называют моноидом удвоения периода , и все фрактальные кривые удвоения периода обладают описываемой им самосимметрией (кривая де Рама , частным случаем которой является вопросительный знак, является категорией таких кривых). Элементы моноида находятся в соответствии с рациональными числами посредством идентификации a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… с непрерывной дробью [0; a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…] . Поскольку оба

${\ Displaystyle S: х \ mapsto {\ гидроразрыва {х} {х + 1}}}$

а также

${\ Displaystyle T: х \ mapsto 1-x}$

являются дробно-линейными преобразованиями с целыми коэффициентами, моноид можно рассматривать как подмножество модульной группы PSL (2, Z ) .

Квадратичные иррациональные числа

Функция вопросительного знака обеспечивает взаимно однозначное отображение недиадических рациональных чисел в квадратичные иррациональные числа , что позволяет явно доказать счетность последних. Они могут, фактически, следует понимать , чтобы соответствовать периодическим орбитам для диадического преобразования . Это можно явно продемонстрировать всего за несколько шагов.

Диадическая симметрия

Определите два хода: левый и правый, действительные на единичном интервале как ${\ Displaystyle 0 \ Leq х \ Leq 1}$

${\ Displaystyle L_ {D} (х) = {\ гидроразрыва {х} {2}}}$ а также ${\ Displaystyle L_ {C} (х) = {\ гидроразрыва {х} {1 + х}}}$

а также

${\ Displaystyle R_ {D} (х) = {\ гидроразрыва {1 + х} {2}}}$ а также ${\ Displaystyle R_ {C} (х) = {\ гидроразрыва {1} {2-x}}}$

Тогда функция вопросительного знака подчиняется симметрии движения влево.

${\ Displaystyle L_ {D} \ circ? =? \ circ L_ {C}}$

и правосторонняя симметрия

${\ Displaystyle R_ {D} \ circ? =? \ circ R_ {C}}$

где обозначает композицию функции . Они могут быть произвольно объединены. Рассмотрим, например, последовательность движений влево-вправо, добавляя индексы C и D, и, для ясности, отбрасывая оператор композиции во всех местах, кроме нескольких, получаем: ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle LRLLR.}$${\ displaystyle \ circ}$

${\ Displaystyle L_ {D} R_ {D} L_ {D} L_ {D} R_ {D} \ circ? =? \ circ L_ {C} R_ {C} L_ {C} L_ {C} R_ {C} }$

Произвольные струны конечной длины в буквы L и R соответствуют двоично - рациональных чисел , в том , что каждое двоично - рационально можно записать в виде как для целых п и м и , как конечной длины битов с Таким образом, каждый двоично - рациональна в взаимно одно соответствие с некоторой самосимметрией функции вопросительного знака. ${\ Displaystyle у = п / 2 ^ {м}}$${\ displaystyle y = 0.b_ {1} b_ {2} b_ {3} \ cdots b_ {m}}$${\ displaystyle b_ {k} \ in \ {0,1 \}.}$

Некоторые перестановки обозначений могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Пусть и обозначают L и R. Функциональная композиция расширяет это до моноида , в котором можно писать и, как правило, для некоторых двоичных строк цифр A , B , где AB - это просто обычная конкатенация таких строк. Тогда диадический моноид M является моноидом всех таких лево-правых ходов конечной длины. Если писать как общий элемент моноида, существует соответствующая самосимметрия функции вопросительного знака: ${\ displaystyle g_ {0}}$${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle g_ {010} = g_ {0} g_ {1} g_ {0}}$${\ displaystyle g_ {A} g_ {B} = g_ {AB}}$${\ displaystyle \ gamma \ in M}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {D} \ circ? =? \ circ \ gamma _ {C}}$

Изоморфизм

Явное отображение между рациональными числами и диадическими рациональными числами может быть получено с помощью оператора отражения

${\ Displaystyle г (х) = 1-х}$

и отмечая, что оба

${\ displaystyle r \ circ R_ {D} \ circ r = L_ {D}}$ а также ${\ displaystyle r \ circ R_ {C} \ circ r = L_ {C}}$

