Последовательность Фари - Farey sequence

Диаграмма Фарея к F ₉ представлена ​​дугами окружности. На изображении SVG наведите указатель мыши на кривую, чтобы выделить ее и ее элементы.

Диаграмма Фарея к F ₉ .

Симметричный узор, образованный знаменателями последовательности Фарея, F ₉ .

Симметричный узор, образованный знаменателями последовательности Фарея, F ₂₅ .

В математике , то последовательность Фарей порядка п является последовательностью из полностью восстановленных фракций , либо между 0 и 1, или без такого ограничения, что , когда в младших членах имеют знаменатели меньше или равно п , расположенное в порядке возрастания размера.

В ограниченном определении каждая последовательность Фарея начинается со значения 0, обозначенного дробью 0/1, и заканчивается значением 1, обозначенным дробью 1/1 (хотя некоторые авторы опускают эти термины).

Последовательность Фарей иногда называют Фарей серию , которая не является строго правильным, поскольку эти термины не суммируются.

Примеры

Последовательности Фарея порядков с 1 по 8:

F ₁ = {0/1_, 1/1 }

F ₂ = {0/1_, 1/2_, 1/1 }

F ₃ = {0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1 }

F ₄ = {0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1 }

F ₅ = {0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1 }

F ₆ = {0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1 }

F ₇ = {0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1 }

F ₈ = {0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1 }

 F1 = {0/1, 1/1}
 F2 = {0/1, 1/2, 1/1}
 F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
 F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
 F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
 F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 , 1/1}
 F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5 , 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2 , 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Построение числителей против знаменателей последовательности Фарея дает форму, подобную изображенной справа, показанной для F ₆ .

Отражение этой формы вокруг диагональной и главной осей создает солнечные лучи Фарея , показанные ниже. Солнечные лучи Фарея порядка n соединяют видимые целочисленные точки сетки от начала координат в квадрате стороны 2 n с центром в начале координат. Используя теорему Пика, площадь солнечных лучей равна 4 (| F _n | −1), где | F _n | - количество дробей в F _n .

История

Очень любопытна история «сериала Фэри» - Харди и Райт (1979).

... опять же, человек, чье имя было дано математическому соотношению, не был первооткрывателем, насколько это известно. - Бейлер (1964)

Последовательности Фэри названы в честь британского геолога Джона Фэри-старшего , чье письмо об этих последовательностях было опубликовано в Philosophical Magazine в 1816 году. Фэри предположил, не предлагая доказательств, что каждый новый член в расширении последовательности Фэри является медиантом своих соседей. . Письмо Фари прочитал Коши , который представил доказательство в своих упражнениях по математике и приписал этот результат Фари. Фактически, другой математик, Чарльз Харос , опубликовал аналогичные результаты в 1802 году, которые не были известны ни Фари, ни Коши. Таким образом, имя Фэри было связано с этими эпизодами по исторической случайности. Это пример закона Стиглера эпонимии .

Характеристики

Длина последовательности и индекс дроби

Последовательность Фарея порядка n содержит все члены последовательностей Фарея более низких порядков. В частности, F _n содержит все члены F _{n −1,} а также дополнительную дробь для каждого числа, которое меньше n и взаимно просто с n . Таким образом, F ₆ состоит из F ₅ вместе с дробями1/6 и 5/6.

Средний член последовательности Фарея F _n всегда равен1/2, для n > 1. Отсюда мы можем связать длины F _n и F _{n −1,} используя тотент-функцию Эйлера  : ${\ Displaystyle \ varphi (п)}$

${\ displaystyle | F_ {n} | = | F_ {n-1} | + \ varphi (n).}$

Используя тот факт, что | F ₁ | = 2, можно получить выражение для длины F _n :

${\ displaystyle | F_ {n} | = 1 + \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ varphi (m) = 1 + \ Phi (n),}$

где это Сумматорное totient . ${\ Displaystyle \ Phi (п)}$

У нас также есть :

${\ displaystyle | F_ {n} | = {\ frac {1} {2}} \ left (3+ \ sum _ {d = 1} ^ {n} \ mu (d) \ left \ lfloor {\ tfrac { n} {d}} \ right \ rfloor ^ {2} \ right),}$

и формулой обращения Мебиуса  :

${\ displaystyle | F_ {n} | = {\ frac {1} {2}} (n + 3) n- \ sum _ {d = 2} ^ {n} | F _ {\ lfloor n / d \ rfloor} |,}$