Так как это тождество, произвольная строка движений влево-вправо может быть переписана как цепочка только движений влево, за которой следует отражение, за которым следуют другие ходы влево, отражение и т. Д., То есть как то, что есть явно изоморфен сверху. Вычисление некоторой явной последовательности в аргументе функции дает диадическое рациональное число; явно, он равен тому, где каждый является двоичным битом, ноль соответствует перемещению влево, а один - перемещению вправо. Эквивалентная последовательность ходов, вычисленная в, дает рациональное число. Это явно та, которую дает непрерывная дробь, имея в виду, что она является рациональной, потому что последовательность имела конечную длину. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между диадическими рациональными числами и рациональными числами. ${\ displaystyle r ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle L ^ {a_ {1}} rL ^ {a_ {2}} rL ^ {a_ {3}} \ cdots}$${\ Displaystyle S ^ {a_ {1}} TS ^ {a_ {2}} TS ^ {a_ {3}} \ cdots}$${\ displaystyle L_ {D}, R_ {D}}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle y = 0.b_ {1} b_ {2} b_ {3} \ cdots b_ {m}}$${\ displaystyle b_ {k} \ in \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle L_ {C}, R_ {C}}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle p / q.}$${\ displaystyle p / q = [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots, a_ {j}]}$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots, a_ {j})}$

Периодические орбиты диадического преобразования

Рассмотрим теперь периодические орбиты на диадического преобразования . Они соответствуют битовым последовательностям, состоящим из конечной начальной «хаотической» последовательности битов , за которой следует повторяющаяся строка длины . Такие повторяющиеся строки соответствуют рациональному числу. Это легко сделать явным. Напишите ${\ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {k-1}}$${\ displaystyle b_ {k}, b_ {k + 1}, b_ {k + 2}, \ cdots, b_ {k + m-1}}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle у = \ сумма _ {j = 0} ^ {m-1} b_ {k + j} 2 ^ {- j-1}}$

тогда очевидно, что

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} b_ {k + j} 2 ^ {- j-1} = y \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- jm } = {\ frac {y} {1-2 ^ {m}}}}$

Если взять исходную неповторяющуюся последовательность, у каждого явно есть рациональное число. Фактически, каждое рациональное число может быть выражено таким образом: начальная «случайная» последовательность, за которой следует циклический повтор. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными числами.

Периодические орбиты как непрерывные дроби

Такие периодические орбиты имеют эквивалентную периодическую цепную дробь в соответствии с изоморфизмом, установленным выше. Есть начальная «хаотическая» орбита некоторой конечной длины, за которой следует повторяющаяся последовательность. Повторяющаяся последовательность генерирует периодическую непрерывную дробь, удовлетворяющую этому условию. Эта непрерывная дробь имеет вид ${\ displaystyle x = [a_ {n}, a_ {n + 1}, a_ {n + 2}, \ cdots, a_ {n + r}, x].}$

${\ Displaystyle х = {\ гидроразрыва {\ альфа х + \ бета} {\ гамма х + \ дельта}}}$

с целыми числами и удовлетворяющими Явным значениям можно получить, написав ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма, \ дельта}$${\ Displaystyle \ альфа \ дельта - \ бета \ гамма = \ pm 1.}$

${\ Displaystyle S \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$

для смены, так что

${\ Displaystyle S ^ {п} \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \ end {pmatrix}}}$

в то время как отражение дается

${\ displaystyle T \ mapsto {\ begin {pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

так что . Обе эти матрицы унимодулярны , произвольные произведения остаются унимодулярными и приводят к матрице вида ${\ displaystyle T ^ {2} = I}$

${\ Displaystyle S ^ {a_ {n}} TS ^ {a_ {n + 1}} T \ cdots TS ^ {a_ {n + r}} = {\ begin {pmatrix} \ alpha & \ beta \\\ гамма & \ delta \ end {pmatrix}}}$

давая точное значение непрерывной дроби. Поскольку все элементы матрицы являются целыми числами, эта матрица принадлежит проективной модулярной группе ${\ displaystyle PSL (2, \ mathbb {Z}).}$

Решая явно, мы получаем, что нетрудно проверить, что решения этой задачи удовлетворяют определению квадратичных иррациональных чисел. Фактически, так можно выразить любое квадратичное иррациональное. Таким образом, квадратичные иррациональные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими орбитами диадического преобразования, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с (недиадическими) рациональными числами, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с диадические рациональности. Функция вопросительного знака обеспечивает соответствие в каждом случае. ${\ Displaystyle \ гамма х ^ {2} + (\ дельта - \ альфа) х- \ бета = 0.}$