где µ ( d ) - теоретико-числовая функция Мёбиуса , а - нижняя функция . ${\ displaystyle \ lfloor {\ tfrac {n} {d}} \ rfloor}$

Асимптотика | F _n | является :

${\ displaystyle | F_ {n} | \ sim {\ frac {3n ^ {2}} {\ pi ^ {2}}}.}$

Индекс дроби в последовательности Фарея - это просто позиция, занимаемая в последовательности. Это имеет особое значение, поскольку используется в альтернативной формулировке гипотезы Римана , см. Ниже . Далее следуют различные полезные свойства: ${\ displaystyle I_ {n} (a_ {k, n}) = k}$${\ displaystyle a_ {k, n}}$${\ Displaystyle F_ {n} = \ {a_ {k, n}: k = 0,1, \ ldots, m_ {n} \}}$${\ displaystyle a_ {k, n}}$

${\ displaystyle I_ {n} (0/1) = 0,}$

${\ displaystyle I_ {n} (1 / n) = 1,}$

${\ Displaystyle I_ {n} (1/2) = (| F_ {n} | -1) / 2,}$

${\ Displaystyle I_ {n} (1/1) = | F_ {n} | -1,}$

${\ Displaystyle I_ {n} (h / k) = | F_ {n} | -1-I_ {n} ((kh) / k).}$

Индекс, где и является наименьшим общим кратным первых чисел, определяется как: ${\ displaystyle 1 / k}$${\ Displaystyle п / (я + 1) <к \ Leq п / я}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle п = {\ rm {lcm}} ([2, я])}$

${\ displaystyle I_ {n} (1 / k) = 1 + n \ sum _ {j = 1} ^ {i} {\ frac {\ varphi (j)} {j}} - k \ Phi (i). }$

Фарей соседи

Дроби, которые являются соседними членами в любой последовательности Фарея, известны как пара Фарея и обладают следующими свойствами.

Если а/б и c/d являются соседями в последовательности Фарея, причем а/б < c/d, то их разница c/d - а/б равно 1/bd. Это потому, что каждая последовательная пара рациональных чисел Фарея имеет эквивалентную площадь 1.

Если r1 = p / q и r2 = p '/ q' интерпретируются как векторы (p, q) в плоскости x, y, площадь A (p / q, p '/ q') задается как qp ' - q'p. Поскольку любая добавленная дробь между двумя предыдущими последовательными дробями последовательности Фарея рассчитывается как медианта ()

A (r1, r1⊕r2) = A (r1, r1) + A (r1, r2) = A (r1, r2) = 1 (так как r1 = 1/0 и r2 = 0/1, его площадь должна быть равна единице) .

С:${\ displaystyle {\ frac {c} {d}} - {\ frac {a} {b}} = {\ frac {bc-ad} {bd}},}$

это эквивалентно тому, что

${\ displaystyle bc-ad = 1}$.

Таким образом 1/3 и 2/5являются соседями в F ₅ , а их разность равна1/15.

Обратное также верно. Если

${\ displaystyle bc-ad = 1}$

для положительных целых чисел a , b , c и d с a < b и c < d тогдаа/б и c/dбудут соседями в последовательности Фарея порядка max ( b, d ).

Если п/q есть соседи а/б и c/d в некоторой последовательности Фарея, с

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {p} {q}} <{\ frac {c} {d}}}$

потом п/qявляется медианта иза/б и c/d - другими словами,

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {a + c} {b + d}}.}$

Это легко следует из предыдущего свойства, поскольку если bp - aq = qc - pd = 1 , то bp + pd = qc + aq , p ( b + d ) = q ( a + c ) ,п/q знак равно а + с/б + г.

Отсюда следует, что если а/б и c/d являются соседями в последовательности Фарея, то первый член, который появляется между ними при увеличении порядка последовательности Фарея, будет

${\ displaystyle {\ frac {a + c} {b + d}},}$

которая впервые появляется в последовательности Фарея порядка b + d .

Таким образом, первый член, который появится между 1/3 и 2/5 является 3/8, который появляется в F ₈ .

Общее количество пар соседей Фарея в F _n равно 2 | F _n | -3.

Дерево Штерна-Броко представляет собой структуру данных , показывающих , как последовательность построена вверх от 0 (=0/1) и 1 (= 1/1), взяв последовательные медианты.

Фарей-соседи и непрерывные дроби

Дроби, которые появляются как соседи в последовательности Фарея, имеют тесно связанные расширения непрерывных дробей . Каждая дробь имеет два расширения непрерывной дроби - в одной конечный член равен 1; в другом - последний член больше 1. Еслип/q, который впервые появляется в последовательности Фарея F _q , имеет разложения в непрерывную дробь

[0; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n - 1} , a _n , 1]

[0; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n - 1} , a _n + 1]

затем ближайший сосед п/qв F _q (который будет его соседом с большим знаменателем) имеет разложение в непрерывную дробь

[0; a ₁ , a ₂ , ..., a _n ]

и его другой сосед имеет расширение непрерывной дроби

[0; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n - 1} ]

Например, 3/8имеет два разложения в цепную дробь [0; 2, 1, 1, 1] и [0; 2, 1, 2] , а его соседями в F ₈ являются2/5, который может быть расширен как [0; 2, 1, 1] ; и1/3, который может быть расширен как [0; 2, 1] .

Дроби Фарея и наименьшее общее кратное

LCM может быть выражена как продукты Фарея фракций , как

${\ displaystyle {\ text {lcm}} [1,2, ..., N] = e ^ {\ psi (N)} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ prod _ {r \ in F_ {N}, 0 <r \ leq 1/2} 2 \ sin (\ pi r) \ right) ^ {2}}$

где - вторая функция Чебышева . ${\ displaystyle \ psi (N)}$

Дроби Фарея и наибольший общий делитель

Так как в totient функция Эйлера непосредственно связана с НОД , так это количество элементов в F _п ,

${\ displaystyle | F_ {n} | = 1 + \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ varphi (m) = 1 + \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {n} \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {m} \ gcd (k, m) \ cos {2 \ pi {\ frac {k} {m}}}.}.}$

Для любых 3 дробей Фарея а/б, c/d и е/жследующее тождество между gcd определителей матрицы 2x2 по модулю имеет место:

${\ displaystyle \ gcd \ left ({\ begin {Vmatrix} a & c \\ b & d \ end {Vmatrix}}, {\ begin {Vmatrix} a & e \\ b & f \ end {Vmatrix}} \ right) = \ gcd \ left ( {\ begin {Vmatrix} a & c \\ b & d \ end {Vmatrix}}, {\ begin {Vmatrix} c & e \\ d & f \ end {Vmatrix}} \ right) = \ gcd \ left ({\ begin {Vmatrix} a & e \ \ b & f \ end {Vmatrix}}, {\ begin {Vmatrix} c & e \\ d & f \ end {Vmatrix}} \ right)}$

Приложения

Последовательности Фарея очень полезны для поиска рациональных приближений иррациональных чисел. Например, построение Элиаху нижней границы длины нетривиальных циклов в процессе 3 x +1 использует последовательности Фарея для вычисления разложения в непрерывную дробь числа log ₂ (3).

В физических системах с резонансными явлениями последовательности Фарея представляют собой очень элегантный и эффективный метод вычисления местоположений резонансов в 1D и 2D.

Последовательности Фарея играют важную роль в исследованиях планирования траекторий под любым углом на сетках с квадратными ячейками, например, для характеристики их вычислительной сложности или оптимальности. Связь можно рассматривать с точки зрения r- ограниченных путей, а именно путей, составленных из линейных сегментов, каждый из которых пересекает не более строк и не более столбцов ячеек. Пусть множество векторов , таких , что , и , взаимно просты. Пусть будет результат отражения в строке . Пусть . Тогда любой r -ограниченный путь можно описать как последовательность векторов из . Существует взаимное соответствие между и последовательностью Фарея порядка, заданной отображением в . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle (д, р)}$${\ displaystyle 1 \ leq q \ leq r}$${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle Q *}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle y = x}$${\ Displaystyle S = \ {(\ pm x, \ pm y) :( x, y) \ в Q \ чашка Q * \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle (д, р)}$${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$

Круги Форда

Сравнение окружностей Форда и диаграммы Фарея с дугами окружностей для n от 1 до 9. Каждая дуга пересекает соответствующие окружности под прямым углом. На изображении SVG наведите указатель мыши на круг или кривую, чтобы выделить их и их элементы.

Существует связь между последовательностью Фарея и кругами Форда .

Для каждой фракции п/q (в самом низком смысле) есть окружность Форда C [п/q], который представляет собой окружность радиуса 1 / (2 q ² ) с центром в точке (п/q, 1/ 2 кв ² ). Две окружности Форда для разных дробей либо не пересекаются, либо касаются друг друга - две окружности Форда никогда не пересекаются. Если 0 <п/q <1, то касательные к C [п/q] являются в точности окружностями Форда для дробей, которые являются соседями п/q в какой-то последовательности Фарея.