Свойства ? ( X )

Функция вопросительного знака - это строго возрастающая и непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция. Производная определяется почти всюду , и может принимать только два значения, 0 (значение почти везде, в том числе на всех рациональных чисел ) и . Есть несколько конструкций для меры, которая при интегрировании дает функцию вопросительного знака. Одно из таких построений получается путем измерения плотности чисел Фарея на действительной числовой прямой. Мера в виде вопросительного знака - это прототип того, что иногда называют мультифрактальной мерой . ${\ displaystyle + \ infty}$

Функция вопросительного знака отображает рациональные числа в диадические рациональные числа , то есть те, чье представление по основанию два заканчивается, что может быть доказано индукцией из рекурсивной конструкции, описанной выше. Он отображает квадратичные иррациональные числа в недиадические рациональные числа. В обоих случаях он обеспечивает изоморфизм порядка между этими множествами, делая конкретную теорему Кантора об изоморфизме, согласно которой каждые два неограниченных счетных плотных линейных порядка изоморфны порядку. Это нечетная функция , удовлетворяющая функциональному уравнению ? ( X + 1) =? ( X ) + 1 ; следовательно, x →? ( x ) - x - нечетная периодическая функция с периодом один. Если ? ( X ) иррационально, то x либо алгебраичен степени больше двух, либо трансцендентен .

Функция вопросительного знака имеет фиксированные точки в 0,1/2и 1, и по крайней мере еще два, симметрично относительно середины. Один примерно равен 0,42037. Мощевитин предположил, что это были единственные 5 неподвижных точек.

В 1943 году Рафаэль Салем поднял вопрос о том, обращаются ли коэффициенты Фурье – Стилтьеса функции вопросительного знака в нуль на бесконечности. Другими словами, он хотел знать, действительно ли

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {2 \ pi inx} \, \ operatorname {d?} (x) = 0.}$

На этот вопрос утвердительно ответили Джордан и Зальстен как частный случай результата о мерах Гиббса .

График функции вопросительного знака Минковского является частным случаем фрактальных кривых, известных как кривые де Рама .

Алгоритм

Рекурсивное определение естественно поддается алгоритму вычисления функции с любой желаемой степенью точности для любого действительного числа, как демонстрирует следующая функция C. Алгоритм спускается по дереву Штерна – Броко в поисках входа  x и по пути суммирует члены двоичного разложения y =? ( X ) . Пока выполняется инвариант цикла qr - ps = 1, нет необходимости уменьшать дробьм/п знак равно п + г/q + s, так как это уже на самом низком уровне. Другой инвариантп/q≤ х <р/s. forЦикл в этой программе можно проанализировать несколько , как whileпетли, с условными выражениями разрыва в первых трех строках оформляя состояние. Единственные операторы в цикле, которые могут повлиять на инварианты, находятся в последних двух строках, и можно показать, что они сохраняют истинность обоих инвариантов до тех пор, пока первые три строки выполняются успешно без выхода из цикла. Третий инвариант для тела цикла (до чисел с плавающей запятой) является у ≤? ( Х ) < у + д , но так как д будет вдвое в начале цикла , прежде чем какое - либо условие испытания, мы делаем вывод, только то , что y ≤? ( x ) < y + 2 d в конце цикла.

Для того, чтобы доказать , завершение , достаточно отметить , что сумма q + sвозрастает по меньшей мере , 1 с каждой итерации цикла, и что цикл завершится , когда эта сумма слишком велика , чтобы быть представленными в примитивном типе данных С long. Однако на практике условное прерывание when y + d == y- это то, что обеспечивает завершение цикла в разумный промежуток времени.