Таким образом, C [2/5] касается C [1/2], C [1/3], C [3/7], C [3/8] так далее.

Круги Форда появляются также в аполлонической прокладке (0,0,1,1). На рисунке ниже это показано вместе с резонансными линиями Фарея.

Аполлоновская прокладка (0,0,1,1) и резонансная диаграмма Фарея.

Гипотеза Римана

Последовательности Фарея используются в двух эквивалентных формулировках гипотезы Римана . Допустим, члены такие . Другими словами, определить разницу между k- м членом n- й последовательности Фарея и k- м членом набора с таким же количеством точек, равномерно распределенных на единичном интервале. В 1924 году Жером Франель доказал, что утверждение ${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle \ {a_ {k, n}: k = 0,1, \ ldots, m_ {n} \}}$${\ displaystyle d_ {k, n} = a_ {k, n} -k / m_ {n}}$${\ displaystyle d_ {k, n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} d_ {k, n} ^ {2} = O (n ^ {r}) \ quad \ forall r> -1}$

эквивалентно гипотезе Римана, а затем Эдмунд Ландау заметил (сразу после статьи Франеля), что утверждение

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} | d_ {k, n} | = O (n ^ {r}) \ quad \ forall r> 1/2}$

также эквивалентна гипотезе Римана.

Другие суммы с участием дробей Фарея

Сумма всех дробей Фарея порядка n составляет половину числа элементов:

${\ displaystyle \ sum _ {r \ in F_ {n}} r = {\ frac {1} {2}} | F_ {n} |.}$

Сумма знаменателей в последовательности Фарея в два раза больше суммы числителей и относится к тотентифицирующей функции Эйлера:

${\ displaystyle \ sum _ {a / b \ in F_ {n}} b = 2 \ sum _ {a / b \ in F_ {n}} a = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {n} я \ varphi (i),}$

гипотеза Гарольда Л. Аарона в 1962 году и продемонстрирована Джин А. Блейк в 1966 году. Однострочное доказательство гипотезы Гарольда Л. Аарона состоит в следующем. Сумма числителей равна . Сумма знаменателей равна . Отношение первой суммы ко второй сумме равно . ${\ displaystyle {\ displaystyle 1+ \ sum _ {2 \ leq b \ leq n} \ sum _ {(a, b) = 1} a = 1 + \ sum _ {2 \ leq b \ leq n} b { \ frac {\ varphi (b)} {2}}}}$${\ displaystyle {\ displaystyle 2+ \ sum _ {2 \ leq b \ leq n} \ sum _ {(a, b) = 1} b = 2 + \ sum _ {2 \ leq b \ leq n} b \ varphi (b)}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$

Пусть b _j - упорядоченные знаменатели F _n , тогда:

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {| F_ {n} | -1} {\ frac {b_ {j}} {b_ {j + 1}}} = {\ frac {3 | F_ {n } | -4} {2}}}$

и

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {| F_ {n} | -1} {\ frac {1} {b_ {j + 1} b_ {j}}} = 1.}$

Пусть a _j / b _{j j} -я дробь Фарея в F _n , тогда

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {| F_ {n} | -1} (a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j-1}) = \ sum _ {j = 1} ^ {| F_ {n} | -1} {\ begin {Vmatrix} a_ {j-1} & a_ {j + 1} \\ b_ {j-1} & b_ {j + 1 } \ end {Vmatrix}} = 3 (| F_ {n} | -1) -2n-1,}$

что показано на. Также в соответствии с этой ссылкой термин внутри суммы может быть выражен разными способами:

${\ displaystyle a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j-1} = {\ frac {b_ {j-1} + b_ {j + 1}} {b_ { j}}} = {\ frac {a_ {j-1} + a_ {j + 1}} {a_ {j}}} = \ left \ lfloor {\ frac {n + b_ {j-1}} {b_ {j}}} \ right \ rfloor,}$

получая таким образом много разных сумм по элементам Фарея с одинаковым результатом. Используя симметрию около 1/2, первая сумма может быть ограничена половиной последовательности как

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ lfloor | F_ {n} | / 2 \ rfloor} (a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j- 1}) = 3 (| F_ {n} | -1) / 2-n- \ lceil n / 2 \ rceil,}$

Функция Мертенса может быть выражена в виде суммы по Фарею фракций в качестве

${\ Displaystyle M (n) = - 1+ \ sum _ {a \ in {\ mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 \ pi ia}}$   где     - последовательность Фарея порядка n .${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля – Ландау .