/* Minkowski's question-mark function */
double minkowski(double x) {
    long p = x;
    if ((double)p > x) --p; /* p=floor(x) */
    long q = 1, r = p + 1, s = 1, m, n;
    double d = 1, y = p;
    if (x < (double)p || (p < 0) ^ (r <= 0))
        return x; /* out of range ?(x) =~ x */
    for (;;) { /* invariants: q * r - p * s == 1 && (double)p / q <= x && x < (double)r / s */
        d /= 2;
        if (y + d == y)
            break; /* reached max possible precision */
        m = p + r;
        if ((m < 0) ^ (p < 0))
            break; /* sum overflowed */
        n = q + s;
        if (n < 0)
            break; /* sum overflowed */

        if (x < (double)m / n) {
            r = m;
            s = n;
        } else {
            y += d;
            p = m;
            q = n;
        }
    }
    return y + d; /* final round-off */
}

Распределение вероятностей

Ограничение функции со знаком вопроса Минковского: [0,1] → [0,1], он может быть использован в качестве интегральной функции распределения в виде сингулярного распределения на единичном интервале. Это распределение симметрично относительно его средней точки, с исходными моментами около m ₁  = 0,5, m ₂  = 0,290926, m ₃  = 0,186389 и m ₄  = 0,126992, и поэтому среднее значение и медиана 0,5, стандартное отклонение около 0,2023, a асимметрия 0 и избыточный эксцесс около -1,147.

Функция бокса Конвея

Поскольку функция вопросительного знака Минковского представляет собой строго возрастающую непрерывную биекцию от действительных чисел к действительным числам, у нее есть обратная функция, называемая функцией бокса Конвея . Итак . ${\ Displaystyle \ квадрат (? (х)) = х {\ текст {и}}? (\ квадрат (у)) = у}$

Это отображает диадические рациональные числа на рациональные числа, а рациональные числа на квадратичное поле. Аргумент мощности показывает, что независимо от того, сколько раз это будет повторяться, почти все действительные числа в этом смысле не упаковываются .

Смотрите также

• Производная Помпею

Примечания

Исторические ссылки

• Минковский, Герман (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. Internationalen Mathematiker-Kongresses в Гейдельберге , Берлине, стр. 164-173, СУЛ  36.0281.01 , заархивированные с оригинала на 4 января 2015
• Данжуа, Арно (1938), "Sur une fonction réelle de Minkowski", J. Math. Pures Appl. , Série IX (на французском языке), 17 : 105–151, Zbl  0018.34602

использованная литература

• Алькаускас, Гедриус ​​(2008), Интегральные преобразования функции вопросительного знака Минковского , докторская диссертация, Ноттингемский университет.
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (1998), "Новый свет на Минковского (х) функция?" , Журнал теории чисел , 73 (2): 212-227, DOI : 10,1006 / jnth.1998.2294 , ЛВП : 10230/843 , Zbl  0928,11006 , архивируются с оригинала на 22 июня 2015.
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (2001), "Производная сингулярной функции Минковского" , Journal of Mathematical Analysis and Applications , 253 (1): 107–125, doi : 10.1006 / jmaa.2000.7064 , Zbl  0995.26005 , заархивировано из оригинала 22 Июнь 2015 г..
• Конли, Р.М. (2003), Обзор функции Минковского? (X) , магистерская диссертация, Университет Западной Вирджинии.
• Конвей, Дж. Х. (2000), «Искаженные дроби», « О числах и играх» (2-е изд.), Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 82–86..
• Финч, Стивен Р. (2003), Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, 94 , Кембридж : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-81805-6, Zbl  1054,00001
• Джордан, Томас; Салстен, Туомас (2016), «Преобразования Фурье мер Гиббса для отображения Гаусса», Mathematische Annalen , 364 (3–4): 983–1023, arXiv : 1312.3619 , Bibcode : 2013arXiv1312.3619J , doi : 10.1007 / s00208-015 -1241-9
• Питеас Фогг, Н. (2002), Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Зигель А. (ред.), Замены в динамике, арифметике и комбинаторике , Лекционные заметки по математике, 1794 , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44141-0, Zbl  1014,11015
• Салем, Рафаель (1943), "О некоторых сингулярных монотонных функций , которые строго возрастают" (PDF) , Труды Американского математического общества , 53 (3): 427-439, DOI : 10,2307 / 1990210 , JSTOR  1990210
• Вепстас, Л. (2004), Вопросительный знак Минковского и модульная группа SL (2, Z) (PDF)
• Вепстас, Л. (2008), "О мере Минковского", arXiv : 0810.1265 [ math.DS ]

внешние ссылки

• Обширный список библиографии
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция вопросительного знака Минковского" . MathWorld .
• Простая реализация IEEE 754 на C ++