Следующий семестр

Существует удивительно простой алгоритм для генерации членов F _n либо в традиционном порядке (по возрастанию), либо в нетрадиционном порядке (по убыванию). Алгоритм вычисляет каждую последующую запись с точки зрения двух предыдущих записей, используя указанное выше свойство mediant. Еслиа/б и c/d - это две данные записи, и п/q следующая неизвестная запись, тогда c/d знак равно а  +  п/б  +  д. Сc/dв низших членах, должно быть целое число k такое, что kc  =  a  +  p и kd  =  b  +  q , что дает p  =  kc  -  a и q  =  kd  -  b . Если мы рассматриваем p и q как функции от k , то

${\ displaystyle {\ frac {p (k)} {q (k)}} - {\ frac {c} {d}} = {\ frac {cb-da} {d (kd-b)}}}$

поэтому чем больше k , тем ближеп/q добирается до c/d.

Чтобы дать следующий член в последовательности, k должно быть как можно большим, при условии, что kd  -  b  ≤  n (поскольку мы рассматриваем только числа со знаменателем не больше n ), поэтому k - наибольшее целое число ≤ п  +  б/d. Подставляя это значение k обратно в уравнения для p и q, получаем

${\ displaystyle p = \ left \ lfloor {\ frac {n + b} {d}} \ right \ rfloor ca}$

${\ displaystyle q = \ left \ lfloor {\ frac {n + b} {d}} \ right \ rfloor db}$

Это реализовано в Python следующим образом:

def farey_sequence(n: int, descending: bool = False) -> None:
    """Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending."""
    (a, b, c, d) = (0, 1, 1, n)
    if descending:
        (a, c) = (1, n - 1)
    print("{0}/{1}".format(a, b))
    while (c <= n and not descending) or (a > 0 and descending):
        k = (n + b) // d
        (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
        print("{0}/{1}".format(a, b))

Для поиска решений диофантовых уравнений в рациональных числах методом грубой силы часто можно использовать ряд Фарея (для поиска только сокращенных форм). Строки, отмеченные (*), также могут быть изменены для включения любых двух соседних терминов, чтобы генерировать термины только больше (или меньше), чем данный термин.

Смотрите также

• Шаблон ABACABA
• Корм-Броко
• Функция Эйлера

Сноски

использованная литература

дальнейшее чтение

• Хэтчер, Аллен . «Топология чисел» . Математика. Итака, штат Нью-Йорк: Cornell U.
• Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989). Конкретная математика: фундамент информатики (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. С. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN 0-201-55802-5. - в частности, см. §4.5 (стр. 115–123), Проблема бонусов 4.61 (стр. 150, 523–524), §4.9 (стр. 133–139), §9.3, Задача 9.3.6 (стр. 462– 463).
• Вепстас, Линас. «Знак вопроса Минковского, GL (2, Z) и модульная группа» (PDF) . - рассматривает изоморфизмы дерева Штерна-Броко.
• Вепстас, Линас. «Симметрии отображений удвоения периодов» (PDF) . - рассматривает связи между фракциями Фарея и фракталами.
• Кобели, Кристиан; Захареску, Александру (2003). «Последовательность Хароса-Фарея в двести лет. Обзор». Acta Univ. Apulensis Math. Поставить в известность. (5): 1–38. "Стр. 1–20" (PDF) . Acta Univ. Apulensis . "Стр. 21–38" (PDF) . Acta Univ. Apulensis .
• Матвеев, Андрей О. (2017). Последовательности Фари: двойственность и карты между подпоследовательностями . Берлин, Германия: Де Грюйтер. ISBN 978-3-11-054662-0.

внешние ссылки

• Богомольный Александр . «Фарейский сериал» . Разрежьте узел .
• Богомольный Александр . "Штерн-Броко" . Разрежьте узел .
• Пеннестри, Этторе. "Стол Brocot базы 120" .
• «Ряд Фарея» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Дерево Штерна-Броко" . MathWorld .
• Последовательность OEIS A005728 (количество дробей в серии Фарея порядка n)
• Последовательность OEIS A006842 (Нумераторы ряда Фарея порядка n)
• Последовательность OEIS A006843 (знаменатели ряда Фарея порядка n)
• Бонахон, Фрэнсис . Смешные дроби и круги Форда (видео). Брэди Харан . Проверено 9 июня 2015 г. - через YouTube.